Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).
a = hipotenusa b = cateto c = cateto O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).Diagonal do quadrado.
O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.
O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:
Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.
Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:
Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por:
d = l √2
Altura do triângulo equilátero
Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.
Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.
Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC.
A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.
Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:
Qual é o quadrado da hipotenusa?
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Como calcular o valor da hipotenusa?
- Se você conhece o comprimento do cateto menor (oposto ao ângulo de 30 graus), simplesmente multiplique o comprimento do cateto por 2 para descobrir o cateto da hipotenusa. …
- Se você sabe o comprimento do cateto maior (oposto ao ângulo de 60 graus), multiplique-o por 2/√3 para descobrir o comprimento da hipotenusa.
Como calcular A² B² C²?
O que Pitágoras observou foi que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, em outras palavras, o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores. Assim, na figura abaixo, podemos escrever a²=b²+c².
Como calcular os catetos a partir da hipotenusa?
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:
- h2 = ca2 + co2
- Leia também:
- Leia também:
- Saiba mais:
- Sen = cateto oposto/hipotenusa.
- Hipotenusa2 = Cateto oposto2 + Cateto adjacente2
- 1. (
Como fazer a fórmula de Pitágoras?
Teorema de Pitágoras
- O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. …
- a2 = b2 + c2
- a: hipotenusa. …
- A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto.
Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo?
3 Lados de um triângulo retângulo
a | Hipotenusa | 90 graus |
b | Cateto | < 90 graus |
c | Cateto | < 90 graus |
Qual a fórmula de Pitágoras?
a2 = b2 + c2 Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). Diagonal do quadrado. O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.
Como calcular C²?
Você pode calcular usando a fórmula a²+b²=c² ou outras fórmulas.
Como calcular o valor de um cateto?
Seu cálculo segue através da seguinte fórmula a² = b² + c². “A” é a hipotenusa, “b” e c’” são os catetos oposto e adjacente. Para chegar ao resultado suas potências são elevadas ao quadrado. A teoria é a mesma que dizer que a² = b.b + c.c. Para encontrar essa medida, basta pegar um retângulo e parti-lo em sua diagonal.
Como descobrir o valor de um dos catetos?
0:523:32Clipe sugerido · 55 segundosTrigonometria achar o cateto oposto e cateto adjacente, triângulo retângulo.YouTube
Qual é a fórmula de Pitágoras?
a2 = b2 + c2 Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). Diagonal do quadrado. O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.
Qual é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 3cm e 4cm *?
( ) Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm, a medida da hipotenusa é igual a 6 cm.
O que diz a teoria de Pitágoras?
Com isso, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Como calcular a Lei do cosseno?
O teorema da Lei dos Cossenos diz que: “Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam.” Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes fórmulas: a² = b² + c² – 2 .
O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.
Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica
Fórmula do teorema de Pitágoras
Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.
Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.
O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:
Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstração do teorema de Pitágoras
Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:
O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.
AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2
O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.
AEFGH = a2
Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:
O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:
ATriângulo = b·c
2
O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:
AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo
Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:
a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2
a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc
a2 = b2 + c2
Mapa Mental: Teorema de Pitágoras
*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!
Triângulo pitagórico
Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.
Exemplos:
O triângulo acima é pitagórico, pois:
52 = 32 + 42
Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja
262 ≠ 242 +72
Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.
Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo
Exercícios resolvidos
Questão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Resolução:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte:
132 = 122 + x2
Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos:
x2 = 25
x =5
Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.
Resolução:
Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:
202 = c2 + c2
2c2 = 400
c2 = 200
Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:
*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática
Por Robson Luiz
Professor de Matemática