A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
-
√: radical.
-
n: índice.
-
a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)
Exemplo 2:
\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)
Exemplo 3:
\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \(\sqrt{392}\):
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)
Assim, temos que:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)
Então, temos que:
\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)
Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\(5\sqrt3-2\sqrt2\)
\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)
\(8,5-2,8\)
\(5,7\)
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)
Para igualar os índices, temos que:
\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)
\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)
\(\sqrt[6]{256∶8}\)
\(\sqrt[6]{32}\)
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A) 50
B) \( 6\sqrt[3]{10}\)
C) \( 10\sqrt[3]{6}\)
D) 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)
Logo:
\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A) 26
B) 24
C) 16
D) 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).
Portanto:
\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)
\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)
\(\sqrt[3]{4096}=16\)
A fórmula para calcular raiz quadrada ou radiciação é uma importante operação matemática e bastante utilizada na sala de aula e também em avaliações envolvendo provas de vestibulares, ENEM e concursos públicos.
Também é comum se deparar com esses cálculos no dia a dia a depender da sua função. De qualquer maneira dominar esse assunto é essencial e por isso preparamos esse artigo para você. Aqui reunimos as informações mais relevantes para que ao final desse texto todas as suas dúvidas estejam devidamente esclarecidas.
A matemática para muitos é um bicho de sete cabeças, a mesma causa desistência dos alunos em diversos cursos, porém, se procurarmos aprender um pouco mais veremos que não é bem assim que essa matéria tão valorosa deve ser tratada.
Nesse artigo você vai aprender como calcular raiz quadrada de forma simples e muito explicativa. Então, continue a leitura para nunca mais sentir dificuldade quando o assunto for esse.
Vamos lá?
Veja também:
- Cálculo adicional noturno;
- Calcular horas extras;
O que é raiz quadrada
Diz-se que raiz quadrada é uma operação matemática inversa a potenciação e pode ser facilmente resolvida através de fatoração. Existe algumas técnicas de como calcular raiz quadrada, parte do ensinamento a seguir será possível ser seguida com base em assuntos que demos no ensino médio. Não há segredos para efetuar tais cálculos, é tudo baseado em fórmulas que podem ser facilmente gravadas.
O que são quadrados perfeitos
Os chamados quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de dois números iguais, ou seja, multiplicação de um número por ele mesmo. Por exemplo, 36 é um quadrado perfeito, uma vez que ele é o resultado da multiplicação (6×6) e melhor dizendo: ele é um quadrado perfeito porque é o resultado da potência 62= 36 (seis elevado a dois ou seis ao quadrado).
Então se perguntamos: qual a raiz quadrada de 36 ? A raiz quadrada de 36 é 6, pois 62= 36. Devido a isso, dizemos que a radiciação (raiz quadrada) é a operação inversa à potenciação. Outro exemplo é: Por exemplo, 5 e -5 são raízes quadradas de 25, pois 52 = -52 = 25.
Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, a qual é denotada pelo símbolo Por exemplo, 3 é a raiz quadrada principal de 9, ou seja, porque 3 é não negativo.
Como calcular raiz quadrada de um número?
Já sabemos que para determinarmos a raiz quadrada de um número temos que fatorá-lo. Então queremos saber como calcular a raiz quadrada do número 196. Então o primeiro passo é fatorar esse número e depois agrupar os termos semelhantes dois a dois.
Exemplo 1:
A raiz quadrada do número 196 corresponde ao número 14, porque 14 x 14 ou 142= 196.
Veja abaixo a fatoração feita com número primos
Exemplo 2:
Encontre no conjunto dos números racionais positivos.
Sabemos que a raiz quadrada de 1² = 1 e a raiz quadrada de 2² = 4, então.
Por simples especulação:
(1,1)² = 1,21. Resultando distante do que estamos procurando.
(1,2)² = 1,44. Resultado próximo, mas ainda não é o que procuramos.
(1,3)² = 1,69. Portanto, podemos afirmar que, pois (1,3)² = 1,69.
Nos dois exemplos acima foi possível calcular raiz quadrada e encontrar um valor exato, no entanto nem sempre a radiciação terá raiz quadrada exata. Um exemplo disso é cujo resultado é um número não exato, ou seja, um valor aproximado e igual a 1,41421356…
Veja também como calcular a raiz cúbica
Qual é a raiz quadrada de 2
Achar a raiz quadrada de 2 não é tão simples, mas para quê dificultar se podemos dar o calculo certo?
Já sabemos que a raiz quadrada é o resultado da multiplicação de um numero por ele mesmo, como por exemplos, √9 = 3, pois 3 multiplicado por 3 é igual a 9 (3² =3×3=9).
Até descobrimos a raiz quadrada de 3 e sabemos que é um numero racional, enquanto a raiz quadrada de 2 (√2) é irracional.
A raiz quadrada de 2 é um número entre 1 e 2.
Sem mais delongas, a raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1,41. Saiba que a raiz quadrada de 2 não tem casas decimas finitas, por ser um número irracional, por isso é necessário aproximá-lo.
Portanto, podemos dizer que a raiz quadrada de 2 é, aproximadamente, igual a 1,41.
Como calcular raiz quadrada de 3?
A raiz quadrada de 3 √3 também é um número irracional. Vamos encontrar agora a raiz quadrada aproximada, siga este raciocínio.
Vamos procurar dois números que multiplicados entre si deem x, este x é igual a 3. Portanto os dois números que vai dar 3 como resultado são: 1,5 e 2, (1,5 x 2 = 3).
Então a raiz quadrada de 3 está entre 1,5 e 2.
Calcule a média entre eles: 2 + 1,5 / 2
Faça a divisão de 3 por 1,75 = 3/1,75 = 1,714, depois divida 3 por 1,714 = 3/1,714 = 1,75. Nestas duas divisões há dois números 1,75 e 1,714, assim a raiz aproximada será a média entre estes dois números.
- 1,75 + 1,714 = 3,464
- 3,464/2 = 1,73
Se quiser pode continuar a fazer este processo, mas a raiz aproximada de 3 é 1,73
Qual é a raiz quadrada de 8?
A raiz quadrada de 8 também não é um número exato, veja como fazer o cálculo:
√8 = 2,828 ≈ 2,83
√n = n + (nº próximo de raiz exata) ——————————————-
2.√(nº exato mais próximo)
√8 = 8 + 9 ———–
2.√9
8 + 9 = 17 = 17 ≈ 2,8333… ——– —— ——
2.√9 2.3 6
Como esta raiz quadrada é exata, portanto o calculo certo é simples e rápido:
Qual a raiz quadrada 9?
√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)
9 é um quadrado perfeito, um determinado número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais., neste caso 3×3 = 9
Raiz quadrada dos 10 primeiros números naturais
- √1 = 1
- √ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696
- √3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428
- √4 = 2
- √5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406
- √6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659
- √7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102
- √8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393
- √9 = 3
- √10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195
Conclusão
Enfim, deu para ver que como calcular raiz quadrada é muito importante nos cálculos matemáticos e com as dicas e os exemplos acima fica bastante fácil calcular raiz quadrada.
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