Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:
Exemplo 1
Isolando x na 1ª equaçãox + y = 7 x = 7 – y
Isolando x na 2ª equaçãox – 2y = – 5
x = – 5 + 2yRealizando a comparação
x = x 7 – y = – 5 + 2y – y – 2y = –5 –7 – 3y = – 12 *(–1) 3y = 12 y = 12/3 y = 4 Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. x = – 5 +2y x = – 5 + 2 * 4 x = – 5 + 8 x = 3Solução do sistema: (3; 4)
Exemplo 2
Isolando x na 1ª equaçãox + 2y = 40 x = 40 – 2y
Isolando y na 2ª equaçãox – 3y = – 35
x = – 35 + 3yRealizando a comparação
x = x –35 + 3y = 40 – 2y 3y + 2y = 40 + 35 5y = 75 y = 15 Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações. x = – 35 + 3y x = – 35 + 3 * 15 x = –35 + 45 x = 10Solução do sistema: (10; 15)
Exemplo 3
Isolar y na 1ª equação2x + y = 4
y = 4 – 2xIsolar y na 2ª equação3x + y = – 3
y = – 3 – 3xRealizando a comparação
y = y 4 – 2x = – 3 – 3x –2x + 3x = –3 – 4 x = –7 Calculando y através de x = – 7 y = – 3 – 3x y = –3 – 3 * (–7) y = –3 + 21 y = 18Solução do sistema: (–7; 18)
Marcos Noé Pedro da Silva
Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:
Exemplo 1
Isolando x na 1ª equaçãox + y = 7x = 7 – y
Isolando x na 2ª equaçãox – 2y = – 5
x = – 5 + 2yRealizando a comparação
x = x7 – y = – 5 + 2y– y – 2y = –5 –7– 3y = – 12 *(–1)3y = 12y = 12/3y = 4Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4.x = – 5 +2yx = – 5 + 2 * 4x = – 5 + 8x = 3Solução do sistema: (3; 4)
Exemplo 2
Isolando x na 1ª equaçãox + 2y = 40x = 40 – 2y
Isolando y na 2ª equaçãox – 3y = – 35
x = – 35 + 3yRealizando a comparação
x = x–35 + 3y = 40 – 2y3y + 2y = 40 + 355y = 75y = 15Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações.x = – 35 + 3yx = – 35 + 3 * 15x = –35 + 45x = 10Solução do sistema: (10; 15)
Exemplo 3
Isolar y na 1ª equação2x + y = 4
y = 4 – 2xIsolar y na 2ª equação3x + y = – 3
y = – 3 – 3xRealizando a comparação
y = y4 – 2x = – 3 – 3x–2x + 3x = –3 – 4x = –7Calculando y através de x = – 7y = – 3 – 3xy = –3 – 3 * (–7)y = –3 + 21y = 18Solução do sistema: (–7; 18)
Marcos Noé Pedro da Silva
Nos sistemas de equações existem alguns métodos utilizados para encontrarmos a resposta de um problema que envolva mais de duas incógnitas.
Agora veremos como funciona o método da comparação e quais são os passos para aplicá-lo às mais diversas questões que envolvam um sistema de equações do primeiro grau.
Método da Comparação
O método da comparação assemelha-se ao da substituição porque é necessário isolar uma das incógnitas, porém, ao contrário do outro método, na comparação isolamos a mesma incógnita nas duas equações.
Veja um exemplo:
( I ) X + Y = 7
( II )Y – 2X = 4
O primeiro passo é isolar uma das incógnitas em ambas equações. No sistema acima isolaremos o Y:
( I ) X + Y = 7
( I ) Y = 7 - X
( II )Y – 2X = 4
( II ) Y = 4 + 2X
Em seguida, devemos igualar as equações, comparando as igualdades.
Y = Y 7 – X = 4 + 2X 7 – 4 = 2X + X 3X = 3
X = 1
Sendo assim, se X é igual a 1:
( I ) X + Y = 7 1 + Y = 7
Y = 6
Exercícios resolvidos método da comparação
1)
De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas.
Desse total, qual o número de unidades de maçãs comprado?
Em um primeiro momento, precisamos montar as equações de acordo com as informações do texto. Montando a equação das unidades, desconhecemos o número de melões e maçãs, mas sabemos que foram compradas 4 dúzias de bananas.
( I ) 6X + Y + 48 = 89
( I ) 6X + Y = 41
Já na segunda equação abordaremos o preço das frutas. Sabendo que foram compradas 4 dúzias de bananas e cada dúzia custa 3 reais, descobrimos que o valor total das bananas foi de 12 reais. E, se cada lote de maçã e unidade de melão custam 5 reais, temos 5X e 5Y.
( II ) 5 X + 5Y + 12 = 67 ( II ) 5X + 5Y = 55
( II ) X + Y = 11
Em seguida, utilizando o método da comparação e isolando o Y obtemos:
( I ) 6X + Y = 41 Y = 41 – 6X ( II )X + Y = 11 ( II ) Y = 11 – X
Y = Y
41 – 6X = 11 – X 5X = 30
X = 6 = 36 maçãs
2) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis. Qual o preço de aquisição de um estojo?
Sendo lápis L e estojo E:
( I ) 2L + E = 10
Já para a segunda equação nos foi dada a informação de que o valor de 3 lápis menos 5 reais é igual ao valor do estojo:
( II ) 3L – 5 = E
Nessa questão não é necessário isolar uma das incógnitas na segunda equação uma vez que a variável E já está isolada. Desse modo:
( I ) 2L + E = 10 ( I ) E = 10 – 2L
E = E
10 – 2L = 3L – 5 5L = 15
L = 3
Substituindo:
( II )3L – 5 = E 9 – 5 = E
E = 4
Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:
Exemplo 1
Isolando x na 1ª equação
x + y = 7 x = 7 – y
Isolando x na 2ª equação
x – 2y = – 5
Realizando a comparação
Solução do sistema: (3; 4)
Exemplo 2
Isolando x na 1ª equação
x + 2y = 40 x = 40 – 2y
Isolando y na 2ª equação
x – 3y = – 35
Realizando a comparação
Solução do sistema: (10; 15)
Exemplo 3
Isolar y na 1ª equação
2x + y = 4
Isolar y na 2ª equação
3x + y = – 3
Realizando a comparação
Solução do sistema: (–7; 18)
Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva