Na matemática, o cálculo de raízes, sejam elas exatas ou não exatas, é definido como o procedimento contrário à potenciação e a operação realizada recebe o nome de radiciação.
Lê-se: raiz n-ésima de a.
Em que:
- n: índice da raiz – número natural maior ou igual a 1;
- a: radicando – número real maior ou igual a zero;
- b: raiz – número real maior ou igual a zero;
- : radical.
Exemplos:
a) , pois .
b) , pois .
c) , pois
Essas raízes são exemplos de raízes exatas, elas possuem como resultado um número racional, podendo ser decimais exatos ou dízimas periódicas.
Agora, considere calcular . Será que existe algum número racional que, ao ser elevado ao quadrado, é igual a 12?
A resposta é não, e esse é um exemplo de raiz não exata, que possui como resultado um número irracional.
No cálculo de raízes não exatas fazemos a decomposição em fatores primos do radicando. Em seguida, utilizamos algumas propriedades da radiciação para simplificar os cálculos:
Propriedade 1:
Propriedade 2:
Para mostrar como fazer isso, vamos considerar o cálculo de .
1º passo) Fatoramos o número 12, escrevendo-o como um produto entre números primos.
12 | 2 6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3
2º passo) Substituímos 12 por 2² . 3, no radical.
3º passo) Aplicamos a propriedade 1.
4º passo) Aplicamos a propriedade 2.
Quando já não conseguimos mais simplificar, podemos utilizar aproximações. Como o valor aproximado de é 1,73, então:
Veja outros exemplos.
Exemplo 1:
Calcular .
56 = 2 . 2 . 2 . 7 = 2² . 2 . 7
⇒
⇒
⇒
⇒
Exemplo 2:
Calcular .
108 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 2² . 3³
⇒
⇒
⇒
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Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Calculando raízes
Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.
A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.
Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
L·L·L·L...L·L = a
Raízes exatas e não exatas
Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:
a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9
b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16
Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:
a) Raiz quadrada de 2
b) Raiz cúbica de 3
c) Raiz quarta de 5
Cálculo de raízes não exatas
Caso 1 – Radicando primo
Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:
Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:
3,143 = 30,959144
Caso 2 – Radicando não primo
Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.
Exemplo:
Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:
Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:
256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2
1
256 = 23·23·22
Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:
Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:
Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.
4·1,26·1,26 = 6,35
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática