Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas.
Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y.
Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero?
Resumo sobre baricentro de um triângulo
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O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.
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O baricentro é conhecido também como centro de gravidade do triângulo.
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O baricentro divide qualquer uma das medianas na razão 1 para 2.
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Para calcular a posição do baricentro de um triângulo no plano cartesiano, utilizamos a fórmula:
No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:
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o baricentro
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o incentro
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o circuncentro
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o ortocentro
Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:
Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo:
Propriedades do baricentro
Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.
Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno.
Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.
Passo a passo de como se calcula o baricentro
No estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.
Exemplo:
Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo.
Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três:
Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada:
Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0).
Veja também: Como podemos classificar um triângulo?
Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triângulo
Questão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto:
A) (2/3, 1)
B) (1, 1)
C) (1, 4/3)
D) (2/3, 4/3)
E (1, 2/3)
Resolução
Alternativa B
Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y).
Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que:
Agora, encontraremos o valor de y:
Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1).
Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são:
A) (3, 2)
B) (2, 3)
C) (-2, 3)
D) (6, 4)
E) (-4, -6)
Resolução
Alternativa B
Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4).
Agora, calcularemos o baricentro:
As coordenadas do ponto G são (2, 3).
85/10 = 8,5 gramas 15 90 8,5 x 15x= 8,5*90 15x=765 x=765/15 x=51 kcal
cada biscoito tem 8,5 gramas e tem 51 kcal
Kleber Alves
Há mais de um mês
Essa pergunta já foi respondida!
triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?
- Fernanda
- há 2 anos
- Matemática
- 325
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Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Questão 1
Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
Resposta correta: dPQ = 7.
Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.
Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos
Veja a representação dos pontos no plano cartesiano.
dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
Resposta correta: dRT = 2.
As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.
Substituindo as ordenadas na fórmula, temos
Observe a representação dos pontos no plano cartesiano.
dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Distância entre dois pontos
Questão 3
Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
Resposta correta: dDC =
Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.
Sendo e
Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:
A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento).
Questão 4
O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?
Resposta correta:
1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.
2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.
3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.
Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:
Questão 5
Um móvel percorre a trajetória A→B→C.
Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:
A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.
Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60:
Questão 6
Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c).
Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4).
Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:
Resposta correta: c = 1.
Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que:
Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes.
Questão 7
(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
Alternativa correta: c) 1 ou 13.
1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula.
2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.
3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação.
Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13.
Questão 8
(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) equilátero. b) retângulo e isósceles. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles.
e) n.d.a.
Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo.
1º passo: Calcular a distância de AB.
2º passo: Calcular a distância de AC.
3º passo: Calcular a distância de BC.
4º passo: Julgar as alternativas.
a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente.
b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.
c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais.
d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles.
e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles.
Questão 9
(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1 b) 2 c) 4
d)
e)
Alternativa correta: b) 2.
Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida.
Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância.
Logo, dAB = dAC= 2.
Questão 10
(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.
a) X = 8 b) X = 6 c) X = 15 d) X = 12
e) X = 7
Alternativa correta: a) X = 8.
1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias.
Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:
Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:
2º passo: Resolver os produtos notáveis.
3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la.
Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8.
(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4 b) 4√2 c) 8 d) 8√2
e) 16
Alternativa correta: a) 4.
1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C.
2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras.
Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.
3º passo: Calcular a área do quadrado.
Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:
Questão 12
(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:
a) 14 b) 13 c) 12 d) 9
e) 8
Alternativa correta: b) 13.
Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula.
Questão 13
(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a:
a) 2√2; b) 3√2; c) 2√3;
d) 3√3.
Resposta correta: a) 2√2
Fazendo:
A(-1,-1)
B(1, 1)
Questão 14
(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são:
a) 6 e - 2 b) 2 + 2i e 2 - 2i c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3 d) 2 e 0
e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6
Resposta correta: a) 6 e - 2
Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado.
Determinando o delta da equação do segundo grau:
Determinando as raízes da equação:
Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y.
Veja também: