Há 4 modos diferentes para saber como calcular a altura de um triângulo equilátero: usando o Teorema de Pitágoras, usando a trigonometria, a fórmula da área ou a fórmula específica h = x√3 / 2, em que h é altura e x é o lado do triângulo. Vem conferir o passo a passo desses métodos e os exemplos fáceis de entender!
Neste artigo sobre como achar a altura de um triângulo equilátero, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao tema:
- Introdução ao triângulo equilátero: características úteis!
- Caminho simples e fácil: Teorema de Pitágoras para encontrar a altura do triângulo equilátero!
- Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando a fórmula específica?
- Como calcular a altura de um triângulo qualquer?
- Para os curiosos: Trigonometria básica para calcular a altura do triângulo retângulo.
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Introdução ao triângulo equilátero: características úteis
O triângulo equilátero é o queridinho dos estudantes de Geometria, pois é o mais fácil de todos!
Isso porqueele entrega o raciocínio e facilita nossa vida. Mas isso só acontece quando nós realmente entendemos suas características.
Agora você precisa saber as 3 características essenciais que ele tem, porqueusaremoselas mais para frente:
Lados iguais
A própria palavra equilátero já nos conta sobre essa propriedade: “equi = igual” e “látero = lado”
Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais.
Lembre-se: na figura acima, oX representa um valor qualquer.
Ângulos iguais
Não importa qual seja o tamanho do triângulo equilátero, se você usar um transferidor (medidor de ângulos) nele… sempre encontrará o mesmo valor para todos os seus ângulos!
Isso acontece por um motivo: para que todos os lados iguais se encontrem em um formato perfeito de triângulo, dois lados sempre formarão o mesmo ângulo entre si.
E isso nos leva a uma outra descoberta! Sabemos que em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°. Portanto, se no equilátero tudo é igual, podemos fazer 180°/3 = 60°.
Logo, os três ângulos sempre medirão 60° em um triângulo equilátero. E assim chegamos a um novo conceito: ele é equiângulo.
Alturas iguais
Adivinhe só! Se todos os lados e ângulos são iguais, não importa a partir de qual lado você trace a altura.
Concorda? Então elas sempre serão…. iguais!
Não se esqueça: altura é um segmento de reta que forma um ângulo reto (90°) com a superfície.
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1° O caminho mais seguro: Teorema de Pitágoras e altura do triângulo equilátero
Agora que aprendemos tudo o que é essencial sobre o nosso amiguinho, já podemos começar a falar sobre como descobrir a altura do triângulo equilátero.
O primeiro método é usando o Teorema de Pitágoras. Vamos fazer uma breve explicação sobre ele e já partir para o exemplo!
O que é o Teorema de Pitágoras?
Na matemática, teorema significa uma fórmula que sempre é aplicada em uma situação específica. No caso do Pitágoras, ele deve ser usado somente em triângulos retângulos (aquele em que um dos ângulo deve ser 90°).
Como o matemático chegou nesta conclusão não é o nosso foco aqui. Mas, para continuar, precisamos saber o que ele disse:
“A soma dos catetos ao quadrado é igual ao valor da hipotenusa ao quadrado.”
Parece confuso, mas podemos traduzir essa frase em uma fórmula pequenininha:
cat² + cat² = hip²
Ah, você não sabe o que são esses nomes? No próximo tópico terá uma imagem te mostrando, mas já vamos te explicar:
- A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, é o maior lado de um triângulo retângulo.
- Os catetos são os lados restantes, ou seja, os lados adjacente ao ângulo reto.
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Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando Pitágoras? 3 passos!
Para sabermos como calcular a altura de um triângulo equilátero, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras. Veja o passo a passo:
- 1° Passo: devemos traçar a altura do triângulo equilátero. Lembrando que ela parte do vértice superior e vai até o meio da base, coincidindo com a mediana.
- 2° Passo: observe que formamos dois triângulos retângulos iguais dentro do equilátero. É para isso que traçamos a altura, já que ela sempre forma 90° com a superfície.
- 3° Passo: Agora, podemos usar o teorema: cat² + cat² = hip². Basta substituir cada informação no seu lugar!
Lembre-se: nessa fórmula, a altura (h) ocupa o lugar de um dos catetos (cat).
2° Você sabe deduzir a fórmula específica para achar a altura desse triângulo?
Talvez você já tenha aprendido e esquecido… Mas existe uma fórmula específica para calcular a altura de um triângulo equilátero. E ela só funciona nessa figura!
Pode parecer coincidência, mas ela foi tirada do Teorema de Pitágoras. Assim, se você souber o primeiro jeito, não esquecerá o segundo!
Deduzir uma fórmula é entender qual o raciocínio usado para chegar nela. E a história dessa fórmula é a seguinte: um matemático já sabia usar Pitágoras para calcular a altura, mas ele só usava números.
Aí ele resolveu substituir os números pelas letras que representam as partes do triângulo equilátero. E chegou a uma fórmula geral!
Note que, de acordo com a figura, a hipotenusa é o “x“. Já o “h” é um dos catetos. Não confunda o “h” de altura com “hip” de hipotenusa!
A conta que ele fez está representada na imagem acima. Então, o raciocínio foi:
- Isolamos o h de um lado da equação, pois é ele que queremos achar. Tudo o que é x vai para o mesmo lado.
- Fizemos o MMC (mínimo múltiplo comum) para efetuar a soma do x com denominador diferente.
- Encontramos a fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero: h = x√3 / 2.
Atenção: Ela nos ajuda a achar o valor da altura (h) se tivermos o lado (x). Basta substituir os valores dados na questão e teremos a resposta!
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Exemplo com números e resolução!
Gostou do passo a passo sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero? Talvez pareça teórico demais, então trouxemos um exemplo com números:
1) Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 4cm.
Solução 1: se tiver decorado a fórmula geral, basta colocar o 4 no lugar do x:
h = x√3 / 2
h = 4√3 / 2
h = 2√3
Solução 2: se esqueceu da fórmula, pode usar o Pitágoras mesmo:
cat² + cat² = hip²
h² + (4/2)² = 4²
h² + 4 = 16
h² = 12
h = √12 (simplificando = 2√3)
Ok, já te mostramos dois jeitos bem direcionados para o triângulo retângulo. Mas também existe uma jeito de calcular alturas de triângulos aleatórios.
Para achar a altura de um triângulo qualquer, o que nós fazemos é usar a fórmula da área. Nós falamos assim “área é igual á base vezes a altura dividido por 2 “.
Que pode ser escrito como:
A = (b.h)/2
Sendo que:
- A = área do triângulo.
- b = comprimento da base do triângulo (a base é onde a altura se encontra e forma 90º).
- h = Altura do triângulo (Sai de um vértice e forma 90º com a base).
Viu? Se você tiver os valores da base e da área, basta substituir na fórmula para encontrar a altura.
E como eu acho a área e a base?
A base é muito simples: ela é a medida de qualquer um dos lados, porque nesse triângulo tudo é igual! Mas, por definição, base é o lado que recebe o ângulo formado quando traçamos a altura.
Agora olha que coisa louca: para encontrar a área nós precisamos da altura. Mas a altura é justamente o que já estávamos procurando!
Então não tem jeito… você só consegue usar a fórmula da área para encontrar a altura se o valor da área e do lado forem dados. Se não, você terá que encontrar a altura usando o Pitágoras ou a fórmula específica mesmo!
4° Para os curiosos: trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura
Achou que tinha acabado né? Vamos te mostrar um último jeito!
Nós sabemos, muita gente tem birra da trigonometria. Mas não precisa ser assim, ela é mais legal do que aparenta! Além do mais, nós vamos trabalhar só com a parte básica.
A trigonometria é uma ferramenta da matemática que leva em conta os ângulos e os lados que formam ele.
Você lembra das relações de semelhança nos triângulos? A ideia que a trigonometria traz é parecida: sempre que pegarmos dois valores específicos e dividimos eles, nos dará um mesmo resultado.
Até aqui tudo bem? Então vamos para a parte prática:
A trigonometria diz que, no triângulo retângulo, podemos estabelecer três relações:
- Seno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto (lado) oposto a ele e dividimos pela hipotenusa.
- Cosseno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o lado que encosta nele (adjacente) e dividimos pela hipotenusa.
- Tangente: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto oposto e dividimos pelo adjacente.
Viu? Tudo tranquilo. Agora vamos ver como podemos usar isso para achar a altura:
Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando trigonometria?
Você lembra que todo triângulo equilátero tem cada um de seus ângulos medindo 60°? Pois é, a trigonometria relaciona os lados do triângulo retângulo com os ângulos.
Então podemos fazer assim:
- 1° Passo: novamente devemos traçar a altura no t. equilátero. Aí teremos dois t. retângulos.
- 2° Passo: logo percebemos que, por se tratar de um triângulo equilátero, a altura será também a bissetriz (divide o ângulo em duas partes iguais). Também será a mediana da base (divide o lado em 2 partes iguais).
- 3° Passo: ai ficou fácil. Se for dado o valor do lado desse triângulo, podemos aplicar as relações da trigonometria!
Teremos então o 60° e o 30°. Eles são conhecidos como ângulos notáveis, porque muitos vestibulares e escolas esperam que seus alunos decorem os valores de seus senos, cossenos e tangentes (eles aprecem muito nos exercícios).
Agora só precisamos lembrar desses valores e substituir na relação trigonométrica. Se você esquecer, é só consultar o quadro:
Atenção!
- Se escolhermos o ângulo de 30°, a altura é o cateto adjacente (usaremos cosseno).
- Se escolhermos o ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto (usaremos seno).
- Observe que X (o lado do triângulo) sempre será a hipotenusa.
Vamos escolher o 60° como referência. Ficará assim:
sen 60° = cat. oposto / hipotenusa
sen 60° = h / x
√3/2 = h / x
x√3 / 2 = h
Opa! Você já viu esse resultado antes…
É exatamente igual à fórmula específica para calcular a altura do triângulo retângulo!
Viu como tudo na matemática faz sentido e está relacionado?
Acabou! Vamos resumir:
Para finalizar, vamos só recapitular: em uma questão sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você pode optar por 4 caminhos:
- Usar Teorema de Pitágoras.
- Usar trigonometria.
- Decorar a fórmula específica e substituir o valor dado.
- Usar a fórmula da área.
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