Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.

Um polígono é uma superfície fechada formada por uma linha poligonal, ou seja, os lados são segmentos de reta, e o encontro entre dois lados forma um ângulo. No caso do polígono ser convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Para somar os ângulos internos de um polígono convexo ou conhecemos os valores de todos os ângulos e somamos, ou podemos determinar a soma conhecendo o número de lados deste polígono.

Conhecer o total de lados de um polígono é, em muitos casos, uma informação mais fácil de obter do que os valores de cada ângulo.

Fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono

Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo conhecendo apenas o número de lados, utilizamos a fórmula:

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
Polígono dividido em quatro triângulos.

Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180°, basta multiplicar o número de triângulos formados por 180°.

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Há 2 triângulos:
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Há 3 triângulos:
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Rafael C. Asth

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Estes exercícios sobre soma dos ângulos internos de um triângulo verificarão se você conhece os cálculos e as estratégias necessárias para resolver esse tipo de questão. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

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Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

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  • n = 3

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

  • n = 4

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

  • n = 5

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

  • n = 6

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

  • n = n

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
     n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Os triângulos possuem uma propriedade particular muito interessante relativa à soma de seus ângulos internos. Essa propriedade garante que em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180 graus.

Para verificar essa afirmação, considere um triângulo ABC qualquer.  

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Considere ainda uma reta r, passando pelo ponto A e paralela ao lado

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
 (essa reta sempre existe e é única!). Como pode ser observado na figura abaixo, pode se obter os ângulos  e de modo que x+y+A=180o.

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

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Sabendo que a reta r e o lado (

Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
) são paralelos, os ângulos
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
 e
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
 são alternos internos e, portanto, são congruentes, isto significa que 
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
=
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
. Pelo mesmo motivo,
Qual e a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?
. Assim, temos que:

A+x+y=A+B+C=180o

Assim, é verdade que em todo triângulo a soma dos ângulos internos mede 180 graus


Por Franciely Guedes
Graduada em Matemática

Qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de cada triângulo?

Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos mede 180º. Os triângulos possuem uma propriedade particular muito interessante relativa à soma de seus ângulos internos. Essa propriedade garante que em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180 graus.

Como calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo?

Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo. Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.

Qual a soma das medidas dos ângulos internos?

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180.

Qual a medida dos ângulos de um triângulo?

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medem 90 graus.