Qual é o coeficiente angular de uma reta que passa pelos pontos a 2 3 EB 49?

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Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos ponto a 2 3 EB (
Como calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos?
Qual é a equação geral de uma reta que passa pelos pontos a 2 3 EB 49?
Qual o coeficiente angular de uma reta que passa?

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a equação geral da reta r que passa pelo ponto A (2, 
1), e tem coeficiente angular igual a 2 (m = 2). 
Solução1: Temos xA = 2, yA = 1 e m = 2.
Substituindo em )( AA xxmyy −=− teremos:
 )2(21 −=− xy , aplicando a propriedade distributiva temos:
 421 −=− xy , igualando a zero, teremos:
0421 =+−− xy , resolvendo os termos semelhantes:
 032 =+− xy , essa é a equação geral da reta que passa pelo A, com 
coeficiente angular igual a 2.
b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. 
Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma 
única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos 
dois de seus pontos.
ATENCAO
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
xyA + xBy + xAyB – xByA – xyB – xAy = 0 
x (yA – yB) + y(xB - xA) + (xAyB – xByA) = 0
42
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como xA, x B, yA e yB são valores reais, podemos fazer:
yA – yB = a
xB - xA= b
xAyB – xByA = c
Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0.
ATENCAO
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e 
B (3, 7), e represente geometricamente:
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
1º Passo: Substituir as coordenados dos pontos na fórmula e resolver: 
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx 
0
173
152
1
=
yx 
0
73
52
173
152
1
=
yxyx
temos na diagonal secundária:
DP= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) 
DP = 15 + 7x + 2y
E na diagonal principal Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) 
Ds = 5x + 3y + 14
Como temos DP - Ds = 0:
5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0, resolvendo:
 -2x + y - 1= 0, essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos A 
(2, 5) e B (3, 7).
TÓPICO 3 | A RETA
43
FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA 
RETA
FONTE: Os autores
Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na 
forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.
IMPORTANT
E
• Equação reduzida da reta
Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação 
geral da reta (ax + by + c = 0).
Na equação ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, ao isolarmos 
y temos:
 
b
cx
b
ay −−=by = - ax - c 
Em que 
b
a
− é o coeficiente angular da reta (m) e 
 
b
c
− é o coeficiente linear 
(n) da reta. 
Sendo assim, y = mx + n é a forma reduzida da equação da reta.
44
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando já temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equação 
reduzida da reta.
NOTA
Exemplo: Vamos determinar a equação reduzida da reta, que passa pelos 
pontos A (2, 5) e B (3, 7):
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
Já resolvemos esse exemplo anteriormente onde encontramos a equação 
geral dessa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora vamos primeiro 
determinar o coeficiente angular usando a fórmula: 
 
A
A
xx
yym
−
−
= em x e y, nesse 
caso são xB e yB, logo:
 2
1
2
23
57
==
−
−
=m
 considerando o ponto A (2, 5) e substituindo na fórmula
 )( AA xxmyy −=− , temos:
 )2(25 −=− xy resolvendo: 
 425 −=− xy isolando y:
y = 2x – 4 + 5, resolvendo:
y = 2x + 1, essa é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 
7), e tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1.
O coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto onde a reta intercepta (corta) o 
eixo das ordenadas (eixo y). 
IMPORTANT
E
Equação segmentária da reta
Com essa forma de representação da equação da reta é possível verificar 
TÓPICO 3 | A RETA
45
claramente onde a reta intercepta o eixo da abscissa (eixo x) e o eixo da ordenada 
(eixo y), ou seja, sua visualização gráfica.
Vamos denotar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, 
como: A (0, q) e B (p, 0).
FIGURA 30 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
FONTE: Os autores
Com a condição de alinhamento dos pontos temos:
 
0
10
10
1
=
p
q
yx
 resolvendo encontramos a equação 
 
1=+
q
y
p
x
, onde p e q 
são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da 
ordenada (y).
Exemplo: Determine a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 
3y - 12 = 0 e faça sua representação geométrica.
Solução: Sendo a equação 2x + 3y - 12 = 0, vamos passar a equação geral da 
reta para sua forma segmentária, isolando x e y.
2x + 3y = 12, depois dividimos tudo por 12:
 
12
12
12
3
12
2
=+
yx
, efetuando as simplificações temos:
 1
46
=+
yx
, essa é a equação segmentária da reta, onde os pontos que 
interceptam os eixo y e x são: A (0, 4) e B (6,0).
y
x
r
A (0, q)
B (p, 0)
46
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 31– SOLUÇÃO DO EXEMPLO: EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
FONTE: Os autores
Sempre que não for indicado no texto, é porque a equação da reta está na sua 
forma geral, quando for equação reduzida ou equação segmentária estará especificado no 
texto.
ATENCAO
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
Vamos considerar duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, 
não perpendiculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos 
observar na Figura 32, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado 
por α .
Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. 
Retas oblíquas são retas que estão inclinadas.
UNI
TÓPICO 3 | A RETA
47
FIGURA 32 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 mai. 2013.
Para determinar o ângulo formado entre as retas ( α ), vamos utilizar a 
fórmula da tangente e o coeficiente angular das retas, no triângulo ABC, podemos 
observar:
FIGURA 33 – ÂNGULO FORMADO ENTRE RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013.
Temos
 
srsr ααβαβα −=⇒+= tg β = tg ( sr αα − ) utilizando a 
igualdade trigonométrica, temos: 
tg
 
sr
sr
sr
sr
mm
mmtg
tgtg
tgtg
.1.1 +
−
=⇒
+
−
= β
αα
αα
β
48
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como β é um ângulo agudo, tg β > 0 e β pode ser calculado pela 
expressão:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
Quando uma reta for vertical e a outra oblíqua, ou seja, uma das retas é 
perpendicular ao eixo x, não temos coeficiente angular de uma das retas, pois a tg 
90º não existe. 
FIGURA 34 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/
matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 
out. 2013.
Caro acadêmico! Como você pode observar na figura 34, β e rα
 são ângulos 
complementares, assim podemos escrever que tg
 
rtgα
β 1= , consequentemente, 
 
rm
1
=β
.
Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, 
um é complemento do outro.
IMPORTANT
E
Logo, podemos determinar o ângulo (α ) com o coeficiente angular da reta 
r, usando a fórmula:
rm
tg 1=β
TÓPICO 3 | A RETA
49
Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: x + y = 0 e s: 2x+ 
4y – 12 =0.
Solução: Para determinar o ângulo formado entre essas retas, precisamos 
do coeficiente angular, então vamos passar as equações da forma geral para reduzir 
e verificar o valor de m (coeficiente angular).
Temos a equação da geral da reta r: x + y = 0, logo a equação reduzida é y = 
-x, e o coeficiente angular dessa reta é -1 (mr = -1).
E a equação geral da reta s: 2x+ 4y – 12 =0, logo a equação reduzida será: