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a equação geral da reta r que passa pelo ponto A (2, 1), e tem coeficiente angular igual a 2 (m = 2). Solução1: Temos xA = 2, yA = 1 e m = 2. Substituindo em )( AA xxmyy −=− teremos: )2(21 −=− xy , aplicando a propriedade distributiva temos: 421 −=− xy , igualando a zero, teremos: 0421 =+−− xy , resolvendo os termos semelhantes: 032 =+− xy , essa é a equação geral da reta que passa pelo A, com coeficiente angular igual a 2. b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. ATENCAO 0 1 1 1 = BB AA yx yx yx xyA + xBy + xAyB – xByA – xyB – xAy = 0 x (yA – yB) + y(xB - xA) + (xAyB – xByA) = 0 42 UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO Como xA, x B, yA e yB são valores reais, podemos fazer: yA – yB = a xB - xA= b xAyB – xByA = c Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0. ATENCAO Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 7), e represente geometricamente: Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7. 1º Passo: Substituir as coordenados dos pontos na fórmula e resolver: 0 1 1 1 = BB AA yx yx yx 0 173 152 1 = yx 0 73 52 173 152 1 = yxyx temos na diagonal secundária: DP= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) DP = 15 + 7x + 2y E na diagonal principal Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) Ds = 5x + 3y + 14 Como temos DP - Ds = 0: 5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0, resolvendo: -2x + y - 1= 0, essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 7). TÓPICO 3 | A RETA 43 FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA RETA FONTE: Os autores Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos. IMPORTANT E • Equação reduzida da reta Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação geral da reta (ax + by + c = 0). Na equação ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, ao isolarmos y temos: b cx b ay −−=by = - ax - c Em que b a − é o coeficiente angular da reta (m) e b c − é o coeficiente linear (n) da reta. Sendo assim, y = mx + n é a forma reduzida da equação da reta. 44 UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO Quando já temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equação reduzida da reta. NOTA Exemplo: Vamos determinar a equação reduzida da reta, que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 7): Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7. Já resolvemos esse exemplo anteriormente onde encontramos a equação geral dessa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora vamos primeiro determinar o coeficiente angular usando a fórmula: A A xx yym − − = em x e y, nesse caso são xB e yB, logo: 2 1 2 23 57 == − − =m considerando o ponto A (2, 5) e substituindo na fórmula )( AA xxmyy −=− , temos: )2(25 −=− xy resolvendo: 425 −=− xy isolando y: y = 2x – 4 + 5, resolvendo: y = 2x + 1, essa é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 7), e tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1. O coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto onde a reta intercepta (corta) o eixo das ordenadas (eixo y). IMPORTANT E Equação segmentária da reta Com essa forma de representação da equação da reta é possível verificar TÓPICO 3 | A RETA 45 claramente onde a reta intercepta o eixo da abscissa (eixo x) e o eixo da ordenada (eixo y), ou seja, sua visualização gráfica. Vamos denotar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, como: A (0, q) e B (p, 0). FIGURA 30 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA FONTE: Os autores Com a condição de alinhamento dos pontos temos: 0 10 10 1 = p q yx resolvendo encontramos a equação 1=+ q y p x , onde p e q são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da ordenada (y). Exemplo: Determine a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 12 = 0 e faça sua representação geométrica. Solução: Sendo a equação 2x + 3y - 12 = 0, vamos passar a equação geral da reta para sua forma segmentária, isolando x e y. 2x + 3y = 12, depois dividimos tudo por 12: 12 12 12 3 12 2 =+ yx , efetuando as simplificações temos: 1 46 =+ yx , essa é a equação segmentária da reta, onde os pontos que interceptam os eixo y e x são: A (0, 4) e B (6,0). y x r A (0, q) B (p, 0) 46 UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO Representação geométrica: FIGURA 31– SOLUÇÃO DO EXEMPLO: EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA FONTE: Os autores Sempre que não for indicado no texto, é porque a equação da reta está na sua forma geral, quando for equação reduzida ou equação segmentária estará especificado no texto. ATENCAO 3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS Vamos considerar duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, não perpendiculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos observar na Figura 32, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado por α . Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. Retas oblíquas são retas que estão inclinadas. UNI TÓPICO 3 | A RETA 47 FIGURA 32 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS FONTE: Disponível em: <//www.mundoeducacao.com.br/matematica/ angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 mai. 2013. Para determinar o ângulo formado entre as retas ( α ), vamos utilizar a fórmula da tangente e o coeficiente angular das retas, no triângulo ABC, podemos observar: FIGURA 33 – ÂNGULO FORMADO ENTRE RETAS FONTE: Disponível em: <//www.mundoeducacao.com.br/matematica/ angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013. Temos srsr ααβαβα −=⇒+= tg β = tg ( sr αα − ) utilizando a igualdade trigonométrica, temos: tg sr sr sr sr mm mmtg tgtg tgtg .1.1 + − =⇒ + − = β αα αα β 48 UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO Como β é um ângulo agudo, tg β > 0 e β pode ser calculado pela expressão: rs rs mm mm tg .1+ − =β Quando uma reta for vertical e a outra oblíqua, ou seja, uma das retas é perpendicular ao eixo x, não temos coeficiente angular de uma das retas, pois a tg 90º não existe. FIGURA 34 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES FONTE: Disponível em: <//www.mundoeducacao.com.br/ matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013. Caro acadêmico! Como você pode observar na figura 34, β e rα são ângulos complementares, assim podemos escrever que tg rtgα β 1= , consequentemente, rm 1 =β . Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, um é complemento do outro. IMPORTANT E Logo, podemos determinar o ângulo (α ) com o coeficiente angular da reta r, usando a fórmula: rm tg 1=β TÓPICO 3 | A RETA 49 Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: x + y = 0 e s: 2x+ 4y – 12 =0. Solução: Para determinar o ângulo formado entre essas retas, precisamos do coeficiente angular, então vamos passar as equações da forma geral para reduzir e verificar o valor de m (coeficiente angular). Temos a equação da geral da reta r: x + y = 0, logo a equação reduzida é y = -x, e o coeficiente angular dessa reta é -1 (mr = -1). E a equação geral da reta s: 2x+ 4y – 12 =0, logo a equação reduzida será: