Questão 3
Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.
A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
B) Todo polígono convexo possui diagonal.
C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
E) O pentágono possui 5 diagonais.
Questão 11
Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.
A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.
C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.
D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.
Respostas
Resposta Questão 1
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.
O polígono que possui 5 lados é o pentágono.
Resposta Questão 2
Alternativa E.
Sabemos que os divisores de 70 são:
D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.
Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:
10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70
Resposta Questão 3
Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.
Resposta Questão 4
Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.
Si = (n – 2) · 180
Si = ( 8 – 2) · 180
Si = 6 · 180
Si = 1080
Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:
1.080 : 8 = 135º
Resposta Questão 5
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180
720 = ( n – 2) 180
720 / 180 = n – 2
4 = n – 2
n = 4+2
n = 6
Resposta Questão 6
Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.
Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.
Resposta Questão 7
Alternativa B.
Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:
a + b + c = 180
Por proporção, temos que:
a = 3k
b = 5k
c = 7k
Assim sendo, podemos escrever que:
3k + 5k + 7k = 180
15k = 180
k = 180/ 15
k =12
O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.
Resposta Questão 8
Alternativa B.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360
8x – 10 = 360
8x = 360
x = 360 : 8
x = 45
O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.
Resposta Questão 9
Alternativa C.
Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180º
Si = (6 – 2 ) 180º
Si = 4 · 180º
Si = 720º
A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.
Resposta Questão 10
Alternativa D.
35 – 20 = 15
Resposta Questão 11
Alternativa C.
Resposta Questão 12
Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.
Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática.
Polígono convexo
Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos.
Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita.
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180.
Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos.
É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir:
Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono).
Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é:
S = (n – 2)180°
Exemplos:
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?
Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é:
S = (n – 2)180
S = (20 – 2)180
S = 18·180
S = 3280°
Qual é a medida de cada ângulo interno de um icoságono regular?
Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a:
3280
= 162°
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Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
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