Através de uma demonstração simples, podemos constatar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180o. O mesmo pode ser feito para os demais polígonos convexos. Sabendo o número de lados de um polígono, conseguimos determinar a soma das medidas de seus ângulos internos.
Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 2?180O = 360O
Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 3?180O = 540O
Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é:
S = 4?180O = 720O
Generalizando, se um polígono convexo possui n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos será dada por:
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S = (n - 2)?180o
Exemplo 1. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono.
Solução: Icoságono é um polígono convexo com 20 lados, logo, n = 20. Assim, teremos:
S = (n - 2)?180o
S = (20 - 2)?180o
S = 18?180o
S = 3240o
Exemplo 2. Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440o?
Solução: Sabemos que S = 1440o e queremos determinar a quantidade de lados que esse polígono possui, ou seja, determinar o valor de n. Vamos resolver o problema utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos.
Portanto, o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440o é o decágono, que apresenta 10 lados.
Observação: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual a 360°.
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:
Exemplo:Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 720°?n = ?Si= 720°Si= 180° · (n – 2)720° = 180° · (n – 2)(n – 2) = 720o180on – 2 = 4n = 4 + 2n = 6Resposta: O polígono é o hexágono.26.Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é:Si= 180° 180° · (n – 2) = 180°180° · n – 360° = 180°180° · n = 540°n = 540o180on = 3O polígono é o triângulo.Si= 540° 180° · (n – 2)= 540°n – 2 = 540o180on – 2 = 3 n = 5O polígono é o pentágono
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Larson
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9110. Polígono regularPolígono regularOs polígonos que têm todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes chamam-se polígonos regulares.Exemplos:Medida do ângulo interno do polígono regularSendo:Sisoma das medidas dos ângulos internosaimedida do ângulo internoentão: ai=Sinquadradotriângulo equiláterog) 3 240°Si= 3 240° 180° · (n – 2)= 3 240°n – 2 = 3 240o180on – 2 = 18 n = 20O polígono é o icoságono.h) 1 080°Si= 1 080°180° · (n – 2)= 1 080°n – 2 = 1 080o180on – 2 = 6 n = 8O polígono é o octógono.Exemplo:Calcule a medida do ângulo interno do hexágono regular.n = 6Si= 180° · (n – 2)Si= 180° · (6 – 2)Si= 180° · 4Si= 720°ai=Sinai=720o6ai=120°Resposta: A medida do ângulo interno é 120°.
9227.Calcule a medida do ângulo interno dos seguintes polígonos regulares.n = 4Si= 180° · (4 – 2)Si= 360°ai= 360o4ai= 90°n = 8Si= 180° · (8 – 2)Si= 1 080°ai= 1 080o8ai= 135°n = 10Si= 180° · (10 – 2)Si= 1 440°ai= 1 440o10ai= 144°n = 5Si= 180° · (5 – 2)Si= 540°ai= 540o5ai= 108°n = 9Si= 180° · (9 – 2)Si= 1 260°ai= 1 260o9ai= 140°n = 20Si= 180° · (20 – 2)Si= 3 240°ai= 3 240o20ai= 162°
9311. Ângulo externo de um polígono regularA soma das medidas dos ângulos externos (Se) de um polígono convexo é igual a 360°.56º72º103º55º74º84º150º126ºSendo aea medida do ângulo externo de um polígono convexo, temos:ae=Senou ae=360onExemplo:Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 60°?n = ?ae=60°ae=Sen60° =360on60° · n =360°n =360o60on = 6Resposta: É o hexágono regular.28.Calcule a medida do ângulo externo do decágono regular.n = 10 ae= 360o10ae= 36°29.Qual é a medida do ângulo externo do octógono regular?n = 8 ae= 360o8ae= 45°
94Exemplo:Quantos lados tem um polígono regular, sabendo que o ângulo interno é o dobro do ângulo externo?ai= Sinae= Senai= 2 · aeSin= 2 · SenSi= 2 · Se180° (n – 2) = 2 · 360°180° n – 360° = 720°180° n = 1 080°n = 1 080o180on = 6Resposta: O polígono tem seis lados.30.Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 72°?ae= 360on72° = 360on72° · n = 360°n = 360o72on = 5 pentágono regular31.Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 40°?ae= 360on40° = 360on40° · n = 360°n = 360o40on = 9 eneágono regular32.
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