Qual é o sinal do produto entre um fator negativo é outro positivo?

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Na aritmética, o sinal de um número real qualifica sua posição em relação a zero . Um número é considerado positivo se for maior ou igual a zero; diz- se que é negativo se for menor ou igual a zero. O próprio número zero é, portanto, positivo e negativo.

O sinal aritmético é freqüentemente observado usando os sinais algébricos "+" e "-" ( mais e menos ), especialmente em uma tabela de sinais. Na verdade, um número escrito em algarismos é precedido do sinal "-" se for negativo. Mas essa notação pode causar confusão quando os sinais de mais e menos são usados ​​como operadores . Em particular, a expressão - a é positiva, se a for negativa.

A mudança de sinal de uma expressão algébrica é a subtração dessa expressão do elemento nulo . É anotado com o sinal “-” antes da expressão.

Histórico

Uma declaração descarta explicitamente sinais aparecem na Aritmética de Diofanto ( III th  século ):

“O que falta, multiplicado pelo que falta, dá o que é positivo; enquanto o que falta, multiplicado pelo que é relativo e positivo, dá o que falta ”

Também é encontrado em textos como o Arybhatiya, que leva o nome de seu autor, o matemático indiano Âryabhata ( 476-550 ). Este último define as regras de adição e subtração entre os números negativos, que representam dívidas, e os números positivos que quantificam as receitas.

Alguns séculos depois, nos escritos do matemático persa Abu l-Wafa (940 - 998), aparecem produtos de números negativos por números positivos. No entanto, o número negativo ainda permanece ligado a uma interpretação concreta. Uma prova algébrica da regra do sinal foi dada por Ibn al-Banna (1256 - 1321).

No Ocidente, é afirmado por Nicolas Chuquet (c. 1450 - 1487):

“Quem multiplica mais por menos ou vice-versa, sempre sai menos. Quem passa mais e menos passa e mais vem. E quem sai mais por menos ou menos por mais, chega menos ”

Não até o XVII º  século para cálculos algébricos se aplicam igualmente a negativa do que positiva. Mas o próprio D'Alembert (1717 - 1783) ainda mostrará algumas reservas sobre os números negativos na enciclopédia  :

“Devemos admitir que não é fácil fixar a ideia de quantidades negativas, e que algumas pessoas espertas até ajudaram a confundi-la pelas noções imprecisas que deram delas. Dizer que a quantidade negativa está abaixo de nada é avançar algo que não pode ser concebido. Aqueles que afirmam que 1 não é comparável a −1, e que a relação entre 1 e −1 é diferente da relação entre −1 e 1, estão em um erro duplo [...] Portanto, não há quantidade negativa real e absolutamente isolada : −3 tomado abstratamente não apresenta nenhuma ideia para a mente. "

- D'Alembert, Enciclopédia ou Dicionário Raciocinado de Ciências, Artes e Ofícios

Ele explica a regra dos sinais da seguinte forma:

"É por isso que o produto de −a por −b dá + ab: porque aeb sendo precedidos pelo sinal - [...] é uma marca que essas quantidades se encontram misturadas e combinadas com outras, pois, se elas fossem considerados sozinhos e isolados, os sinais pelos quais são precedidos não apresentariam nada claro para a mente. Portanto, essas quantidades −a e −b são encontradas apenas precedidas do sinal - porque há algum erro tácito na definição do problema ou na operação: se o problema foi bem declarado, essas quantidades −a, - b, devem cada ser encontrado com o sinal + e, em seguida, o produto seria + ab. [...] Não é possível, em um trabalho da natureza deste, desenvolver mais essa ideia; mas é tão simples que duvido que possamos substituí-lo por um mais limpo e mais exato; [...] e acredito que posso garantir que nunca vai ser achado culpado. Seja como for, as regras das operações algébricas sobre quantidades negativas são aceitas por todos e geralmente recebidas como exatas, qualquer que seja a ideia que se dê a essas quantidades. "

Regras operacionais

As operações de adição e multiplicação foram estendidas para números negativos, a fim de preservar as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade . Outras propriedades válidas para números positivos devem, no entanto, ser reformuladas, por exemplo:

• dois números positivos organizados em ordem têm seus quadrados dispostos na mesma ordem;
• dois números do mesmo sinal dispostos em ordem têm seu inverso arranjado na ordem oposta.

Adição e subtração

Uma soma algébrica é uma sequência de adição e subtração de números positivos ou negativos, possivelmente usando parênteses . Ele pode ser reinterpretado com as seguintes regras:

• a subtração de um número negativo é a adição de seu valor absoluto;
• a adição de um número negativo é a subtração de seu valor absoluto.

Regra dos sinais

A regra dos signos permite determinar o signo de seu produto a partir dos signos de cada fator.

Regra dos sinais  - 

• O produto de dois números positivos é positivo;
• o produto de dois números negativos é positivo;
• o produto de dois números de sinais opostos (ou seja, um número positivo e um número negativo) é negativo.

Esta regra pode ser estendida a vários fatores:

Teorema  -  Um produto de números reais é positivo se for obtido com um número par de fatores negativos. O produto é negativo se for obtido com um número ímpar de fatores negativos.

Sinal de uma função

Uma função com valores reais é dita positiva se seu valor for positivo em cada ponto de seu domínio de definição. Diz-se que é negativo se seu valor for negativo em cada ponto de seu domínio de definição. Uma função positiva e negativa (ao mesmo tempo), portanto, tem todos os seus valores positivos e negativos ao mesmo tempo, portanto, é constante de valor zero .

Para descrever o sinal de uma função que admite determinados valores estritamente positivos e outros estritamente negativos, é necessário especificar os campos relativos a cada sinal. No caso de uma função contínua em uma união de intervalos reais, esses domínios são eles próprios intervalos dos quais é suficiente especificar os limites.

Função linear

O sinal de uma função afim é completamente determinado pelo sinal de seu coeficiente de direcionamento e o valor de seu possível ponto de cancelamento .

• Se o coeficiente diretor for estritamente positivo, a função será negativa no intervalo à esquerda do ponto de cancelamento e positiva no intervalo à direita desse ponto.
• Se o coeficiente diretor for estritamente negativo, a função será positiva no intervalo à esquerda do ponto de cancelamento e negativa no intervalo à direita desse ponto.
• Se o coeficiente diretor for zero, a função é constante e seu sinal também.

Placa de sinalização

Dada uma expressão algébrica fatorada (ou seja, um produto ou quociente) em que o sinal de cada fator é conhecido, dependendo de uma única variável real, a matriz de sinal para essa expressão inclui uma linha para a variável, uma linha para cada fator e uma linha para a expressão completa. A primeira linha (a da variável) inclui todos os valores de cancelamento dos vários fatores e os limites da área de estudo. As linhas verticais abaixo desses valores determinam as colunas da tabela.

Cada linha de fator é fornecida com zeros nas linhas verticais correspondentes aos valores de cancelamento do fator considerado. Em cada coluna está indicado o sinal de cada fator no intervalo de valores considerado.

Os sinais na linha do resultado são definidos pela regra do sinal a partir dos sinais presentes na coluna. Cada linha vertical nesta linha é fornecida com zero quando há um no fator multiplicativo (ou seja, no numerador). Uma barra dupla marca uma linha vertical quando um zero ocorre no denominador.

Função de segundo grau

O sinal de uma função quadrática depende apenas do sinal de seu coeficiente dominante e do valor de suas raízes, podendo este último ser determinado pelo discriminante .

• Se o discriminante for estritamente negativo, a função tem um sinal constante (o de seu coeficiente dominante) e não se cancela.
• Se o discriminante for zero, a função tem um sinal constante (aquele de seu coeficiente dominante) e só desaparece em um ponto.
• Se o discriminante for estritamente positivo, a função é o sinal de seu coeficiente dominante fora das raízes; é do sinal oposto entre as raízes.

Notas

1. ↑ De acordo com algumas convenções diferentes em vigor nos países anglo-saxões, o adjetivo positivo designa números estritamente positivos, sendo os números positivos ou zero qualificados como não negativos . Com essas convenções, 0 é não positivo e não negativo ( cf. (en) en: Zero # Álgebra elementar ).
2. ↑ Tais confusões são descritas no artigo "Sign" do Dicionário de Matemática Elementar de Stella Baruk.
3. ↑ J. Dhombres & al., Mathematics over the age, Bordas (1987), p. 91
4. ↑ Ahmed Djebbar, Arab algebra, genesis of an art, Vuibert (2005), p. 90
5. ^ René Taton, La Science moderne, Quadrige / PUF (1995), p. 20
6. ↑ D'Alembert alude ao seguinte raciocínio: se −1 é comparável a 1, então os inversos desses dois números são ordenados na ordem oposta. Agora, esses dois números são cada um seu próprio inverso, portanto, se um for maior do que o outro, também será menor. O paradoxo é removido com a seguinte precisão: dois números do mesmo signo arranjados em ordem têm seu inverso arranjado na ordem inversa. Em outras palavras, a função inversa está diminuindo em R + e em R - .

Veja também

• Sinais de mais e menos
• Valor absoluto

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