Regime de Capitalização - Juros Simples e Composto
Olá aluno, neste módulo iremos aprender os conceitos fundamentais relacionados aos regimes de capitalização de juros simples e juros compostos, sendo assim, é fundamental conhecer os elementos utilizados para efetuar nossos cálculos e descobrirmos os valores correspondentes a cada um deles.
Capital ( C ) - O capital é o valor inicial com o qual iremos trabalhar. É com base nele que iremos descobrir valores relacionados aos juros e ao nosso montante.
Juros ( i ) - No contexto do regime de capitalização podemos definir os juros ou a taxa como um valor percentual que iremos obter como lucro ou dívida, calculado com base no nosso capital, sempre sendo uma parte de um todo.
Juros = Capital * Taxa de Juros → J = C * i
Lembrando que podemos representar o percentual da seguinte forma:
Fonte: //i.pinimg.com/originals/5f/bb/53/5fbb53e11efeb478361f978b04befcae.png
Fluxo de Caixa - O fluxo de caixa trata-se do movimento de entrada e saída de valores do caixa da empresa, onde está o nosso capital de giro.
Período ou Tempo (t) - É a medida da unidade de tempo que vamos usar para descobrir a diferença ou a razão entre o capital e os juros.
Montante ( M ) - O montante é o valor final obtido a partir da aplicação do capital inicial a uma taxa de juros em um determinado período de tempo, sendo ele o valor acumulado.
Montante = Capital + Juros
M = C + J
JUROS SIMPLES
Os juros simples têm uma característica bastante interessante que é o seu padrão de geração do valor de juros por período ser sempre o mesmo. Ou seja, os juros serão calculados sempre sobre o valor do capital inicial, não importando o período que esteja.
Fonte: //slideplayer.com.br/slide/5639910/6/images/7/EXEMPLO+Uma+pessoa+empresta+R%24+3+000%2C00+a+uma+taxa+de+juros+simples+de+3%25+ao+m%C3%AAs+num+per%C3%ADodo+de+5+meses.+Quanto+receber%C3%A1+ao+final+desse+per%C3%ADodo.jpg
Calcular o montante para Juros Simples: Montante = Capital * Taxa de Juros * período (tempo), ou seja: M = C * i * t
Uma senhora toma um empréstimo em um banco, por ter um bom relacionamento com a instituição, ela consegue tomar R $5500,00 a uma taxa de 5% ao bimestre. Qual o valor a ser pago ao final de um ano e o valor do juros em R$?
Solução: Primeiro devemos equiparar a taxa de juros do período, se no caso temos 5% ao bimestre em um ano:
t = 12/2
t = 6 bimestres
Convertemos o valor percentual para decimal da nossa taxa de juros: 5/100 = 0,05
Agora que já equiparamos o nosso período, aplicamos a nossa fórmula para calcular a taxa de juros:
J = C * i * t
J = 5500 * 0,05 * 6
J = 275,00 * 6
J = 1650,00
Como o montante é igual ao Capital + Juros, temos:
M = C + J
M = 5500,00 + 1650,00
M = R$ 7150,00
JUROS COMPOSTOS
Agora que vimos sobre juros simples, vamos falar um pouco sobre juros compostos. Basicamente a diferença entre juros simples e juros compostos é simples, nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que já foi corrigido. Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem às operações de curto período.
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo
Calcule o montante produzido por R $2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
Solução: Primeiro devemos equiparar a taxa de juros do período, se no caso temos 4% ao trimestre em um ano:
t = 12/3
t = 4 trimestres
Convertemos o valor percentual para decimal da nossa taxa de juros: 4/100 = 0,04
Agora que já equiparamos o nosso período, aplicamos a nossa fórmula para calcular a taxa de juros:
C = 2 000 (capital inicial)
i = 4% ou 0,04 (ao trimestre)
t = 12/3 = (4 trimestres)
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R $2 339,71.
Vamos para mais um exemplo envolvendo as duas modalidades:
Qual o montante de uma aplicação de R$500,00, a uma taxa de 3% ao mês, em um período de 1 ano e 6 meses, nos sistemas de juros simples e compostos?
Primeiro com juros simples:
Vamos separar os Dados:
C = 500 (capital inicial)
i = 0,03 (taxa de juros)
t = 18 meses = (1ano + 6meses)
O montante será o capital inicial mais os juros.
M = C + J
Sendo o juro:
J = C.i.t
J = 500.0,03.18 = 270
Assim, o montante será:
M = C+J
M = 500+270
M = 770
Resposta: O montante dessa aplicação será de R$770,00.
Agora Veremos a juros compostos:
C = 500 (capital inicial)
i = 0,03 (taxa de juros)
t = 18 meses = (1ano + 6meses)
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Resposta: O montante do investimento no regime de juros compostos é de R$ 851,21.
Agora que já compreende os princípios básicos de juros simples e compostos, abaixo segue uma lista de exercícios para te ajudar na prática, a entender e absorver melhor o conteúdo apresentado.
Obs.: Os primeiros 05 exercícios, contém as respostas ao final desta apostila, mas primeiro é importante que tente fazê-los por conta própria, os demais você utilizará dos seus conhecimentos e auxílio da apostila para desenvolvê-los, bons estudos!
Exercícios
Questão 1 Cálculo do capital
Um certo capital foi aplicado por um período de 6 meses. A taxa foi de 5% ao mês. Após esse período, o montante era de R$ 5000,00. Determine o capital.
Questão 2 Cálculo da taxa de juros
Qual seria a taxa mensal de juros de um investimento de R$ 1000,00 em um período de oito meses que obteve um montante de R$ 1600,00.
Questão 3 Cálculo do período da aplicação (tempo)
Um capital de R$ 8000,00 foi investido a juro mensal de 9%, obtendo um montante de R$ 10360,00.
Quanto tempo esse capital ficou investido?
Questão 4 UECE - 2018
Uma loja vende um aparelho de TV, com as seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$ 1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Questão 5
Uma aplicação de R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?
Questão 6
Se um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$ 800,00, qual será o valor da taxa mensal de juros?
Questão 7
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 5.000,00, à taxa de 1% ao mês?
Questão 8
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
Questão 9
Um capital de R$ 400,00 aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, resultou no montante de R$ 480,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
Questão 10
Lúcia emprestou R$ 500,00 para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final pagará para a Lúcia.
Ver Resposta
Exercícios Resolvidos
Questão 1 Cálculo do capital
Juros simples
Colocando C em evidência na fórmula de juros simples:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Isolando C na equação:
Juros compostos
Isolando C na fórmula dos juros compostos e substituindo os valores:
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Resposta: O capital deve ser de R$ 4201,68.
Questão 2 Cálculo da taxa de juros
Juros simples
Aplicando a fórmula e colocando C em evidência:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Substituindo os valores e fazendo os cálculos numéricos:
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Em porcentagem
I = 7,5%
Juros compostos
Vamos usar a fórmula para juros compostos e dividir o montante pelo capital.
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Em porcentagem i = 6,051%
Questão 3 Cálculo do período da aplicação (tempo)
Juros simples
Utilizando a fórmula
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Portanto, o tempo é de, aproximadamente, 3,27 meses.
juros compostos
Nesta etapa, nos deparamos com uma equação exponencial.
Para resolvê-la, iremos utilizar o logaritmo, aplicando um de mesma base, nos dois lados da equação.
Usando uma propriedade dos logaritmos no lado direito da equação, temos:
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Questão 4 UECE - 2018
Ao comparar o valor do televisor à vista (R$ 1.200,00) e o valor pago em duas parcelas, observamos que houve um acréscimo de R$ 50,00, pois o valor pago foi igual a R$ 1.250,00 (R$ 800,00 + R$ 450,00).
Para encontrar a taxa cobrada, podemos aplicar a fórmula de juros simples, considerando que os juros foram aplicados sobre o saldo devedor (valor da TV à vista menos o valor da entrada). Assim, temos:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 meses
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Alternativa: a) 6,25%
Questão 5
Mês
Juros
Capital + Juros = Montante
1
10% de 10000 = 1000
10000 + 1000 = 11000
2
10% de 11000 = 1100
11000 + 1100 = 12100
3
10% de 12100 = 1210
12100 + 1210 = 13310
Fonte: //www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$ 13.310,00.
Agora, com base nas atividades resolvidas, resolva as questões de 6 a 10.
Boa atividade!