Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(J.P.O., Santos, Introdução à Análise Combinatória) De quantas maneiras uma comissão de [tex] 4 [/tex] pessoas pode ser formada, a partir de um grupo de [tex] 6 [/tex] homens e [tex] 6 [/tex] mulheres, se a mesma é composta de um número maior de homens do que de mulheres?
Lembretes:
✏ Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação
simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\, r\leqslant n[/tex].
O quociente [tex]\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}[/tex] também pode ser denotado por [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] e nesse caso é denominado coeficiente binomial ou número binomial.
✏Princípio Multiplicativo, para dois eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
e esses dois eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m_1\times m_2}\, .[/tex]
Solução
Queremos contar o número de maneiras de formar uma comissão de [tex]4[/tex] pessoas, a
partir de um grupo de [tex]6[/tex] homens e [tex]6[/tex] mulheres, de tal forma que número de homens deve ser maior do que o número de mulheres.
Assim, temos as seguintes situações possíveis:
- Caso 1: A comissão será composta de [tex]3[/tex] homens e [tex]1[/tex] mulher.
- Caso 2: A comissão será composta de [tex]4[/tex] homens e zero mulheres.
Neste caso, pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} 6 \\4 \end{array} \right)} \cdot {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array} \right)} = 15 [/tex] comissões.
Neste caso, pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} \right)} \cdot {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 1
\end{array} \right)} = 20 \cdot 6 = 120 [/tex] comissões.
Portanto, podemos formar [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120 + 15 = 135$}[/tex] comissões a partir de um grupo de [tex]6[/tex] homens e [tex]6[/tex] mulheres, de modo que o número de homens seja maior do que o número de mulheres.
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cada aluno somente poderá assumir uma das funções? 13650 50625 32760 2730 1365 Respondido em 03/09/2020 08:45:42 3 Questão Três crianças estão escolhendo o sabor do picolé que cada um irá comprar, de uma geladeira que possui 10 tipos de sabores diferentes, e todos em grande quantidade. De quantas maneiras essa escolha poderá ser feita, sabendo-se que cada criança irá comprar um picolé? 10 1000 100 720 6 Respondido em 03/09/2020 08:45:56 4 Questão A senha de acesso a conta corrente de um banco possui 6 caracteres, sendo os dois primeiros formados por letras e os quatro últimos formados por algarismos. As letras podem se diferenciar por serem maiúsculas ou minúsculas. Os algarismos não podem ser repetidos e não podem conter o zero. Quantas senhas diferentes poderão ser formadas para acesso à conta corrente desse banco? 4435236 8176896 2044224 6760000 4088448 Respondido em 03/09/2020 08:46:10 5 Questão Um casal será escolhido aleatoriamente de um conjunto formado por 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras esse casal poderá ser formado? 25 11 30 36 20 Respondido em 03/09/2020 08:46:22 6 Questão Quantos são os números compreendidos entre 1999 e 3999, compostos por algarismos distintos escolhidos dentre os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}? 210 420 336 672 686 Respondido em 03/09/2020 08:46:29 7 Questão Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca? 6720 12600 40320 8064 4032 Respondido em 03/09/2020 08:46:56 8 Questão Quantos são os números com 3 algarísmos maiores que 199? 1000 690 800 900 790 Respondido em 03/09/2020 08:47:17 1 Questão Um código de três letras será formado com as letras da palavra BRASIL. 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De quantas maneiras diferentes esse comitê poderá ser formado, sendo que cada aluno somente poderá exercer uma única função? 30240 4032 1008 16128 252 Respondido em 03/09/2020 08:49:14 4 Questão Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7? 2401 35 840 5040 420 Respondido em 03/09/2020 08:49:48 5 Questão Quantas palavras de duas letras distintas podem ser formadas com as vogais do nosso alfabeto? 20 30 10 25 15 Respondido em 03/09/2020 08:50:05 6 Questão Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. 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Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 8 pessoas, quantas comissões diferentes podem ser formadas com essa estrutura? 48 280 70 35 24 Respondido em 02/09/2020 21:02:33 Gabarito Comentado 2 Questão Quantos subconjuntos com exatamente 3 elementos poderão ser formados com os elementos do conjunto A={a, b, c, d, e}? 60 10 120 30 20 Respondido em 02/09/2020 21:02:54 3 Questão De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e de 2 pessoas? 2480 2520 3680 3640 2340 Respondido em 02/09/2020 21:03:10 4 Questão Qual o valor de 6M/a6 sabendo que: M = (a4-1)4 + 4(a4-1)3 + 6(a4-1)2 + 4(a4-1) + 1. 6a15 6a20 6a5 6a 6a10 Respondido em 02/09/2020 21:04:04 Gabarito Comentado 5 Questão Nove pessoas param para pernoitar num hotel. Existem 3 quartos com 3 lugares cada. 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De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se duas dessas dez pessoas são marido e mulher e deverão ir juntos nesse passeio? 28 165 122 115 126 Respondido em 02/09/2020 21:05:46 Gabarito Comentado 8 Questão Do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quantos são os subconjuntos com 4 elementos que necessariamente contenham os elementos 1 e 2? 24 15 3 6 9 Respondido em 02/09/2020 21:06:01 Questão Um grupo formado por 10 matemáticos será distribuído aleatoriamente por três grupos de trabalhos num congresso de ciências. O primeiro grupo receberá 4 desses matemáticos, o segundo e o terceiro dividirão os restantes em quantidades iguais. Nessas condições, de quantas maneiras diferentes esses matemáticos poderão ser distribuídos pelos grupos de trabalho? 231 120 4200 2380 1240 Respondido em 03/09/2020 08:51:29 2 Questão De um grupo de 15 alunos serão escolhidos aleatoriamente 8 para um projeto de pesquisa. 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