Atualizámos a nossa política de privacidade de modo a estarmos em conformidade com os regulamentos de privacidade em constante mutação a nível mundial e para lhe fornecer uma visão sobre as formas limitadas de utilização dos seus dados.
Pode ler os detalhes abaixo. Ao aceitar, está a concordar com a política de privacidade atualizada.
Obrigado!
Ver política de privacidade atualizada
Encontrámos um problema, por favor tente novamente.
Grátis
587 pág.
- Denunciar
Pré-visualização | Página 14 de 50
a 3. O total de fotos será dado por: Exemplo 6: Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os números naturais possíveis de 3 algarismos e distintos, colocados em ordem crescente. Qual a posição do número 793? Resolução: Sendo os números formados em ordem crescente, determinaremos todos os números iniciados com o algarismo 3; portanto, sobram 2 posições restantes para os demais algarismos. Números iniciados pelo algarismo 5, portanto, sobrando, também, 2 posições para os demais algarismos. Observe que, até agora, formamos 12 números iniciados pelos algarismos 3 ou por 5. Os números iniciados pelo algarismo 7, serão: 7 3 5: ocupa a posição. 7 3 9: ocupa a posição. 7 5 3: ocupa a posição. 7 5 9: ocupa a posição. 7 9 3: ocupa a posição. 7 9 5: ocupa a posição. Logo, serão formados 18 números distintos com 3 algarismos, formados pelos algarismos 3, 5, 7 e 9; e o número 793 ocupará a posição. 2.2.4. Permutações simples Denominamos permutações simples de n elementos dados a toda sucessão de n termos, formada com os n elementos dados. As permutações simples são casos particulares de arranjos simples quando n = k, daí o número de permutações simples de n elementos ser dado por: Então: Exemplo 1: De quantas maneiras distintas podemos posicionar 5 pessoas em uma fila contendo 5 cadeiras? Resolução: Para a 1ª cadeira, teremos 5 opções; para a 2ª cadeira, teremos 4 opções, pois, pelo menos uma das 5 pessoas deverá estar sentada na 1ª cadeira; para a 3ª cadeira, teremos 3 opções, pois as 2 primeiras cadeiras já estão ocupadas; para a 4ª cadeira, teremos 2 opções, pois sobrarão apenas 2 pessoas a serem acomodadas; e, para a última cadeira, sobrará apenas uma vaga. Assim, pelo Princípio Multiplicativo da Contagem (princípio que permite permutar as posições), teremos: Portanto, teremos 120 maneiras distintas dessas 5 pessoas sentarem-se em 5 cadeiras. Exemplo 2: Com a palavra EXATO: a) Quantos anagramas existem? b) Quantos anagramas iniciam com a letra A? c) Quantos anagramas iniciam com vogal? d) Quantos anagramas iniciam com consoante? e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal? Observação: Anagrama é a palavra ou frase que se obtém quando se troca apenas a ordem das letras de uma palavra ou frase já dada. Resolução dos itens: a) Quantos anagramas? O total de anagramas é igual a P5, isto é, ao número de permutações simples com as letras E, X, A, T, O. Portanto, temos: b) Quantos anagramas iniciam com a letra A? Fixando a letra A na primeira posição, ficamos com 4 posições disponíveis e 4 letras a serem permutadas: Assim, o total de anagramas que se iniciam com a letra A é igual a P4: c) Quantos anagramas iniciam com vogal? De maneira análoga ao item anterior, verificamos que, para cada vogal, temos P4 anagramas. Como são 3 as vogais da palavra EXATO, ou seja, E, A e O, temos, então, 3P4 anagramas: P4 = 72 anagramas iniciados por vogais d) Quantos anagramas iniciam com consoante? Fixando as consoantes na primeira posição, temos P4 anagramas para cada consoante. Como a palavra EXATO possui 2 consoantes, ou seja, X e T, então, teremos o total de 2P4 anagramas que iniciam-se por consoantes: P4 = 48 anagramas iniciados por consoantes e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal? Ou seja, para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição, temos, nas 3 posições intermediárias, as permutações simples de 3 letras que restarem, formando P3 anagramas, totalizando 2 × P3 × 3 anagramas que se iniciam por consoantes e terminam com vogal. Exemplo 3: Com a palavra MARTELO: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas começam por A ? c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L? d) Quantos anagramas começam por vogal? e) Quantos anagramas terminam por consoante? f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante? h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem? i) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas? Resolução dos itens: a) Quantos anagramas podemos formar? Um anagrama da palavra MARTELO é a própria palavra ou qualquer outra que se obtém trocando a ordem de suas letras. Assim, o número de anagramas da palavra MARTELO é igual ao número de permutações simples de 7 letras distintas, isto é: anagramas distintos. b) Quantos anagramas começam por A? Fixando-se a letra A na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas 6 posições posteriores: anagramas distintos que começam com a letra A. c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L? Fixando-se as letras A e L na primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5 letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias: P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 anagramas começam por A e terminam por L. d) Quantos anagramas começam por vogal? Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas posições posteriores: P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 3P6 = 3 × 6! = 3 × 720 = 2.160 possibilidades. Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal. e) Quantos anagramas terminam por consoante? Há 4 possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: M, R, T ou L. Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas 6 posições anteriores: P6 = 6! = 6 ×5 × 4 ×3 ×2 × 1 = 720 4P6 = 4 × 6! = 4 × 720 = 2.880 possibilidades. Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante. f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição e 4 possibilidades para o preenchimento da última (sétima posição). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5 letras para serem distribuídas nas posições intermediárias: 3 × P5 × 4 = 3 × 5! × 4 = 3 × 120 × 4 = 1.440. Há, então, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante. g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante? Sejam A e B conjuntos de anagramas da palavra MARTELO, tais que: • A = {anagramas que começam por vogal}; • B = {anagramas que terminam por consoante}; • A B = {anagramas que começam por vogal e terminam por consoante}; • A B = {anagramas que começam por vogal ou terminam por consoante}. Lembremos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Nos itens (d), (e) e (f) já calculamos n(A), n(B) e n(A ∩ B) e obtivemos: n(A) = 2.160; n(B) = 2.880; n(A ∩ B) = 1.440. Logo, n(A ∪ B) = 2.160 + 2.880 – 1.440 = 3.600. Temos então que 3.600 anagramas começam por vogal ou terminam por consoante. h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem? Primeiro modo: As letras M, A e R podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira, segunda, terceira; segunda, terceira, quarta; terceira, quarta, quinta; quarta, quinta, sexta; quinta, sexta, sétima. Analisemos cada caso: 1º caso: Primeira, segunda e terceira posições: 2º caso: Segunda, terceira e quarta posições: 3º caso: Terceira, quarta e quinta posições: 4º caso: Quarta, quinta e sexta posições: 5º caso: Quinta, sexta e sétima posições: Observe que, nos 5 casos estudados anteriormente, sobram, sempre, 4 letras para serem permutadas entre si. Portanto, ˆp [teremos, 5 possibilidades de Permutação Simples de 4 letras cada uma, ou, resumindo os cálculos em: Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem. Segundo modo: Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco de letras MAR atuou como um único elemento nas demais permutações simples (as letras M, A e R estão colocadas nessa “ordem”). Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações simples dos 5 elementos a seguir: “MAR”, T, E, L e O, isto é, considerando o bloco de letras “MAR” como sendo um único elemento a ser permutado com as