Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-se em repouso no plano X Y, com seu centro na origem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente distribuída.
- Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com cota arbitrária z.
- Considere agora um bastão retilíneo, muito fino, em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e z = b > a. Tal bastão também possui carga total Q, uniformemente distribuída. Calcule o vetor força elétrica sobre tal bastão devido ao anel. (Sugestão: a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão carregado).
Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-se em repouso no plano X Y, com seu centro na origem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente distribuída.
- Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com cota arbitrária z.
- Considere agora um bastão retilíneo, muito fino, em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e z = b > a. Tal bastão também possui carga total Q, uniformemente distribuída. Calcule o vetor força elétrica sobre tal bastão devido ao anel. (Sugestão: a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão carregado).
Uma barra isolante, de espessura desprezível e comprimento L = 40 c m, repousa sobre o eixo x desde x = 0 até x = L. Ela recebe uma carga total Q T O T A L que se distribui de modo não uniforme de acordo com a densidade linear de carga dada pela função λ x = A x, onde A = 2 × 10 - 4 é uma constante com dimensões apropriadas. O sistema de coordenadas está indicado na figura.
a ) Calcule o valor da carga total na barra, Q T O T A L , e a unidade SI (Sistema Internacional) da constante A.
b ) Calcule o valor E y (componente y apenas) do vetor campo elétrico E → no ponto de coordenadas x , y , z = 0 , 30 c m , 0 .
c ) O campo elétrico produzido por toda a barra no ponto P, de coordenadas 1.0 m , 0 , 0 , vale E → = 2,8 × 10 5 N / C ( x ^ ). Em que ponto do espaço se deveria colocar a carga pontual Q = - 0,7 μ C para que o campo total resultante fosse nulo em P?
Ver solução completaUm anel circular, muito fino, de raio R, encontra-se em repouso no plano X Y, com seu centro na origem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente distribuída.
- Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com cota arbitrária z.
- Considere agora um bastão retilíneo, muito fino, em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e z = b > a. Tal bastão também possui carga total Q, uniformemente distribuída. Calcule o vetor força elétrica sobre tal bastão devido ao anel. (Sugestão: a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão carregado).
O arco de um quarto de circunferência de raio R, mostrado na figura abaixo, possui uma distribuição de carga não uniforme dada por λ θ = α θ, sendo α uma constante positiva.
(a) Calcule a carga total Q presente no arco, em função de α e de R.
(b) Calcule (em função de α, de R e da constante de Coulomb k) as componentes E x e E y com os respectivos sinais, do vetor campo elétrico criado pelo arco sobre o ponto O localizado na origem.
Considere agora que o arco gere, em um ponto P qualquer, um campo elétrico E → p = - 1,14 x ^ - 2,00 y ^ ( N / C ) e que neste mesmo ponto P seja colocada uma carga puntiforme q = 5 n C.
(c) Encontre o vetor da força elétrica Fexercida pelo arco sobre a carga.
Considere um anel circular, fino de raio R, com uma distribuição de carga linear, estacionária, com carga total q. O campo elétrico, devido a tal anel em um ponto de seu eixo perpendicular de simetria, com cota z, definida a partir do centro do anel (conforme a Figura 1), é dado por:
E → x = 0 , y = 0 , z = k 0 q z z ^ R 2 + z 2 3 2
Considere, agora, uma superfície cilíndrica (aberta, ou seja, sem incluir as bases) circular, reta, de raio R, e comprimento (ou altura) 2 R, com uma densidade superficial constante (homogênea e estacionária) σ (conforme a Figura 2).
a Determine a carga total Q do tal cilindro.
b Supondo que tal cilindro é coaxial com o eixo Z, com seu plano médio coincidente com o plano z = 0 (conforme a Figura 2), determine o campo elétrico E → c em um ponto P 0 : x = 0 , y = 0 , z 0 do eixo Z, com cota z 0 .
c Encontre o limite assintótico do campo do cilindro determinado no item b (dependência do campo com z 0 ), para z 0 ≫ R. Discuta o resultado encontrado.
Ver solução completaConsidere o bastão delgado da figura, de comprimento L, posicionado ao longo do eixo x. Sobre o bastão existe uma densidade linear de carga dada por λ ( x ) = α x, onde α é uma constante positiva (todas as unidades estão no SI). Um determinado ponto P possui coordenadas retangulares ( 0 , y , 0 ) onde y > 0.
a) Considerando a referência dos potenciais no infinito encontre o potencial V P no ponto P.
b) Suponha agora que o potencial gerado pelo bastão no ponto P seja dado pela expressão:
V P = β 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y
onde β é uma constante positiva (todas as unidades estão no SI). Calcule a componente y do vetor campo elétrico E → P em P a partir da expressão fornecida. Responda também se as componentes x e z do vetor campo elétrico E → P em P, devidas ao bastão com a densidade linear de carga original, são positivas, negativas ou nulas, sem precisar calculá-las diretamente a partir da lei de Coulomb (Sugestão: use argumentos de simetria).
Considere novamente a expressão dada no item (b), agora com os valores numéricos L = 4,0 m, y = 3,0 me β = 5,0 × 10 - 6 em unidades do SI.
c) Calcule todos os pontos do espaço em que a carga puntiforme q = 4,0 × 10 - 6 C pode ser colocada de modo que o potencial TOTAL gerado em P tenha o triplo do valor daquele gerado unicamente pelo bastão.
Ver solução completaUm plano condutor infinito e aterrado, ou seja, mantido a um potencial eletrostático zero, é posicionado sobre o plano y z de um sistema de coordenadas. Uma partícula de carga q > 0 é posicionada sobre o eixo x, na porção x > 0, a uma distância d do plano, como mostrado na figura abaixo. Sabe-se que, quando o sistema partícula + plano está em equilíbrio eletrostático, o campo eletrostático na região x > 0 é idêntico ao produzido por outro sistema onde o plano é substituído por uma segunda partícula, de carga - q, colocada na posição correspondente à imagem especular da primeira partícula com relação ao plano.l
(a) Determine a força eletrostática (módulo, direção e sentido) que o plano exerce sobre a partícula.
(b) Determine o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) produzido pelo sistema partícula + plano em um ponto P arbitrário sobre o plano y z, a uma distância s da origem. Considere que este ponto está na vizinhança externa do plano na porção x > 0.
(c) Utilizando o resultado do item anterior, determine a densidade superficial de carga induzida sobre o plano no ponto P. Interprete o resultado.
Ver solução completaUma linha uniforme de cargas de comprimento L e a carga total q produz um campo elétrico E → y a uma distância d da linha ao longo da sua mediatriz que é dado pela equação: E → y = 1 4 π ε 0 . q d d 2 + L 2 / 4 j ^ .
Considere agora um sistema constituído por uma calha cilíndrica isolante de comprimento L, raio de curvatura R, carregada uniformemente com carga total Q positiva. A origem dos eixos O está situada sobre o eixo da calha, a uma distância R da superfície lateral da mesma, e no plano mediano que corta a calha em duas partes idênticas de comprimento L / 2. A interseção da calha com o plano X Y descreve um arco de circunferência de ângulo igual a 2 θ, com θ = π / 4, como representado na figura.
a ) Considere a calha como constituída por fios de carga infinitesimal d Q, largura d l e comprimento L. Calcule a carga infinitesimal d Q de cada fio. (A densidade superficial de carga da calha é σ = 2 Q / π R L)
b ) Considerando que L ≫ R, obtenha o módulo, direção e sentido do campo elétrico gerado pela calha carregada na origem dos eixos O.
Um plano infinito carregado uniformemente é agora colocado paralelamente ao plano Y Z cortando o eixo X na coordenada – R. Nesta condição, nota-se que o campo elétrico resultante na origem O é nulo.
c ) Calcule a densidade superficial de carga σ do plano infinito carregado.
Ver solução completaDois bastões idênticos, finos, de mesmo comprimento L, estão dispostos nos semi-eixos positivos X e Y conforme mostra a figura. Neles, há uma distribuição de carga estacionária, não necessariamente uniforme, com a mesma densidade linear λ s , onde s é a distância de um ponto genérico sobre um dos bastões até a origem.
Considere dois elementos infinitesimais, nos pontos P : x , 0 e Q : 0 , y , dos bastões em X e Y, com comprimentos d x e d y, respectivamente.
Qual é a força elétrica d F P → Q que o elemento em P exerce sobre o elemento em Q?
a k 0 λ x d x λ y d y x 2 + y 2 3 / 2 - x x ^ + y y ^
b k 0 λ x d x λ y d y x 2 + y 2 3 / 2 x x ^ + y y ^
c k 0 λ x d x λ y d y x 2 + y 2 3 / 2 x x ^ - y y ^
d k 0 λ 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 d s 2 x ^ + y ^
e k 0 λ 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x ^
Ver solução completaUm fio isolante fino tem a forma de um quarto de círculo de raio R = 1 m. Ele está posicionado sobre o primeiro quadrante do plano X Y de um sistema de coordenadas com centro na origem, como mostra a figura abaixo. Sabendo que o fio possui uma carga total Q = 4 μ C uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, qual é o valor aproximado da componente E x do campo elétrico produzido por ele em um ponto P localizado sobre o eixo Z, a uma distância z = 4,7 m do centro?
- - 648,9 N / C
- 0 N / C
- - 3050,0 N / C
- - 206,7 N / C
- - 1525,0 N / C
- - 485,7 N / C
- - 103,3 N / C
- - 971,3 N / C
Um anel semicircular fino, isolante, de raio R está posicionado sobre a porção superior do plano x y de um sistema de coordenadas e centrado na origem, como mostra a figura. Ele possui uma densidade linear de carga não uniforme dada por λ = λ 0 s e n θ, sobre as componentes xe y do campo elétrico produzido pelo anel em seu centro, E x e E y , podemos afirmar que:
- E x > 0 , E y < 0
- E x < 0 , E y = 0
- E x = 0 , E y > 0
- E x > 0 , E y = 0
- E x = 0 , E y < 0
- E x < 0 , E y > 0
Uma barra fina isolante de comprimento 2 L é posicionada sobre o eixo x de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado abaixo. Ela encontra-se carregada de forma que a porção – L < x < 0 possui uma densidade linear constante + λ, e na porção 0 < x < L uma densidade - λ. Considere os pontos P e Q indicados na figura. Podemos afirmar que o campo elétrico produzido pela barra nestes pontos aponta, respectivamente, no sentido dos vetores:
Escolha uma:
- + x ^ , + x ^
- - x ^ , - x ^
- + y ^ , + x ^
- – y ^ , + x ^
- – y ^ , - x ^
- - x ^ , + x ^
- + x ^ , - x ^
- + y ^ , - x ^