Prova Resolvida Matemática (IBGE/2016) 36. (IBGE 2016/FGV) As meninas Alice, Beatriz e Celia brincam na balança. Alice e Beatriz juntas pesam 100 kg, Alice e Celia juntas pesam 96 kg e Beatriz e Celia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa: a) 48 kg; b) 50 kg; c) 52 kg; d) 54 kg; e) 56 kg. Denotemos por a, b e c, respectivamente, os pesos de Alice, Beatriz e Celia. Podemos escrever as seguintes equações: a+b = 100 a+c = 96 b+c = 108 Há várias maneiras para resolver este sistema de equações. Como queremos calcular o valor de b, podemos multiplicar a segunda equação por -1. a + b = 100 - a c = - 96 b + c = 108 Vamos agora somar as três equações. 2b = 112 b = 56 Letra E 37. (IBGE 2016/FGV) Considere a sequência infinita IBGEGBIBGEGBIBGEG... A 2016ª e a 2017ª letras dessa sequência são, respectivamente: a) BG; b) GE; c) EG; d) GB; e) BI. www.pontodosconcursos.com.br 1
O conjunto de letras IBGEGB se repete infinitas vezes. Observe. IBGEGBIBGEGBIBGEGB... Assim, o período é igual a 6. Vamos dividir 2016 por 6. 2016 6. 0 336 Assim, 336 x 6 = 2016. Ou seja, se escrevermos o conjunto de letras IBGEGB 336 vezes, teremos escrito exatamente 2016 letras. Assim, a 2016ª letra é B, que é a última letra de IBGEGB. Portanto, a 2017ª letra será I. Letra E 38. (IBGE 2016/FGV) A grandeza G é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Sabe-se que quando o valor de A é o dobro do valor de B, o valor de G é 10. Quando A vale 144 e B vale 40, o valor de G é: a) 15; b) 16; c) 18; d) 20; e) 24. Como G é proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B, podemos escrever: G! B! A! = G! B! A! Sabe-se que quando o valor de A é o dobro do valor de B, o valor de G é 10. Vamos usar B = 1, A = 2 e G = 10 na primeira situação (lado esquerdo da equação). Letra C 10 1 2 = G! 40 144 5 = G! 40 144 G! 40 = 720 G! = 18 www.pontodosconcursos.com.br 2
39. (IBGE 2016/FGV) Sobre os números inteiros w, x, y e z, sabe-se que w > x > 2y > 3z. Se z =2, o valor mínimo de w é: a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10. Como queremos o valor mínimo de w, devemos calcular valores mínimos para as outras variáveis. z = 2. Portanto, 3z = 6. Como 2y > 3z, então 2y > 6. Portanto, y > 3. O menor valor inteiro para y é 4. Portanto, 2y = 8. x > 2y x > 8. O menor valor inteiro para x é 9. w > x w > 9. O menor valor inteiro para w é 10. Letra E 40. (IBGE 2016/FGV) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de 1 unidade astronômica (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A distância de Sírius ao Sol em UA é: a) 5.400; b) 54.000; c) 540.000; d) 5.400.000; e) 54.000.000. Basta converter 81 trilhões de quilômetros para UA, basta dividir este número por 150 milhões. Letra C 81 trilhões 150 milhões = 81.000.000.000.000 = 8.100.000 = 540.000 150.000.000 15 www.pontodosconcursos.com.br 3
41. (IBGE 2016/FGV) Um segmento de reta de comprimento C é dividido em cinco partes iguais, e a segunda e a quarta partes são retiradas. A seguir, cada uma das partes restantes é também dividida em cinco partes iguais, e as segundas e as quartas partes são retiradas. A soma dos comprimentos das partes restantes é: a) 9C/25 b) 8C/25 c) 6C/25 d) 4C/5 e) 3C/5 Temos um segmento de comprimento C. Dividimos este segmento em 5 partes iguais e retiramos 2 destas partes, ou seja, retiramos 2/5 deste segmento. A fração que sobra é 3/5. Assim, ainda temos um comprimento total de 3C/5. Cada um dos pedaços que sobraram, é dividido em 5 partes e são retirados 2 destas partes. Assim, sobram 3/5 dos segmentos restantes. Destarte, o comprimento total das partes restantes é 3/5 de 3C/5. Letra A 3 5 3C 5 = 9C 25 42. (IBGE 2016/FGV) Uma loja de produtos populares anunciou, para a semana seguinte, uma promoção com desconto de 30% em todos os seus itens. Entretanto, no domingo anterior, o dono da loja aumentou em 20% os preços de todos os itens da loja. Na semana seguinte, a loja estará oferecendo um desconto real de: a) 10%; b) 12%; c) 15%; d) 16%; e) 18%. Suponhamos que determinada mercadoria custasse 100 reais no início. O dono da loja aumentou em 20% este preço. Portanto, esta mercadoria passou a custar R$ 120,00. Em seguida, a loja fez uma promoção e deu um desconto de 30%. Como 30% de 120 é igual a 36 reais, então o preço final da mercadoria é 120 36 = 84 reais. A mercadoria custava 100 reais e agora custa 84 reais: o desconto é de 16% EM RELAÇÃO AO PREÇO INICIAL, ANTES DO AUMENTO DADO NO DOMINGO ANTERIOR. www.pontodosconcursos.com.br 4
Esta foi a intenção do enunciado: saber qual foi o desconto em relação ao domingo anterior à promoção. Isto não ficou bem claro no enunciado. Portanto, defendo que a questão deve ser anulada. Gabarito oficial: D 43. (IBGE 2016/FGV) Rubens percorreu o trajeto de sua casa até o trabalho com uma determinada velocidade média. Rubinho, filho de Rubens, percorreu o mesmo trajeto com uma velocidade média 60% maior do que a de Rubens. Em relação ao tempo que Rubens levou para percorrer o trajeto, o tempo de Rubinho foi: a) 12,5% maior. b) 37,5% menor. c) 60% menor. d) 60% maior. e) 62,5% menor. Lembre-se que distância = velocidade x tempo. Vamos assumir que a velocidade de Rubens é de 100km/h e que ele levou 1 hora para percorrer o trajeto. Assim, a distância percorrida é igual a 100 x 1 = 100 km. Rubinho tem uma velocidade 60% maior. Assim, sua velocidade é igual a 160 km/h. Em quanto tempo ele percorrerá 100km? Ora, se d = vt, então t = d/v, ou seja, devemos dividir a distância pela velocidade para calcular o tempo. t = 100/160 = 0,625 h. Em suma, Rubens leva 1h para percorrer o trajeto e Rubinho 0,625h. O tempo de Rubinho obviamente é menor. Queremos responder em termos percentuais. A diferença é de 0,375h. Em porcentagem, devemos dividir a diferença pelo tempo de Rubens. 0,375/1 = 0,375 = 37,5%. Letra B www.pontodosconcursos.com.br 5
44. (IBGE 2016/FGV) Uma senha de 4 símbolos deve ser feita de forma a conter dois elementos distintos do conjunto {A, B, C, D, E} e dois elementos distintos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}, em qualquer ordem. Por exemplo, a senha 2EC4 é uma das senhas possíveis. Nesse sistema, o número de senhas possíveis é: a) 2400; b) 3600; c) 4000; d) 4800; e) 6400. Há 5 elementos no primeiro conjunto e precisamos escolher dois. Isto pode ser feito de C 5,2 maneiras. Há 6 elementos no segundo conjuntos e precisamos escolher dois. Isto pode ser feito de C 6,2 maneiras. Além disso, devemos permutar os 4 elementos escolhidos para calcular o total de possíveis senhas. Letra B P! C!! C!! = 4! 5 4 2 1 6 5 2 1 = 3.600 45. (IBGE 2016/FGV) Quando contamos os números pares em ordem crescente de 1000 até 2500, o número 2016 ocupa a 509ª posição. Quando contamos os números pares em ordem decrescente de 2500 até 1000, o número 2016 ocupa a posição: a) 240; b) 241; c) 242; d) 243; e) 244. Temos a sequência (2500,2498,2496,2494,...,2016,2014,2012,...,1000). Esta é uma progressão aritmética de razão -2. O primeiro termo é 2500, ou seja, a 1 = 2500. Digamos que a n = 2016. Queremos saber o valor de n. Usemos a fórmula do termo geral. a n = a 1 + (n 1).r 2016 = 2500 + (n 1).(-2) -484 = -2n + 2 www.pontodosconcursos.com.br 6
2n = 486 n = 243 Letra D 46. (IBGE 2016/FGV) O pentágono ABCDE tem área de 125 m 2. Esse pentágono foi ampliado a partir do vértice A, como mostra a figura a seguir, transformando-se no pentágono APQRS cujos lados PQ, QR e RS são, respectivamente, paralelos aos lados BC, CD e DE do pentágono original. Se AB = 10 m e BP = 2 m, a área da região sombreada na figura é, em m 2 : a) 55 b) 64 c) 72 d) 75 e) 80 Os pentágonos são semelhantes. O lado AP do pentágono maior é 10 + 2 = 12. Assim, a razão de semelhança (do maior para o menor) é 12/10 = 1,2. A razão entre as áreas (do maior para o menor) é o quadrado da razão de semelhança: 1,2 2 = 1,44. Portanto: A!"#$% 125 = 1,44 A!"#$% = 125 1,44 = 180 Assim, a área do pentágono maior é 180m 2. A área sombreada é 180 125 = 55 m 2. Letra A www.pontodosconcursos.com.br 7
47. (IBGE 2016/FGV) Lucas foi a uma feira de jogos levando 45 cartas vermelhas e 45 cartas azuis. Em um quiosque ele pode trocar duas cartas vermelhas por uma carta dourada e uma carta azul. Em outro quiosque ele pode trocar três cartas azuis por uma carta dourada e uma carta vermelha. Lucas fez todas as trocas possíveis para conseguir o máximo de cartas douradas. O número de cartas douradas que Lucas conseguiu com as trocas foi: a) 59; b) 60; c) 61; d) 62; e) 63. Em um quiosque ele pode trocar duas cartas vermelhas por uma carta dourada e uma carta azul. Quiosque 1: 2V --> 1D + 1A. Em outro quiosque ele pode trocar três cartas azuis por uma carta dourada e uma carta vermelha. Quiosque 2: 3A --> 1D + 1V Lucas possui 45 cartas vermelhas e 45 azuis: 45V + 45A. Queremos fazer trocas com o objetivo de ter o máximo de cartas douradas. Vamos no Quiosque 1. A cada duas cartas vermelhas, podemos pegar 1 dourada e 1 azul. Como temos 45V, podemos pegar 22D e 22A (e ainda sobra 1V. 45V + 45A -->22D+22A+1V+45A. Vamos simplificar: 22D+22A+1V+45A = 22D + 1V + 67A. Lucas agora tem 22D, 1V e 67A. Como precisamos de pelo menos 2V para fazer alguma troca no quiosque 1, não há mais o que fazer, por enquanto, no quiosque 1. Vamos para o quiosque 2. Lembre-se do esquema de troca no quiosque 2: 3A --> 1D + 1V Isto quer dizer que 3 azuis são trocadas por 1 dourada e 1 vermelha. Temos 67 azuis, que podem ser trocadas por 22D e 22V (e ainda sobra 1A). 22D + 1V + 67A --> 22D + 1V + 22D + 22V + 1A Vamos simplificar esta expressão: www.pontodosconcursos.com.br 8
22D + 1V + 22D + 22V + 1A = 44D + 23V + 1A. Lucas agora tem 44 douradas, 23 vermelhas e 1 azul. Vamos voltar para o quiosque 1. A cada duas vermelhas podemos pegar 1 dourada e 1 azul. Assim, 23V podem ser trocadas por 11D + 11A (e ainda sobra 1V). 44D + 23V + 1A --> 44D + 11D + 11A + 1V + 1A Vamos simplificar: 44D + 11D + 11A + 1V + 1A = 55D + 12A + 1V Voltemos ao quiosque 2. Lá, 3A podem ser trocadas por 1D + 1V. Assim, 12A podem ser trocadas por 4D + 4V. 55D + 12A + 1V --> 55D + 4D + 4V + 1V Simplificando... 55D + 4D + 4V + 1V = 59D + 5V Voltemos ao quiosque 1. Lá, 2V são substituídas por 1D + 1A. Portanto, 5V são trocadas por 2D + 2A (e ainda sobra 1V). 59D + 5V -->59D + 2D + 2A + 1V Simplificando... 59D + 2D + 2A + 1V = 61D + 2A + 1V. Temos, no máximo, 61 cartas douradas. Letra C www.pontodosconcursos.com.br 9
48. (IBGE 2016/FGV) Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao da figura abaixo. O volume dessa pirâmide em m 3 é aproximadamente: a) 84; b) 90; c) 96; d) 108; e) 144. A base da pirâmide é um quadrado de lado 6. A diagonal do quadrado é 6 2. Assim, a distância do centro do quadrado até um de seus vértices é 3 2. Observe a pirâmide. Podemos calcular a altura da pirâmide pelo teorema de Pitágoras. h! + 3 2! = 10! h! + 18 = 100 h! = 82 www.pontodosconcursos.com.br 10
h 9 A área da base é a área de um quadrado de lado 6. Portanto, a área da base é A b = 6 2 = 36. O volume da pirâmide é dado por: V = A! h 3 V 36 9 3 V 108 Letra D 49. (IBGE 2016/FGV) Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma moeda na mão. As moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade de sair cara ou coroa em cada uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as cinco pessoas jogam suas respectivas moedas. Aquelas que obtiverem cara continuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-se. Após esse procedimento, a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas sentadas ou ambas de pé, é de: a) 1/2 b) 1/8 c) 1/16 d) 3/32 e) 5/32 Pessoas vizinhas devem possuir sempre resultados diferentes. Sendo C uma cara e K uma coroa, estamos interessados em dois casos: CKCKC ou KCKCK. P CKCKC ou KCKCK = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 32 + 1 32 = 2 32 = 1 16 Letra C www.pontodosconcursos.com.br 11
50. (IBGE 2016/FGV) Duas grandezas positivas X e Y são tais que, quando a primeira diminui de 1 unidade, a segunda aumenta de 2 unidades. Os valores iniciais dessas grandezas são X = 50 e Y = 36. O valor máximo do produto P = XY é: a) 2312; b) 2264; c) 2216; d) 2180; e) 2124. A FGV não explicitou o conteúdo desta questão em seu edital, já que são necessários conhecimentos sobre função quadrática para resolvê-la. Se dermos n diminuições de 1 unidade em X, deveremos dar n aumentos de 2 unidades em Y. Assim, o produto P ficará assim: P = (50 1n)(36+2n) P = 1800 + 100n 36n 2n 2 P = 2n 2 + 64n + 1800 Temos uma função quadrática com a = -2, b = 64 e c = 1800. O valor máximo ocorre quando n = -b/2a = -64/2(-2) = 16. Substituindo n por 16, encontramos o valor máximo de P. P = (50 16)(36+2*16) = 34*68 = 2.312. Letra A www.pontodosconcursos.com.br 12