As operações com conjuntos são essenciais para compreender a relação entre um ou mais conjuntos numéricos. Recorrentes no estudo da álgebra, são elas:
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união, que é a junção de todos os elementos dos conjuntos;
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intersecção, que são os elementos que pertencem simultaneamente a dois conjuntos;
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diferença, que são os elementos que pertencem ao primeiro e não pertencem ao segundo conjunto;
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conjunto complementar, que é um caso particular de diferença entre dois conjuntos.
Leia também: Operações matemáticas básicas
União de conjuntos
Na teoria de conjuntos, chamamos de união entre dois ou mais conjuntos o conjunto formado pela junção de todos os termos. Utilizamos para representar a união o símbolo A U B (A união com B).
No nosso dia a dia, é bastante comum a divisão de elementos em conjuntos. Por exemplo, na biologia, temos a união de vários seres vivos, que são divididos em grupos menores de acordo com as suas características. Podemos dizer também, por exemplo, que o território brasileiro é formado pela união de seus estados.
Exemplo
Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a união de A com B é representada por:
A U B = {1,2,3,5,6,7,8}
É possível também realizar a representação desses conjuntos por meio do diagrama a seguir:
Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois ou mais conjuntos é composta pelos elementos que pertencem simultaneamente a todos esses conjuntos. Essa operação também é bastante comum no nosso dia a dia.
Exemplo 1
Seja A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a intersecção de A com B (A∩B) é representada por:
A ∩ B= {4,5}
É possível também realizar a representação da intersecção por meio de diagrama. A intersecção é a região em destaque que fica entre os dois conjuntos.
Exemplo 2
Podemos escrever os conjuntos dos rios que banham o estado de Goiás: G: {Aporé, Araguaia, Claro, Corumbá, dos Bois, Paranã, Paranaíba, Maranhão, São Marcos}. Também podemos escrever o conjunto dos rios que banham o estado de Tocantins: T: {Tocantins, Araguaia, do Sono, das Balsas, Paranã, Manuel Alves}.
A intersecção entre esses conjuntos pode ser representada por:
G∩T {Araguaia}
Definimos como diferença entre dois conjuntos a operação A – B, que tem como resultado os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Exemplo
Seja A: {1,2,3,4,5} e B {4,5,6,7,8}, a diferença entro o conjunto A e o conjunto B é igual a:
A – B = {1,2,3}
Note que a ordem é importante, pois a diferença entre o conjunto B e o conjunto A é igual a:
B – A = {6,7,8}
Essa diferença pode também ser representada por meio do diagrama a seguir:
Conjunto complementar
Tratado como um caso especial de diferença entre dois conjuntos, precisamos definir antes o que é o conjunto universo. Conhecemos como conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos de um espaço amostral a ser definido, como os números de 1 até 20 ou todos os números reais, enfim, cada situação possui um conjunto universo determinado.
O conjunto complementar de A, denotado por Ac, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao universo U e não pertencem ao conjunto A, ou seja, o complementar de um conjunto quando se conhece o conjunto universo U é igual a U – A .
Exemplo
Dado o universo U de todos os números de 1 até 16, ou seja:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
E seja A = {2,4,6,8,10,12,14,16} o conjunto complementar de A, ou seja:
Ac = {1,5,7,8,10,11,12,13,15}
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Exercícios resolvidos
1) Sabendo que A = { 1,3,5,9,11,12}, B = {0,2,5, 10, 12, 20} e C = {3,4,8,9,12,15,20}, o conjunto formado por A ∩C U B é:
a) {0,2,3,5,9,10,12,20}.
b) {3,9,12}.
c) {3,4,8,9,15,20}.
d) {0,2,3,5,9,10,20}.
Resolução:
Vamos calcular as operações separadamente.
A ∩C = { 3,12}
Então a união de A ∩C com B formará o conjunto:
A ∩CUB = {0,2,3,5,9,10,12,20}
Resposta: alternativa A.
2) Dado o conjunto dos números naturais como universo e seja P o conjunto dos números pares e A o conjunto dos números múltiplos de 3, podemos afirmar que:
I – o conjunto Pc é o conjunto dos números ímpares;
II – a intersecção de P com A é o conjunto dos números múltiplos de 6;
III – o conjunto A é formado somente por números ímpares.
Analisando as afirmativas, marque a alternativa correta.
a) Somente I é verdadeira.
b) Somente II é verdadeira.
c) Somente III é verdadeira.
d) Somente I e II são verdadeiras.
e) Somente II e III são verdadeiras.
Resolução:
I – Verdadeira.
Note que, no conjunto dos números naturais, um número pode ser par ou ímpar se queremos Pc.
Pc= N* - P, ou seja, os naturais sem os pares, logo o complementar dos números pares será os números ímpares.
II – Verdadeira.
A intersecção entre os números pares e os números múltiplos de 3 são os múltiplos de 6. Lembre-se do critério de divisibilidade por 6, que são os números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
III – Falsa.
Existem múltiplos de 3 que são ímpares, como o 6, 12,18, entre outros.
Resposta: alternativa D.
Na Matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos objetos e as operações realizadas com os conjuntos são: união, intersecção e diferença.
Aproveite as 10 questões a seguir para testar seus conhecimentos. Utilize as resoluções comentadas para tirar as suas dúvidas.
Questão 1
Considere os conjuntos
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
É correto afirmar que:
a) A
b) A B
c) B A
d) B A
Alternativa correta: b) A B.
a) ERRADA. Há elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Portanto, não podemos dizer que A contém B. A afirmação correta seria B A.
b) CORRETA. Observe que todos os elementos de A também são elementos de B. Portanto, podemos dizer que A está contido em B, A é parte de B ou que A é um subconjunto de B.
c) ERRADA. Não há nenhum elemento de A que não pertence ao conjunto B. Portanto, não podemos dizer que B não contém A.
d) ERRADA. Como A é um subconjunto de B, então a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A: B A = A
Questão 2
Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta.
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e 4 x 16}
a) 145 A
b) 26 A e B
c) 11 B
d) 12 A e B
Alternativa correta: d) 12 A e B
Os conjuntos da questão estão representados por suas leis de formação. Sendo assim, o conjunto A é formado por múltiplos positivos de 4, ou seja, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} e o conjunto B reúne os números pares maior ou igual a 4 e menor que 16. Portanto, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Analisando as alternativas, temos:
a) ERRADA. 145 é um número terminado em 5 e, portanto, é múltiplo de 5.
b) ERRADA. 26, apesar de ser um número par, é maior que 16 e, por isso, não faz parte do conjunto B.
c) ERRADA. 11 não é um número par, mas sim um número primo, ou seja, só é divisível por 1 e ele mesmo.
d) CORRETA. 12 pertence aos conjuntos A e B, pois é um múltiplo de 4 e é um número par maior que 4 e menor que 16.
Questão 3
Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x|x é um número simétrico e 2 b) A = {x|x é um número primo e 1 c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 d) A = {x|x é um número natural menor que 10}
Alternativa correta: b) A = {x|x é um número primo e 1
a) ERRADA. Números simétricos, também chamados de opostos, apresentam-se à mesma distância na reta numérica. Por exemplo, 2 e - 2 são simétricos.
b) CORRETA. O conjunto apresentado é dos números primos, sendo o 2 o menor número primo existente e também o único que é par.
c) ERRADA. Embora a maioria dos números seja ímpar existe o número 2 no conjunto, que é par.
d) ERRADA. Embora todos os números sejam naturais, o conjunto contém o número 11, que é maior que 10.
Questão 4
A união dos conjuntos A = {x|x é um número primo e 1
a) A B = {1,2,3,5,7}
b) A B = {1,2,3,5,7}
c) A B = {1,2,3,5,7}
d) A B = {1,2,3,5,7}
Alternativa correta: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Para o conjunto A = {x|x é um número primo e 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
a) ERRADA. A não contém B, pois o elemento 1 não faz parte de A.
b) ERRADA. A não está contido em B, pois o elemento 2 não faz parte de B.
c) ERRADA. A não pertence a B, pois os conjuntos apresentam um elemento distinto.
d) CORRETA. A união de conjuntos corresponde à junção dos elementos que os compõem e é representada pelo símbolo .
Portanto, a união de A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} é A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
Represente os conjuntos A = {- 3, - 1, 0, 1, 6, 7} , B = {- 4, 1, 3, 5, 6, 7} e C = {- 5, - 3, 1, 2, 3, 5} no diagrama de Venn e em seguida determine:
a) A B
b) C B
c) C – A
d) B (A C)
Resposta correta: a) {1, 6, 7}; b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}; c) {-5, 2, 3, 5} e
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
Distribuindo os elementos dos conjuntos no diagrama de Venn, temos:
Ao realizar as operações com os conjuntos dados, temos os seguintes resultados:
a) A B = {1, 6, 7}
b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C – A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (A C) = {1, 3, 5, 6, 7}
Questão 6
Observe a área hachurada da figura e marque a alternativa que a representa.
a) C (A B)
b) C – (A B)
c) C (A – B)
d) C (A B)
Resposta correta: b) C – (A B)
Observe que a área hachurada representa os elementos que não pertencem aos conjuntos A e B. Portanto, trata-se de uma diferença entre conjuntos, que indicamos por (–).
Como os conjuntos A e B apresentam a mesma cor, podemos dizer que há a representação da união dos conjuntos, ou seja, a junção dos elementos de A e B, representada por A B.
Portanto, podemos dizer que a área hachurada é a diferença de C da união de A e B, ou seja, C – (A B).
Questão 7
Em um cursinho pré-vestibular existem 600 alunos matriculados em matérias isoladas. 300 alunos cursam Matemática, 200 alunos frequentam as aulas de Português e 150 alunos não cursam essas disciplinas.
Considerando os alunos matriculados no cursinho (T), alunos cursando matemática (M) e alunos que cursam português (P), determine:
a) o número de alunos de Matemática ou Português
b) o número de alunos de Matemática e Português
Resposta correta:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) o número de alunos pedidos engloba tanto os alunos de Matemática quanto os alunos de Português. Por isso, temos que encontrar a união dos dois conjuntos.
O resultado pode ser calculado subtraindo o número total de alunos da escola pelo número de alunos que não cursa essas disciplinas.
n(M P) = n(T) - 150 = 600 - 150 = 450
b) como o resultado pedido é de alunos que cursa Matemática e Português, temos que encontrar a intersecção dos conjuntos, ou seja, os elementos comuns aos dois conjuntos.
Podemos calcular a intersecção dos dois conjuntos somando o número de alunos matriculados nas matérias de Português e Matemática e depois subtraindo o número de alunos que estuda essas duas disciplinas ao mesmo tempo.
n(M P) = n(M) + n(P) - n(M P) = 300 + 200 - 450 = 50
Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ). Sobre os conjuntos citados marque a definição que corresponde a cada um deles.
1. Números naturais | ( ) abrange todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros. |
2. Números inteiros | ( ) corresponde a união dos racionais com os irracionais. |
3. Números racionais | ( ) são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. |
4. Números irracionais | ( ) é formado pelos números que usamos nas contagens {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} |
5. Números reais | ( ) inclui as raízes do tipo √-n. |
6. Números complexos | ( ) reúne todos os elementos dos números naturais e seus opostos. |
Resposta correta: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) Os números racionais abrangem todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros. Este conjunto inclui as divisões não exatas. ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0}
(5) Os números reais correspondem a união dos racionais com os irracionais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I.
(4) Os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. Os números deste grupo resultam das operações, cujo resultado não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2.
(1) Os números naturais são formados pelos números que usamos nas contagens ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.
(6) Os números complexos incluem as raízes do tipo √-n e, por isso, é uma extensão dos números reais.
(2) Os números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Questão 9
(UNB-Adaptada) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados:
- 55 dos entrevistados não assistem;
- 101 assistem às corridas de Fórmula l;
- 27 assistem às corridas de Fórmula l e de Motovelocidade;
Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade?
a) 32 b) 44 c) 56
d) 28
Resposta correta: b) 44.
1º passo: determinar o número total de pessoas que assistem às corridas
Para isso, precisamos apenas subtrair o número total de entrevistados dos que declararam não assistir os campeonatos de corrida.
200 - 55 = 145 pessoas
2º passo: calcular o número de pessoas que assistem apenas às corridas de Motovelocidade
74 + 27 + (x – 27) = 145 x + 74 = 145 x = 145 - 74
x = 71
Subtraindo o valor de x da interseção dos dois conjuntos, encontramos o número de entrevistados que assistem apenas às corridas de motovelocidade.
71 - 27 = 44
(UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.
Novelas | Número de telespectadores |
A | 1450 |
B | 1150 |
C | 900 |
A e B | 350 |
A e C | 400 |
B e C | 300 |
A, B e C | 100 |
Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadores. b) 370 telespectadores. c) 450 telespectadores. d) 470 telespectadores.
e) 500 telespectadores.
Resposta correta: c) 450 telespectadores.
Existem 450 telespectadores que não acham agradável nenhuma das três novelas.
Questão 11
(FATEC 2019) Entre as pessoas que compareceram à festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração.
Considere:
F: conjunto de pessoas que foram à festa de inauguração. E: conjunto dos amigos de Eduardo.
M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo.
Com base nessas informações assinale a alternativa que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos.
Resposta correta:
É preciso verificar que o conjunto M (melhores amigos), é um subconjunto do conjunto E (amigos), ou seja, M está contido em E.
Com isto as alternativas A, B e D estão eliminadas. Sobram a C e a E.
Perceba que na alternativa C, o conjunto M (melhores amigos) está totalmente contido em E (total de pessoas na festa). No entanto, o enunciado diz que nem todos os melhores amigos foram a festa. Isto significa que haverá uma intersecção, não uma inclusão.
Deste modo, a alternativa correta é a E.
Questão 12
(Uff) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo.
Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam:
A região hachurada pode ser representada por:
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta correta: b)
Devemos focar a atenção primeiramente ao conjunto M e telo hachurado. De toda esta área "pintada" inicialmente, alguma parte foi retirada após a sobreposição dos três conjuntos, o que evidencia que houve uma subtração (diferença).
A área retirada foi a do conjunto N mais a área do conjunto P , ou seja, N U P (união). Por fim, temos:
Exercício 13
(FGV) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?
a) 304 b) 162 c) 146 d) 154
e) n.d.a
Resposta correta: b) 162.
Neste tipo de problema utilizamos diagramas de Venn, começando a preenchê-lo a partir da maior intersecção que no caso é a igual a 8, que estudam nas três faculdades.
O próximo passo é preencher as intersecções secundárias. Como 32 estudam Biologia e Física e, na área de intersecção entre estas faculdades já temos 8, restam 32 - 8 = 24. Seguindo este raciocínio, para química e biologia temos 16 - 8 = 8 e para Física e Química temos 23 - 8 = 15.
Em seguida, preenchemos as áreas individuais.
Física: 80 - (15 + 8 + 24) = 33 Química: 55 - (15 + 8 + 8) = 24
Biologia: 90 - (24 + 8 + 8) = 50
Por fim, para calcular o total de alunos nas três faculdades, somamos todos os números: 33 + 15 + 24 + 24 + 8 + 8 + 50 = 162.
Desse modo, 162 alunos estudam na universidade, que é formada pelas três faculdades.
Saiba mais consultando os textos a seguir: