O triângulo escaleno é aquele que tem todos os lados com medidas distintas, diferenciando-se, então, do triângulo isósceles, que tem dois lados congruentes, e do triângulo equilátero, que tem todos os lados com a mesma medida.
Para calcular o perímetro do triângulo escaleno, basta realizar a soma de todos os lados do triângulo. A medida da área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo qualquer, que nada mais é que o produto entre a base e a altura dividido por dois. Existe também a fórmula de Heron, que auxilia no cálculo da área do triângulo tendo somente as medidas dos lados desse triângulo.
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Resumo sobre triângulo escaleno
- O triângulo escaleno é o triângulo que tem todos os lados com medidas distintas.
- Para calcular a área de um triângulo, utilizamos a fórmula:
\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)
Dado um triângulo de lados a, b, e c, a sua área pode ser calculada também pela fórmula de Heron (em que p é o semiperímetro do triângulo):
\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
- O perímetro do triângulo escaleno é a igual à soma dos três lados.
O triângulo escaleno é o mais comum na geometria, pois é o que possui os três lados com medidas distintas.
Ângulos do triângulo escaleno
Assim com a medida dos lados, os ângulos de um triângulo escaleno são sempre distintos. O triângulo escaleno, assim como os demais triângulos, tem soma de ângulos internos igual a 180º.
Leia também: Soma dos ângulos internos de um triângulo
Perímetro do triângulo escaleno
Como o triângulo escaleno tem os três lados com medidas distintas (a, b e c), então o perímetro do triângulo pode ser calculado por:
\(P=a+b+c\)
Exemplo:
Um terreno tem formato de um triângulo, com lados medindo 8 metros, 10 metros 12 metros. Então o perímetro desse terreno é:
\(P=8+10+12=30\)
O perímetro desse triângulo é de 30 metros.
Área do triângulo escaleno
O cálculo da área do triângulo escaleno não se difere do dos outros triângulos, logo, para tanto, basta calcular o produto entre o comprimento da base e da altura e dividir por dois, como na fórmula a seguir:
\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)
Exemplo:
Qual é a área do triângulo escaleno que tem base de 9 cm e altura de 12 cm?
Resolução:
Dados b = 9 cm e h = 12 cm, a área do triângulo é calculada por:
\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)
\(A=\frac{9\cdot12}{2}\)
\(A=\frac{108}{2}\)
\(A=52cm^2\)
Fórmula de Heron
Quando não conhecemos a altura do triângulo escaleno, ainda assim é possível calcular a sua área utilizando a fórmula de Heron. Na fórmula de Heron, conhecendo a medida dos três lados do triângulo, podemos calcular a sua área. Dado um triângulo escaleno de lados a, b e c, por essa fórmula, a sua área pode ser dada por:
\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
Em que p é o semiperímetro do triângulo, calculado por:
\(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Exemplo:
Dado o triângulo de lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm, e utilizando a fórmula de Heron, qual é a área dele?
Resolução:
Primeiro calcularemos o semiperímetro:
\(p=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\ =6\)
Agora calcularemos a área do triângulo:
\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(A=\sqrt{6\left(6-3\right)\left(6-4\right)\left(6-5\right)}\)
\(A=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}\)
\(A=\sqrt{2\cdot3\cdot3\cdot2}\)
\(A=\sqrt{36}\)
\(A=6\)
Então a área do triângulo é de 6 cm².
Leia também: Semelhança de triângulos — as relações de proporção entre essas figuras geométricas
Classificações do triângulo
Quando analisamos o triângulo pelos seus lados, há três classificações possíveis: escaleno, isósceles ou equilátero. O triângulo escaleno, como mencionado, tem os três lados com medidas diferentes; quando o triângulo tem dois lados congruentes, ou seja, com a mesma medida, ele é chamado de isósceles; e, quando ele tem os três lados congruentes, é classificado como equilátero.
Exercícios resolvidos sobre triângulo escaleno
Questão 1
Parte de um terreno tem formato de um triângulo escaleno, com área igual a 78 m². Sabendo que a base desse terreno tem 13 metros, então a altura desse terreno é de:
A) 10 metros
B) 11 metros
C) 12 metros
D) 13 metros
E) 14 metros
Resolução:
Alternativa C
Sabemos que a área é igual à metade do produto entre a base e a altura do triângulo.
\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)
Sabendo que a base desse triângulo tem 13 m, e que sua área é 78 m², então temos que:
\(78=\frac{13\cdot h}{2}\)
\(\mathbf{78}\cdot\mathbf{2}=\mathbf{13}{h}\)
\(\mathbf{156}=\mathbf{13}{h}\)
\({h}=\frac{\mathbf{156}}{\mathbf{13}}\)
\({h}=\mathbf{12}\ {m}\)
Questão 2
Um terreno tem formato de um triângulo escaleno, com lados medindo 3 metros, 5 metros e 4 metros. Esse terreno será cercado com arame farpado, de modo que tenha exatamente 4 fios de arame farpado em cada lado. Sendo assim, a quantidade mínima de arame necessária para que esse terreno seja cercado é de:
A) 96 metros
B) 80 metros
C) 64 metros
D) 52 metros
E) 48 metros
Resolução:
Alternativa E
Primeiro calcularemos o perímetro do terreno:
\(P = 4 + 3 + 5 = 12\)
Agora multiplicaremos por 4, já que serão dadas 4 voltas.
\(4\cdot12=48\ metros\)
A área do triângulo é geralmente calculada através do produto da medida da base do triângulo pela sua altura, e dividido por 2.
O triângulo é um polígono com três lados, este lados são formados por segmentos de retas unidos em três pontos que chamamos de vértices.
No cálculo da área deve-se considerar o tipo de triângulo. Para cada tipo temos uma maneira de identificar as medidas e propriedades necessárias para realizar o cálculo.
Os tipos de triângulos que temos são: triângulo retângulo, equilátero, isósceles e escaleno.
Como calcular a área de um triângulo?
Para a maioria dos triângulos, o cálculo da área segue a seguinte forma: pegamos a medida da base e multiplicamos pela sua altura, dividimos o resultado desse produto por 2.
Dessa forma, para a maioria dos triângulos, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- A: a área;
- b: é a base do triângulo;
- h: é a altura do triângulo.
Importante lembrar que essas letras são convenções usadas na matemática. Se você prefere utilizar outras letras, isso não vai alterar o cálculo.
Área do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é um tipo especial de triângulo na matemática. Esse triângulo é chamado de retângulo porque possui um ângulo reto, isto é, um ângulo que mede 90°. Além disso, possui dois ângulos agudos, ou seja, ângulo que mede menos que 90°.
Ademais, possui também dois ângulos agudos, ou seja, ângulos que medem menos que 90°.
Dependendo da forma como está posicionado o triângulo retângulo, a sua altura pode ser igual a um dos seus lados. Veja na imagem abaixo:
E a área é o produto entre a base e a altura, dividido por 2.
Área do Triângulo Equilátero
O triângulo equilátero é um dos tipos de triângulo que existe e tem esse nome porque possui todos os lados e ângulos internos com as mesmas medidas.
No triângulo equilátero, a altura (h) do triângulo divide o triângulo em dois, dessa forma teremos dois triângulos.
O lado que representa a base podemos chamá-lo de (l), e será dividido em dois pela altura. Logo o lado da base será l / 2.
Agora para encontrar a medida da altura vamos utilizar o teorema de Pitágoras, assim:
Por fim, para determinarmos a fórmula que calcula a área do triângulo equilátero, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.
Assim, devemos substituir o valor da altura (h) encontrado na fórmula geral. Então temos:
Onde:
- A: é a área;
- l: representa os lados do triângulo.
Área do Triângulo Isósceles
O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos com as mesmas medidas. A fórmula para calcular a área de um triângulo isósceles é a mesma fórmula para os casos gerais: o produto da base pela altura, dividido por 2.
No cálculo da área, às vezes, o valor da altura não é especificado na questão. Assim, temos que utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular a altura antes de utilizar a fórmula geral.
Exemplo:
Seja o triângulo a seguir:
Resolução:
No triângulo acima, conhecemos somente as medidas relativas aos seus lados, no entanto, para o cálculo da área de um triângulo precisamos conhecer o valor da sua altura. Para isso vamos utilizar o Teorema de Pitágoras. Assim:
Veja que a altura divide o triângulo em dois, então a medida que representa um dos lados do triângulo no teorema, neste caso, será a metade do triângulo original.
Após encontrarmos o valor da altura, podemos utilizar a fórmula geral e calcular a área do triângulo isósceles.
Área do Triângulo Escaleno
O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos com medidas diferentes. Para encontrar a área para esse tipo de triângulo, devemos utilizar os nossos conhecimentos em trigonometria.
Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, a altura h foi traçada com relação ao lado b definido como base:
A altura h, calculada a partir do triângulo amarelo, é: h = c . sen(A).
Dessa forma, substituindo o valor da altura na fórmula geral do triângulo, temos:
Se considerarmos os outros lados do triângulo escaleno, teremos:
Espero que tenha ficado claro, bons estudos e boa sorte.
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
- Exercícios sobre a área do triângulo