A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que:
A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2.
Definição:
Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$
- a = radicando
- b = raiz
- $$√$$ = radical
- n = índice
a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido).
✅ Curiosidade
A origem mais provável do símbolo de radiciação está na letra $$\sc\r$$, inicial da palavra radix (em latim, quer dizer "raiz").
Como calcular a raiz quadrada?
Raiz quadrada exata
Em caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir:
Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$.
Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$.
Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos:
Exemplo 3: $$√{576}=$$
$$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$
Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto:
$$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$
Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja:
$$$√{576}=24$$$
Raiz quadrada não-exata
Nem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5.
Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata:
1. Decomposição em fatores primos:
$$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$
Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$.
Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz.
Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$.
2. Tentativa por aproximação:
Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação.
Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo:
$$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$
Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados.
Operações com raizes quadradas
Adição e subtração
Ao tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$.
Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz:
Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$
Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$
Multiplicação e divisão
Diferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si.
Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos
Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$
Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$
O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos
Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$
Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$
Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Calculando raízes
Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.
A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.
Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
L·L·L·L...L·L = a
Raízes exatas e não exatas
Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:
a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9
b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16
Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:
a) Raiz quadrada de 2
b) Raiz cúbica de 3
c) Raiz quarta de 5
Cálculo de raízes não exatas
Caso 1 – Radicando primo
Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:
Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:
3,143 = 30,959144
Caso 2 – Radicando não primo
Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.
Exemplo:
Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:
Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:
256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2
1
256 = 23·23·22
Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:
Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:
Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.
4·1,26·1,26 = 6,35
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Resposta Rápida
2√269 = 16.401219466857Se você não se lembra que operação é essa podemos te ajudar.
Extrair a raiz de um número consiste numa “operação matemática fundamental” de nome radiciação. Recordando de suas propriedades, sabemos que quando se faz a pergunta: “qual é a raiz de índice “2” radicando “269”, estamos querendo encontrar um número que ao ser elevado pelo “índice” seja igual ao “radicando” ou muito próximo. Relacionando o que queremos com o que temos de informação e atento as propriedades dessa operação, podemos facilmente extrair a raiz. Veja.Os cálculos necessários e o resultado estão aqui.
Antes de começar a resolver precisamos extrair todas as informações do problema.
O que sabemos ?Tipo de Operação : RadiciaçãoRadicando: ( 269 );Índice: ( 2 );O que queremos ?
Raiz: ( X );Como vamos obter a raiz ?
Utilizando o método que você aprendeu com a sua professora, encontre um número que ao ser elevado ao Índice se aproxime ou seja igual ao radicando.X = { ( 269 ) ^ ( 1/2) }X = { 2√(269) }
X = { 16.401219466857 } u.m1/2
Solução
S = { 16.401219466857 } u.m1/2
Resposta
16.401219466857 u.m 1/2* u.m é uma abreviatura a “unidades de medida”. Sabe-se que os números podem estar associados a unidades, “metros, centímetros, radianos, etc”, ou não, sendo assim adimensionais. Criamos essa simbologia para que você crie o “hábito” de escrever a unidade, o que reduz significavelmente o número de erros em provas e vestibulares.
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