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ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa. Há, portanto, 10× 5 = 50 modos de formar um casal.” A solução está certa ou errada? Se estiver errada, onde está o erro? 21) Cada peça de um dominó apresenta um par de números de 0 a 6, não necessariamente distintos. Quantas são essas peças? E se os números forem de 0 a 8? 22) Quantos retângulos há formados por casas adjacentes em um tabuleiro de xadrez 8× 8? Por exemplo, em um tabuleiro 2× 2 há 9 retângulos, como mostra a figura abaixo. 1 3 2 4 5 6 7 1 8 9 “contagemfran1” 2009/10/29 page 16 Estilo OBMEPi i i i i i i i Capítulo 2 Probabilidade (grupo 1) Uma das principais aplicações das técnicas de contagem é a re- solução de problemas simples de Probabilidade. O interesse dos matemáticos no estudo sistemático de probabilidades é relativamente recente e tem suas raízes no estudo dos jogos de azar. No estudo desses jogos, normalmente ocorre a seguinte situação: todos os possíveis resultados têm a mesma chance de ocorrer. Por exemplo, ao lançar um dado “honesto” (quer dizer, construído de forma perfeitamente cúbica e homogênea), todas as faces têm a mesma chance de sair. Como as faces são 6, esperamos que cada uma delas ocorra em aproximadamente 1/6 dos lançamentos. Dizemos, então, que cada uma delas tem probabilidade 1/6 de sair. Também atribuímos probabilidades a conjuntos de resultados pos- síveis, chamados de eventos. A probabilidade de um evento é simples- mente a soma das probabilidades dos resultados que o compõem. Exemplo 1. Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? Solução: Dizer que sai resultado maior do que 4 é equivalente a dizer 16 “contagemfran1” 2009/10/29 page 17 Estilo OBMEPi i i i i i i i 17 que sai 5 ou 6. Como cada uma destas faces têm probabilidade 1 6 de ocorrer, a probabilidade de sair um número maior do que 4 é igual a 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3 . De um modo geral, quando todos os resultados têm a mesma chance de ocorrer, a probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados relativos ao evento e o número total de resulta- dos. Em outras palavras, é a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrência do evento e o número total de casos. Exemplo 2. Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? Solução: Como em cada lançamento há 6 possibilidades, o número de casos possíveis é 6× 6 = 36, todos com a mesma probabilidade de ocorrência. Destes, aqueles em que a soma é 5 são (1, 4), (2, 3), (3, 2) e (4, 1). Logo, o número de casos favoráveis ao evento é 4, e sua probabilidade é 4/36 = 1/9. Exemplo 3. Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Solução: Precisamos, antes de mais nada, identificar quais são os pos- síveis resultados. Como tudo o que observamos é a cor de cada bola re- tirada (as bolas de mesma cor são indistinguíveis entre si), poderíamos ser tentados a dizer que temos apenas 4 casos: vv, vp, pv, pp. O pro- blema é que estes casos não têm a mesma chance de ocorrer (é óbvio, por exemplo, que duas bolas vermelhas saem com mais frequência que duas bolas pretas, já que há mais bolas vermelhas). A solução con- “contagemfran1” 2009/10/29 page 18 Estilo OBMEPi i i i i i i i 18 ¥ CAP. 2: PROBABILIDADE (GRUPO 1) siste em considerar individualmente as 9 bolas presentes na urna. Ou seja, os resultados possíveis são todos os pares de bolas distintas, cuja quantidade é 9 × 8 = 72. Como todas as bolas são iguais (a menos da cor), todos estes pares têm a mesma probabilidade de sair. Para calcular o número destes pares em que ambas as bolas são vermelhas, devemos observar que a primeira bola vermelha pode ser escolhida de 5 modos, enquanto a segunda pode ser qualquer uma das 4 restantes. Logo, o número de casos favoráveis é igual a 5× 4 = 20. Portanto, a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas é igual a 20/72 = 5/18. Exemplo 4. Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras se- guidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Solução: Vamos considerar todas as sequências possíveis de resul- tados. Como em cada lançamento sai cara (C) ou coroa (K), há 2 possibilidades; logo, o número total de possibilidades é igual a 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Todas essas sequências têm a mesma probabili- dade de ocorrência, já que o resultado de um lançamento não afeta os demais e há a mesma chance de sair cara ou coroa. Vamos agora verificar quais dessas sequências levam à vitória de Pedro. – Se só saírem coroas (KKKK), é claro que Pedro vence. – Se só sair uma cara (CKKK,KCKK,KKCK,KKKC), Pe- dro também vence. – Com duas caras, Pedro vence nos casos KCKC, CKCK e CKKC. – Quando saem três ou mais caras, Pedro perde. “contagemfran1” 2009/10/29 page 19 Estilo OBMEPi i i i i i i i 19 Logo, o número de sequências favoráveis a Pedro é igual a 8, e sua probabilidade de vitória é igual a 8/16 = 1/2. Portanto, Pedro e João têm a mesma chance de vitória. Exercícios 1) Dois dados são lançados e observa-se a soma de suas faces. (a) Quais são os possíveis resultados para esta soma? (b) Esses resultados são equiprováveis? Caso contrário, que resultado é mais provável? Com que probabilidade? E o menos provável? (c) Qual é a probabilidade de cada resultado possível? 2) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que saiam 2 caras? 3) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? 4) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna? 5) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? 6) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? “contagemfran1” 2009/10/29 page 20 Estilo OBMEPi i i i i i i i 20 ¥ CAP. 2: PROBABILIDADE (GRUPO 1) 7) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exem- plo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já obser- vamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? 8) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1− 3− 5− 7− 9− 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 − 17 − 31 − 45 − 49 − 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? 9) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um pro- grama de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas.