em que \(n\) é o número de lados do polígono. Substituindo
\(d=230\), temos: Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos \(23\) e \(- 20\) como possíveis valores para
\(n\). Tomamos o valor positivo \(n=23\) Sabendo o número de lados, temos que a soma \(S\) dos ângulos internos do polígono será dada por: Substituindo \(n=23\), temos:
\[d = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2}\]
\[\eqalign{&230 = \dfrac{n\cdot(n-3)}{2} \\& 460=n^2-3n \\& n^2-3n-460=0 \\}\]
\[S = (n-2) \cdot 180\]
\[\eqalign{&S = (23-2)\cdot 180 \\& S = 21 \cdot 180 \\& S =3780}\]
Como o polígono é convexo, todos os seus ângulos internos serão iguais. Logo, basta dividirmos a soma \(S\) pelo número \(n\) de lados para encontrarmos a medida do \(a\) ângulo interno:
\[\eqalign{&a = \dfrac{S}{n} \\& = \dfrac{3780}{23} \\& =\boxed{ 164,35º}}\]
\[d =
\dfrac{n \cdot (n-3)}{2}\]
em que \(n\) é o número de lados do polígono.
Substituindo \(d=230\), temos:
\[\eqalign{&230 = \dfrac{n\cdot(n-3)}{2} \\& 460=n^2-3n \\& n^2-3n-460=0 \\}\]
Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos \(23\) e \(- 20\) como possíveis valores para \(n\). Tomamos o valor positivo \(n=23\)
Sabendo o número de lados, temos que a soma \(S\) dos ângulos internos do polígono será dada por:
\[S = (n-2) \cdot
180\]
Substituindo \(n=23\), temos:
\[\eqalign{&S = (23-2)\cdot 180 \\& S = 21 \cdot 180 \\& S =3780}\]
Como o polígono é convexo, todos os seus ângulos internos serão iguais. Logo, basta dividirmos a soma \(S\) pelo número \(n\) de lados para encontrarmos a medida do \(a\) ângulo interno:
\[\eqalign{&a = \dfrac{S}{n} \\& = \dfrac{3780}{23} \\& =\boxed{ 164,35º}}\]
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b) menor que 50°; c) maior que 50°. 221. Na figura os pontos P e Q representam as traves do gol de um campo de futebol. Entre os pontos A, B, C, D e E, qual é o que enxerga o gol sob maior ângulo? a) A b) B c) C d) D e) E 222. Sejam λ1 e λ2 duas circunferências coplanares e com raios iguais. Seja N a quantidade de tangentes comuns às duas circunferências. Então, o único valor que N não pode assumir é: a) 1 d) 4 b) 2 e) ∞ c) 3 223. Vunesp Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura. a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ . b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas. 138 224. Considere duas circunferências de centros A e B e raios de 4 cm e 2 cm, respectivamente. Sendo AB = 10 cm, determine: a) Quantas retas tangentes às duas circunferências dadas existem? b) Qual a medida do raio da menor circunferência tangente comum às duas circunferências dadas? c) Quantas circunferências distintas de raio 8 cm são tangentes simultaneamente às duas circunferên- cias dadas? 225. Unir-RO Considere o círculo C1, de centro O1 e raio 14 cm e o círculo C2, de centro O2 e raio 2 cm, totalmente contido no interior de C1, como ilustrado na figura abaixo. Construímos um círculo C, de centro O, simultane- amente tangente a C2 exteriormente e tangente a C1 interiormente. O valor da soma das distâncias entre o centro deste novo círculo aos centros dos círculos C1 e C2 (isto é: OO1 + OO2 ), em centíme- tros, é igual a: a) 8 d) 14 b) 10 e) 16 c) 12 226. Duas circunferências de centros A e B são tangentes externamente e tangenciam internamente uma circun- ferência de centro C. Sendo AB = 12 m, AC = 17 m e BC = 13 m, determine os raios dessas circunferências. Capítulo 5 227. Considere seis circunferências de raio r = 2 cm tan- gentes externamente, de modo que qualquer uma seja tangente exatamente a duas outras. Calcule o raio da única circunferência que é tangente internamente às seis circunferências dadas. 228. Unifesp Na figura, o segmento AC é perpendicular à reta r. Sabe-se que o ângulo AÔB, com O sendo um ponto da reta r, será máximo quando O for o ponto onde r tangencia uma circunferência que passa por A e B. A B CO r Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pe- destal BC de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo AÔB de visão da estátua seja máximo, é: a) 10 m d) 7,8 m b) 8,2 m e) 4,6 m c) 8 m 229. Unioeste-PR Na figura abaixo está representado um dispositivo em que OP e PQ são braços móveis de comprimentos respecti- vamente iguais a 22 cm e 75 cm. Quando o dispositivo é posto em funcionamento, o ponto P percorre uma circunferência com centro em O, enquanto Q executa um movimento de vai-e-vem sobre a reta r. Qual é a distância percorrida pelo ponto Q, a cada volta completa que P dá sobre a circunferência, em centímetros? 230. Calcule o número de diagonais (d) e a soma das medidas dos ângulos internos (Si) de cada um dos polígonos convexos. a) Eneágono b) Dodecágono c) Tridecágono 231. Qual o polígono convexo que tem 170 diagonais? 232. Calcule a razão entre os números de diagonais dos polígonos que têm 5 e 8 lados, respectivamente. 233. Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é o triplo do número de lados? 234. Um polígono convexo tem 3 lados a mais que o outro. Descubra esses polígonos, sabendo que juntos têm 64 diagonais. 235. A diferença entre o número de diagonais de dois po- lígonos é 27. O primeiro polígono tem 3 lados a mais que o segundo. Determine os dois polígonos. 139 PV 2 D -0 7 -M A T- 2 4 236. Aumentando-se o número de lados de um polígono de 3, seu número de diagonais aumenta de 21. Determine o número de lados desse polígono. 237. A seqüência a seguir representa o número de lados (n) de um polígono convexo e seu número de diago- nais (d). O valor de x é: a) 60 b) 77 c) 104 d) 90 e) 83 238. Considere as afirmações sobre polígonos conve- xos: I. Existe apenas um polígono cujo número de diago- nais coincide com o número de lados. II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é impar. a) Todas as afirmações são verdadeiras b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras c) Apenas (I) é verdadeira d) Apenas (III) é verdadeira e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras 239. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados? 240. Qual a razão entre a soma das medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos de um dodecágono convexo? 241. Qual o polígono convexo que tem a soma dos ângulos internos excedendo a soma dos ângulos externos em 720°? 242. Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e indicados na figura. 243. Calcule a razão, em graus, entre a soma das medidas dos ângulos internos e o número de diagonais de um octógono convexo. 244. Qual a razão entre o número de diagonais e o número de lados de um icoságono convexo? 245. Quais são os polígonos com os menores números de lados que têm a razão entre os números de diagonais igual a 4 7 ? 246. Os números de lados de três polígonos são ímpares e consecutivos. Sabendo que juntos eles têm 46 dia- gonais, determine esses polígonos. 247. Na figura abaixo, calcule o valor de a + b + c + d. 248. Os números de lados de dois polígonos convexos têm razão 2. Juntos os ângulos internos dos dois polígonos totalizam 2.520°. Quais são esses polígonos? 249. Os números de lados de três polígonos convexos são consecutivos. Sendo 1.620° a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine esses polígonos. 250. Um polígono convexo tem y diagonais e a soma das medidas de seus ângulos internos é x°. Sendo y igual a 3% de x, determine x. 251. Dividindo-se a diferença entre a soma das medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo pelo seu número de diagonais, obtêm-se 36°. Que polígono é esse? 140 252. ITA-SP De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total do número de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 253. Calcule a soma dos ângulos assinalados na figura abaixo. 254. Todos os ângulos internos de um polígono convexo têm medidas iguais, exceto um deles, que é menor em 40°. Sendo ímpar o número de lados desse polígono, determine o seu número de diagonais. 255. Dado um dodecágono regular ABCDE…, calcule: a) a medida do ângulo externo; b) a medida do ângulo interno; c) o número de diagonais; d) a medida do ângulo agudo formado pelos prolon- gamentos dos lados AB e CD . 256. UFV-MG Sabendo-se que num polígono regular a soma das medidas dos ângulos internos com as medidas dos ângulos externos é 900°, calcule: a) o número de lados desse polígono; b) o número de diagonais desse polígono; c) a medida do ângulo interno desse polígono. 257. Qual a razão entre as medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um icoságono regular? 258. Mackenzie-SP Os ângulos externos de um polígono regular me- dem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 259. FAAP-SP A medida