Como calcular denominador com raiz quadrada

A raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação de números com expoente igual a 2. Assim, temos que:

√9 = 3, pois 3² = 9

√36 = 6, pois 6² = 36

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Em algumas situações envolvendo resolução de equações, as raízes podem aparecer no denominador, nesses casos, a raiz pode resultar em um número irracional, assim a divisão se torna um cálculo difícil e trabalhoso. Dessa forma, devemos racionalizar, multiplicando o numerador e o denominador pela raiz que se encontra no denominador da fração. Observe:

A representação fracionária, sem a presença da raiz no denominador, dá uma melhor visão quanto à referência de um resultado aproximado. Caso não utilizássemos a racionalização, a divisão seria a seguinte:

Seria muito trabalhoso calcular essa divisão.

Algumas situações podem envolver soma de raízes no denominador, e para tal situação vamos utilizar alguns artifícios matemáticos. Suponhamos que a soma de raízes √3 + √2 apareça no denominador de uma fração. Para resolvermos tal situação multiplicamos o numerador e o denominador por √3 – √2, pois realizando tal procedimento estamos simplesmente fazendo referência à regra do produto notável, multiplicação da soma pela diferença. Observe:

Após a racionalização, a representação fracionária se torna mais simples e o denominador passa a ser representado por um número inteiro. Dessa maneira, qualquer continuidade nos cálculos será possível sem muita complexidade.

Racionalização de denominadores é a técnica utilizada quando uma fração tem um número irracional no denominador e se deseja encontrar uma segunda fração equivalente à primeira fração, mas que não tenha um número irracional em seu denominador. Para fazer isso, é necessário realizar operações matemáticas para reescrever a fração de forma que ela não tenha em seu denominador uma raiz não exata.

Leia também: Como resolver operações com frações?

Como fazer a racionalização de denominadores?

Começaremos pelo caso mais simples de racionalização de denominadores e seguiremos até o mais complexo, mas a técnica em si consiste em buscar uma fração equivalente multiplicando o numerador e o denominador por um número conveniente que permita eliminar a raiz do denominador da fração. Veja como fazer isso em diferentes situações a seguir.

Existem algumas frações que podem ser representadas com números irracionais nos denominadores. Veja alguns exemplos:

Quando o denominador da fração é irracional, utilizamos algumas técnicas para transformá-lo em um denominador racional, como a racionalização. Quando há uma raiz quadrada no denominador, podemos dividir em dois casos. O primeiro deles é quando a fração possui apenas uma raiz em seu radical.

Exemplo 1:

Para racionalizar esse denominador, vamos encontrar a fração equivalente a essa, mas que não tenha um denominador irracional. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número — nesse caso, será exatamente o denominador da fração, ou seja, √3.

Na multiplicação de frações, multiplicamos reto. Sabemos que 1 · √3 = √3. Já no denominador, temos que √3 ·√3 = √9 = 3. Com isso, chegamos ao seguinte:

Logo, temos uma representação da fração cujo denominador não é um número irracional.

Exemplo 2:

O segundo caso é quando existe uma adição ou uma diferença entre uma raiz não exata.

Quando há no denominador uma diferença ou uma adição de termos, sendo um deles a raiz não exata, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Chamamos de conjugado de √2 – 1 o inverso do segundo número, isto é, √2 + 1.

Realizando a multiplicação no numerador, temos que:

3(√2 + 1) = 3√2 +3

Já o denominador é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. O seu resultado sempre é o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1

(√2 – 1)(√2 + 1) = 1

Então, racionalizando o denominador dessa fração, temos que:

Veja também: Três erros comuns na simplificação de fração algébrica

Agora veja alguns exemplos quando há no denominador uma raiz de índices maiores que 2.

Como o objetivo é eliminar o radical, vamos multiplicar o denominador, de forma que a raiz desse denominador possa ser cancelada.

Exemplo 1:

Nesse caso, para eliminar o expoente do radical, vamos multiplicar pela raiz cúbica de 2² no numerador e no denominador, para que apareça dentro do radical 2³ e, assim, seja possível cancelar a raiz cúbica.

Realizando a multiplicação, temos que:

Exemplo 2:

Utilizando o mesmo raciocínio, vamos multiplicar o denominador e o numerador por um número que faça com que a potência do denominador chegue até o índice, ou seja, vamos multiplicar por raiz quinta de 3 ao cubo para que seja possível cancelar o denominador.

Leia também: Como simplificar frações algébricas?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Racionalizando o denominador da fração a seguir, encontramos:

A) 1 + √3. B) 2(1 + √3). C) – 2(1+ √3). D) √3.

E) √3 –1.

Resolução

Alternativa C.

Questão 2 – (IFCE 2017 — adaptada) Aproximando os valores de √5 e √3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximadamente, o valor da expressão numérica a seguir até a segunda casa decimal é:

A) 1,98. B) 0,96. C) 3,96. D) 0,48.

E) 0,25.

Resolução

Alternativa E.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática