Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:
∆ > 0, duas raízes reais e distintas. ∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja: Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:
Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.
Soma
Produto
Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Observe: A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:Soma
Produto
Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe: 7 e 2
S = 7 + 2 = 9
–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5 P = –7 * 2 = – 147 e –2
S = 7 + (–2) = 5 P = 7 * (–2) = –14–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9 P = –7 * (–2) = 14 Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva
Ao trabalhar com radicais, podemos aplicar todas as propriedades básicas da álgebra: tanto a multiplicação e a divisão quanto a adição e a subtração. Veremos agora como determinar a soma e a diferença de raízes.
O primeiro e mais importante detalhe que deve ser observado é que só podemos realizar a adição e a subtração de radicais que apresentam índices e radicandos iguais. Dizemos que esses são radicais semelhantes. Observe alguns exemplos de radicais semelhantes com os quais podemos operar a adição e a subtração:
Para efetuar a adição e a subtração de radicais, podemos utilizar uma conhecida técnica de fatoração: o fator comum. Nesse caso, teremos em comum o radical, que colocaremos em evidência para que possamos então somar ou subtrair seus coeficientes (números que acompanham os radicais). Vejamos alguns exemplos:
a)
Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.
b)
Subtrairemos os coeficientes 3 e – ½ para determinar a diferença dos radicais:
c)
Operaremos os coeficientes fracionários:
d)
Como já vimos, só podemos somar ou subtrair radicais de mesmo radicando e mesmo índice. Por essa razão, vamos organizar a expressão, colocando em evidência cada radical semelhante:
e)
Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e operando seus respectivos coeficientes:
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.
Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?
Por tentativa podemos descobrir que:
5 x 5 x 5 = 125, ou seja,
Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.
Símbolo da Radiciação
Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo,
n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.
Exemplos de radiciação:
(Lê-se raiz quadrada de 400)
(Lê-se raiz cúbica de 27)
(Lê-se raiz quinta de 32)
Propriedades da Radiciação
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.
1ª propriedade:
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.
Exemplo:
2ª propriedade:
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Exemplos:
3ª propriedade:
Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.
Exemplos:
4ª propriedade:
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada.
Exemplo:
Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: .
Exemplo:
5ª propriedade:
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices.
Exemplo:
Radiciação e Potenciação
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.
Observe:
Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.
Exemplos:
, pois sabemos que 92 = 81
, pois sabemos que 104 = 10 000
, pois sabemos que (–2)3 = –8
Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação.
Simplificação de Radicais
Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.
Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
- Fatorar o número em fatores primos.
- Escrever o número na forma de potência.
- Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).
Exemplo:Calcule
1º passo: transformar o número 243 em fatores primos
2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz
3º passo: simplificar o radical
Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.
, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.
Assim, .
Veja também: Simplificação de radicais
Racionalização de Denominadores
A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.
1º caso – raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante .
2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando.
3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador
Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois .
Operações com Radicais
Soma e Subtração
Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.
1º caso – Radicais semelhantes
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.
Veja como fazer:
Exemplos:
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação
Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.
Exemplo I:
Portanto, .
Exemplo II:
Portanto, .
3º caso – Radicais não são semelhantes
Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.
Exemplos:
(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)
Multiplicação e Divisão
1º caso – Radicais com mesmo índice
Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.
Exemplos:
2º caso – Radicais com índices diferentes
Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.
Exemplo I:
Portanto, .
Exemplo II:
Portanto, .
Saiba também sobre
- Raiz Quadrada
- Expressões Numéricas
- Exercícios de Potenciação
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
Calcule os radicais a seguir.
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8.
a)
b)
c) a raiz do número zero é o próprio zero.
d)
Questão 2
Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação.
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5.
a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades
Portanto,
b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade
Portanto,
c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade
Portanto,
d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade
Portanto,
Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais
Questão 3
(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a
a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3
Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3.
1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC.
2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.
3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP).
Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3.
(Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta correta: d) .
A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma:
, sendo k a constante de proporcionalidade.
A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Através da propriedade reescrevemos a área S.
, conforme a alternativa d.