Como resolver raizes quadradas com potencia

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².

A potenciação expressa um número na forma de potência. Quando um mesmo número é multiplicado diversas vezes, podemos fazer a substituição por uma base (número que se repete) elevada a um expoente (número de repetições).

Por outro lado, a radiciação é a operação oposta da potenciação. Ao elevar um número ao expoente e extrairmos a sua raiz, voltamos ao número inicial.

Veja um exemplo de como ocorrem os dois processos matemáticos.

Potenciação

Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida números muito grandes, onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se repetem.

Representação:

Exemplo I: potenciação de números naturais

Para essa situação, temos: dois (2) é a base, três (3) é o expoente e o resultado da operação, oito (8), é a potência.

Exemplo II: potenciação de números fracionários

Quando uma fração é elevada a um expoente, seus dois termos, numerador e denominador, são multiplicados pela potência.

Lembre-se!

• Todo número natural elevado à primeira potência tem como resultado ele mesmo, por exemplo, .
• Todo número natural não nulo quando elevado a zero tem como resultado 1, por exemplo, .
• Todo número negativo elevado a um expoente par tem resultado positivo, por exemplo, .
• Todo número negativo elevado a um expoente ímpar tem resultado negativo, por exemplo, .
• Toda base inteira elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
  .
• Toda base fracionária elevada a um expoente negativo é o inverso da base elevada ao módulo (o positivo) do expoente, por exemplo,
  .

Propriedades da potenciação

1. Produto de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo:

2. Divisão de potências de mesma base

Definição: repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

Exemplo:

3. Potência de potência

Definição: mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplo:

4. Distributiva em relação à multiplicação

Definição: multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Exemplo:

5. Distributiva em relação à divisão

Definição: dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Exemplo:

Saiba mais sobre:

Radiciação

A radiciação calcula o número que elevado a determinado expoente produz o resultado inverso da potenciação.

Representação:

Exemplo I: radiciação de números naturais.

Para essa situação, temos: três (3) é o índice, oito (8) é o radicando e o resultado da operação, dois (2), é a raiz.

Exemplo II: radiciação de números fracionários.

, pois

A radiciação também pode ser aplicada às frações, de modo que o numerador e o denominador tenham suas raízes extraídas.

Saiba sobre a Radiciação.

Propriedades da radiciação

Propriedade I: raiz para potência com expoente fracionário. O denominador do expoente é o índice da potência.

Exemplo:

Propriedade II: O radicando pode ser fatorado e expresso com expoente igual ao do índice. Após a simplificação, o resultado é a base do radicando.

Exemplo:

Propriedade III: ao multiplicar o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo valor, o resultado não se altera.

Exemplo:

Propriedade IV: ao multiplicar raízes com mesmo índice devemos mantê-lo, multiplicando os radicais.

Exemplo:

Propriedade V: uma raiz de uma fração é igual à raiz do numerador dividido pela raiz do denominador, com os mesmos índices.

, sendo b 0

Exemplo:

Propriedade VI: uma potência de uma raiz é igual a mesma raiz com o radicando elevado ao expoente da potência.

Exemplo:

Propriedade VII: raiz de raiz. Mantém-se o radical e multiplicam-se os índices.

Exemplo:

Você também pode se interessar por Racionalização de denominadores.

Exercícios resolvidos de potenciação e radiciação

Questão 1

Aplique as propriedades da potenciação e radiciação pra resolver as expressões a seguir.

a) 45, sabendo que 44 = 256.

b)

c)

Veja também: Simplificação de Radicais

Questão 2

Se , calcule qual o valor de n.

Para mais questões, veja também Exercícios de Radiciação.

Questão 3

(Fatec) Das três sentenças abaixo:

a) somente a I é verdadeira; b) somente a II é verdadeira; c) somente a III é verdadeira; d) somente a II é falsa;

e) somente a III é falsa.

Veja também: Exercícios sobre Simplificação de Radicais

Questão 4

(PUC-Rio) Simplificando a expressão , encontramos:

a) 12 b) 13 c) 3 d) 36

e) 1

Para mais questões, veja também Exercícios de Potenciação.

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.