Considerando que todos os seus lados têm a mesma medida qual a soma de seus ângulos internos

O quadrado é uma figura plana, classificado como polígono, composto por 4 lados e 4 ângulos congruentes entre si, ou seja, que possuem as mesmas medidas. O quadrado é uma figura geométrica bastante comum no cotidiano e é um caso especial de quadrilátero estudado pela geometria plana.

Saiba mais: Geometria analítica — área que estuda a Geometria utilizando ferramentas algébricas

Resumo sobre quadrado

• É um polígono que possui 4 lados e 4 ângulos com a mesma medida.

• Para calcular sua área, utilizamos a fórmula (A=l^2).

• Para calcular seu perímetro, utilizamos a fórmula (P=4l).

• Para calcular sua diagonal, utilizamos a fórmula (d=lsqrt2).

• É um caso particular de retângulo e de losango.

O quadrado é um polígono que possui 4 lados e 4 ângulos congruentes entre si, ou seja, os seus 4 lados e os seus 4 ângulos têm a mesma medida. O quadrado é uma forma geométrica bastante presente no cotidiano, como no formato da maioria dos pisos, na superfície de algumas mesas, entre outros objetos.

O quadrado é um entre vários tipos de quadriláteros, estudados na geometria plana, e é uma forma geométrica bastante comum na construção civil.

Elementos do quadrado

Assim como nos demais polígonos, como principais elementos do quadrado, podemos destacar seus vértices, seus lados, suas diagonais e seus ângulos.

• Vértices: os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrado.

• Lados: os segmentos (overline{AB},overline{AC},overline{BD} e overline{CD}) são os lados do quadrado.

• Diagonal: os segmentos AD e BC são as diagonais do quadrado.

• Ângulos: podemos perceber a presença de 4 ângulos internos, e todos com 90°, são eles: (CÂB,BCD,CDB e ABD).

Propriedades do quadrado

O quadrado possui propriedades importantes herdadas pelo fato de ele ser um quadrilátero e também por ser classificado como paralelogramo, além disso, é um caso especial de retângulo, pois todos os seus ângulos medem 90°, e losango, pois todos os lados têm a mesma medida, ou seja, são congruentes.

As principais características do quadrado são:

• A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é de 360°.

• Os ângulos internos medem 90° cada, logo, ele possui 4 ângulos retos.

• Os lados são congruentes.

• As diagonais são congruentes.

• As diagonais se interceptam em seus pontos médios.

• As diagonais são perpendiculares entre si.

Veja também: Poliedros — os sólidos geométricos que têm faces formadas por polígonos

Fórmulas do quadrado

Para calcular a área do quadrado, realizamos a multiplicação da sua base pela sua altura, como a base e a altura têm a mesma medida, então a área do quadrado é calculada pela fórmula:

(A=l^2)

Exemplo:

Um quadrado tem lado medindo 15 cm, então, qual é o valor da sua a área?

Resolução:

Substituindo l por 15 cm na fórmula, temos que:

(A=l^2)

(A={15}^2)

(A=225 cm²)

O perímetro do quadrado é igual à soma do comprimento dos seus lados, como os lados são todos congruentes, temos que:

(P=4l)

Exemplo:

Calcule o perímetro de um quadrado que possui lados medindo 15 cm.

Resolução:

Sabemos que (P=4l), substituindo l = 15, temos que:

(P=4l )

(P=4cdot15 )

(P=60 cm )

Então o perímetro desse quadrado é de 60 cm.

O quadrado possui duas diagonais, sendo que ambas têm a mesma medida de comprimento. Quando traçamos uma diagonal do quadrado, é possível perceber que ela o divide em dois triângulos retângulos:

Para calcular o comprimento da diagonal, podemos fazer a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo CDB, que tem como hipotenusa a diagonal do retângulo, logo, temos que:

(d^2=l^2+l^2)

(d^2=2l^2)

(d=sqrt{2l^2})

(d=lsqrt2)

Assim, a diagonal do quadrado é igual ao produto do comprimento do lado do quadrado por (sqrt2).

Exemplo:

Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado que tem lado medindo 9 cm de comprimento?

Resolução:

Para calcular o comprimento da diagonal, basta multiplicar o lado por (sqrt2).

Então temos que:

(d=lsqrt2)

(d=9sqrt2 cm)

Como não temos uma aproximação para o valor de (sqrt2), deixamos a diagonal como (9sqrt2 cm). Em alguns casos, quando essa informação é dada, podemos substituir (sqrt2) pela sua aproximação, a fim de encontrar o valor aproximado do comprimento da diagonal.

Exemplo 2:

Se um quadrado tiver lados medindo 5 cm, e utilizando 1,4 como aproximação para (sqrt2), qual será o comprimento da diagonal desse quadrado?

Resolução:

Calculando o comprimento da diagonal, temos que:

(d=lsqrt2)

(d=5sqrt2)

(d=5cdot1,4)

(d=7,0 cm)

Leia também: Soma dos ângulos internos de um polígono — a expressão matemática que pode ser usada nesse cálculo

Exercícios resolvidos sobre quadrado

Questão 1

Parte de um terreno tem formato de quadrado com lados medindo 6 metros cada, e sabe-se que um agricultor deseja plantar soja nele. Para fazer a plantação de soja, a máquina semeadora joga 13 sementes em cada metro quadrado. Então a quantidade de sementes necessárias para cultivar soja nesse terreno será igual a:

A) 390 sementes

B) 468 sementes

C) 529 sementes

D) 652 sementes

Resolução:

Alternativa B

Primeiro calcularemos a área do terreno, como ele é um quadrado, temos que:

(A=l^2)

(A=6^2)

(A=36 m^2)

Como ele tem 36 m², então, para calcular a quantidade de sementes necessárias Q, basta multiplicar 13 por 36.

(Q=36cdot13)

(Q=468 sementes)

Questão 2

Um quadro, no formato de um quadrado com 22 cm de lado, será moldurado. Supondo que essa moldura tenha o tamanho exato do perímetro do quadrado, então o seu comprimento será igual a:

A) 88 cm

B) 92 cm

C) 100 cm

D) 102 cm

Resolução:

Alternativa A

Calculando o perímetro do quadrado, temos que:

(P=4l)

(P=4cdot22)

(P=88 cm)

Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.

Um polígono convexo é regular quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais.

Na geometria plana, existem diferentes tipos de polígonos e, para muitos deles, há uma fórmula matemática para se calcular sua área.

Conteúdo deste artigo

Um triângulo regular é também chamado de triângulo equilátero. Obtemos a sua área através da seguinte fórmula matemática: .

Onde a é a medida do lado do triângulo. Obtemos essa fórmula da seguinte maneira:

Considere o triângulo regular ABC, de lado a:

Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados, ABD e aplicar o Teorema de Pitágoras.

Agora, como a área de um triângulo qualquer é: , teremos:

Assim, em todo triângulo regular encontramos a sua área utilizando a fórmula .

Área de um quadrado

Um quadrado, por si só, já é regular pois, por definição, é um quadrilátero cujos lados são sempre iguais.

Calculamos a sua área multiplicando a sua base pela sua altura:

Vamos considerar um hexágono regular de lado L e apótema a.

O hexágono é o único polígono regular onde todos os seus 6 triângulos são também regulares (equiláteros).

Assim, para calcular a área de um dos triângulos basta utilizar a fórmula: .

Como temos 6 triângulos que formam o hexágono, a sua área será, então:

Fórmula geral para cálculo da área de qualquer polígono regular

Existe uma fórmula que nos dá a área de qualquer polígono regular. A fórmula é a seguinte:

Onde n é a quantidade de lados do polígono, L é a medida do lado desse polígono e a é a medida do apótema, quase sempre dado.

Para chegarmos à fórmula, vamos considerar o hexágono abaixo e suponhamos que não sabemos da existência de uma fórmula específica pra ele (como vimos anteriormente).

Um hexágono é um polígono regular de 6 lados. Podemos dividir esse polígono em 6 triângulos idênticos. Assim, para determinar a área desse hexágono, basta determinar a área de um dos triângulos e, em seguida, multiplicar o resultado por 6.

A área de um triângulo qualquer é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura e dividindo esse resultado pela metade, ou seja, .

No caso desse hexágono, a base do triângulo em destaque será L e a altura será a, que é o apótema do hexágono.

O apótema é a medida do segmento que parte do centro do polígono e forma ângulo de 90° com um de seus lados. Nesse caso, o apótema a desse polígono tem a mesma medida que a altura do triângulo em destaque.

Assim, a área será: .

Como o hexágono é composto por 6 triângulos iguais ao destacado, para encontrar a área do hexágono, devemos multiplicar a área do triângulo por 6: .

Veja que, se fosse um polígono de 5 lados, teríamos 5 triângulos e, por isso, multiplicaríamos a área do triângulo por 5. O mesmo aconteceria com um polígono regular de 10 lados: teríamos 10 triângulos e a área seria multiplicada por 10.

Considerando, então, um polígono de n lados, teríamos n triângulos iguais e a área deveria ser multiplicada por n. Assim, .

Observe que, ajeitando a fórmula para , temos que é, na verdade, o perímetro do polígono. Como o perímetro é a soma de todos os lados e temos n lados iguais a L, o perímetro será . Assim, também podemos expressar essa fórmula como:

Se a medida do apótema não for dada, teremos que o encontrá-la.

Apótema

Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado mede 3 cm.

Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°.

O apótema sempre divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida, no nosso caso, 30°. Agora, podemos usar algumas relações trigonométricas para encontrar o valor do apótema:

Generalizando para o caso onde temos um polígono de lado n lados de medida L:

O ângulo do apótema será dado por . Como temos que dividir esse ângulo por 2, teremos: .

Aplicando trigonometria para encontrar o apótema:

Com essa fórmula do valor do apótema, a nossa fórmula pode ser escrita como:

Essa é a fórmula geral para se calcular a área de qualquer polígono regular.

Exemplos

1. Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm?

Aplicando a fórmula obtida teremos:

2. Qual a área de um polígono regular de 4 lados, que tem 6 como medida de cada lado?

Temos um quadrado de lado 6, cuja área pode ser calculada por:

Mas vamos calcular utilizando a fórmula obtida anteriormente:

O que nos mostra a validade da fórmula.

Referências:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de polígonos. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.