Considere a imagem a seguir. qual alternativa indica o último número desta nova sequência?

Sequência numérica é uma lista formada por números que possui uma ordem, geralmente, bem definida. Uma sequência contém o que conhecemos como lei de formação, ou lei de recorrência, o que nos permite encontrar os próximos termos do seguimento. Por exemplo, podemos montar a sequência formada pelos números pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6,…), ou então a sequência dos números múltiplos de 10 (0, 10, 20, 30, 40,…), entre outras várias sequências possíveis.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, dependendo da quantidade de elementos que ela possui. Ela também pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Além disso, existem casos particulares de sequência, conhecidos como progressões. Elas podem ser classificadas como progressões aritméticas ou geométricas.

Leia também: Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

Resumo sobre sequência numérica

• Sequência é uma lista de números organizados em ordem.

• Exemplos de sequência numérica:

  • Sequência decrescente dos divisores de 20: (20, 10, 5, 4, 2, 1).

  • Sequência de números ímpares: (1, 3, 5, 7,…).

• Uma sequência pode ser finita ou infinita.

  • Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.

  • Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

• Uma sequência é classificada como crescente, descrente, constante ou oscilante.

• São casos especiais de sequência a progressão aritmética e a progressão geométrica.

Chamamos de sequência numérica uma lista de números com ordem determinada. Para denotar uma sequência, escrevemos os números entre parênteses, como no exemplo a seguir:

(a1, a2, a3,..., an)

• a1 é o 1º termo da sequência.

• a2 é o 2º termo da sequência.

• a3 é o 3º termo da sequência.

• an é o n-ésimo termo da sequência.

Conhecemos como lei de ocorrência a regra que rege a sequência numérica. Podemos ter vários critérios para a formação de uma sequência numérica, de acordo com determinadas características desses números. Vejamos alguns exemplos a seguir.

• Exemplo 1: lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 4:

(0, 4, 8, 12, 16, 20,…)

• Exemplo 2: lei de ocorrência da sequência dos números ímpares:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…)

• Exemplo 3: lei de ocorrência da sequência dos números negativos maiores que -5:

(-4, -3, -2, -1)

Leia também: Curiosidades sobre os números

Classificação de sequência numérica

Existem duas maneiras de classificar uma sequência. Uma delas tange a quantidade de termos, definindo as sequências como finita ou infinita. A outra refere-se a seu comportamento, distinguindo as sequências como crescente, decrescente, constante ou oscilante.

→ Classificação da sequência numérica quanto à quantidade de termos

• Finita: quando a sequência possui uma quantidade limitada de termos.

Exemplos:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10)

b) (1, -1, 2, -2, 3, -3)

c) (1, 4, 9, 16, 25)

• Infinita: quando a sequência possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplos:

a) (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (3, 6, 9, 12,…)

c) (3, 9, 27, 81,…)

→ Classificação da sequência numérica quanto ao comportamento

• Crescente: quando um termo da sequência é menor que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (-2, 0, 2, 4, 6)

• Decrescente: quando um termo da sequência é maior que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (16, 13, 10, 7,…)

b) (-3, -9, -27, -81,…)

• Constante: quando um termo da sequência é sempre o mesmo.

Exemplos:

a) (0, 0, 0, 0, 0)

b) (4, 4, 4, 4,...)

• Oscilante: quando a sequência não se comporta de nenhuma das maneiras citadas, ou seja, ela não é crescente, nem decrescente, nem constante.

Exemplos:

a) (0, 1, 0, 1, 0, 1)

b) (1, -2, 3, -4, 5, -5,…)

Lei de formação da sequência numérica

A lei de formação de uma sequência é uma expressão algébrica que nos permite encontrar cada um dos termos da sequência por meio de uma fórmula. Existem algumas sequências em particular com lógicas demonstráveis por meio de uma lei de formação. Vejamos alguns casos a seguir.

Exemplo:

Uma sequência possui lei de formação do tipo an = n² + n. Encontre os seus 6 primeiros termos.

a1 = 1² + 1 = 1 + 1 = 2

a2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6

a3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12

a4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20

a5 = 5² + 5 = 25 + 5 = 30

a6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42

(2, 6, 12, 20, 30, 42,…)

Progressão aritmética e progressão geométrica

Existem casos particulares de sequência denominados progressões. Elas se subdividem em dois tipos: progressões aritméticas e geométricas.

Para que uma sequência seja considerada uma progressão aritmética (PA), a diferença entre um termo qualquer da sequência e o seu sucessor é sempre constante. Essa diferença é conhecida como razão, representada por r.

Exemplos:

a) Progressão aritmética de razão 3: (1, 4, 7, 10, 13,…). Note que de um termo para o seu sucessor, basta somar 3.

b) Progressão aritmética de razão -5: (16, 11, 6, 1, -4,…).

Para que uma sequência seja considerada uma progressão geométrica (PG), a divisão entre um termo e o seu antecessor tem sempre o mesmo quociente. Esse resultado é representado por q, tido como a razão de uma progressão geométrica.

Exemplos:

a) Progressão geométrica de razão 2: (2, 4, 8, 16, 32,…).

b) Progressão geométrica de razão -3: (5, -15, -45, -135,…).

Leia também: Três erros mais cometidos em progressões no Enem

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1

(Instituto Consulplan) Observe a sequência numérica: 12, 14, 17, 21, 26, 32, 39,.... A soma dos dois próximos números da sequência é:

A) 99

B) 101

C) 103

D) 105

Resolução:

Alternativa C.

Analisando a sequência, é necessário compreender qual é a lógica para identificação dos próximos termos. Note que o primeiro termo é 12 e nele foi adicionado 2.

12 + 2 = 14

Já ao termo 14 foi adicionado 3:

14 + 3 = 17

Ao 17, foi adicionado 4:

17 + 4 = 21

Continuando com essa mesma lógica, temos que:

21 + 5 = 26

26 + 6 = 32

32 + 7 = 39

Agora queremos encontrar os dois próximos termos:

39 + 8 = 47

47 + 9 = 56

Então a soma 47 + 56 = 103

Questão 2

Os números abaixo estão dispostos em uma sequência lógica:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, A, B, 55, 89,...

Nesse caso, pode-se afirmar que A+B é igual a:

A) 55

B) 64

C) 74

D) 82

Resolução:

Alternativa A.

É possível perceber que a partir do 3º termo, para encontrar um próximo na sequência basta somar os dois antecessores ao número verificado:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

Assim sucessivamente. Então, podemos afirmar que A + B = 55

 A sequência numérica, como o nome sugere, é uma sequência de números e geralmente possui uma lei de recorrência, o que torna possível prever quais serão os próximos termos conhecendo os seus antecessores. Podemos montar sequências numéricas com diferentes critérios, como uma sequência dos números pares, ou sequência dos números divisíveis por 4, sequência de números primos, sequência dos quadrados perfeitos, enfim, existem várias possibilidades de sequências numéricas.

Quando classificamos a sequência quanto à quantidade de termos, a sequência pode ser finita ou infinita. Quando classificamos a sequência quanto ao comportamento dos termos, essa sequência pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressões aritméticas e progressões geométricas.

Leia também: Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética?

Resumo sobre sequência numérica

• A sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números.

• Alguns exemplos de sequência numérica:

  • sequência de números pares (0,2,4,6,8…);

  • sequência dos naturais menores que 6 (1, 2, 3, 4, 5);

  • sequência de números primos (2,3,5,7,11,…).

• A lei de formação de uma progressão é a regra que rege essa sequência.

• Uma sequência pode ser finita ou infinita.

  • Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.

  • Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

• Uma sequência pode ser crescente, descrente, constante ou oscilante.

  • Crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor.

  • Decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor.

  • Constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor.

  • Oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor.

• Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão geométrica.

Lei de ocorrência de sequência numérica

Conhecemos como sequência numérica qualquer sequência formada por números. Geralmente demonstramos as sequências fazendo uma lista dos seus termos, entre parênteses e separados por vírgula. Essa lista é conhecida como lei de ocorrência de uma sequência numérica.

(a1, a2, a3, … , an)

a1 → 1º termo da sequência

a2 → 2º termo da sequência

a3 → 3º termo da sequência

an → n-ésimo termo da sequência

Vejamos alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1:

Lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 5:

(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)

Exemplo 2:

Lei de ocorrência da sequência dos números primos:

(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )

Exemplo 3:

Lei de ocorrência dos inteiros negativos:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)

Exemplo 4:

Sequência dos números ímpares menores que 10:

(1, 3, 5, 7, 9)

Leia também: Quais são as propriedades dos números pares e ímpares?

Classificação da sequência numérica

Existem duas maneiras distintas de classificar uma sequência. A primeira delas é quanto à quantidade de termos, forma pela qual uma sequência pode ser finita ou infinita. A outra maneira de classificar as sequências é quanto ao seu comportamento. Nesse caso, elas são classificadas como crescentes, decrescentes, constantes ou oscilantes.

→ Sequência numérica finita

A sequência é finita quando ela possui uma quantidade limitada de termos.

Exemplos:

• (1, 2, 3, 4, 5)

• (– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)

→ Sequência numérica infinita

A sequência é infinita quando ela possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplos:

• (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )

• (– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )

→ Sequência numérica crescente

Uma sequência é crescente quando um termo qualquer é sempre menor que o seu sucessor na sequência.

Exemplos:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )

• ( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)

→ Sequência numérica decrescente

Uma sequência é decrescente quando um termo qualquer é sempre maior que o seu sucessor na sequência.

Exemplos:

• (10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )

• (4, – 8, – 16, – 32, – 64 )

→ Sequência numérica constante

Uma sequência é constante quando todos os termos da sequência são iguais:

Exemplos:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)

• ( – 4, – 4, – 4, – 4 … )

→ Sequência numérica oscilante

Uma sequência é oscilante quando há termos que são maiores e termos que são menores que os seus respectivos sucessores na sequência:

Exemplos:

• (1,-2,4,-8,16,-32,64...)

• (1, – 1, 1, – 1, 1 , – 1)

Lei de formação da sequência numérica

Algumas sequências podem ser descritas por uma fórmula que gera os seus termos. Essa fórmula é conhecida como lei de formação. Utilizamos a lei de formação para encontrar qualquer termo na sequência quando conhecemos o comportamento dela.

Exemplo 1:

A sequência a seguir é formada por quadrados perfeitos:

(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )

Podemos descrever essa sequência pela lei de formação:

an = (n – 1)²

n → número do termo

an → o termo de posição n

Com essa fórmula, é possível saber, por exemplo, o termo que ocupa a posição número 10 na sequência:

a10 = ( 10 – 1) ²

a10 = 9²

a10 = 81

Exemplo 2:

Liste os termos da sequência cuja lei de formação é an = 2n – 5.

Para listar, encontraremos os primeiros termos da sequência:

1º termo:

an = 2n – 5

a1 = 2·1 – 5

a1 = 2 – 5

a1 = – 3

2º termo:

an = 2n – 5

a2 = 2·2 – 5

a2 = 4 – 5

a2 = – 1

3º termo:

an = 2n – 5

a3 = 2·3 – 5

a3 = 6 – 5

a3 = 1

4º termo:

an = 2n – 5

a4 = 2·4 – 5

a4 = 8 – 5

a4 = 3

5º termo:

a5 = 2n – 5

a5 = 2·5 – 5

a5 = 10 – 5

a5 = 5

Então a sequência é:

(– 1, 1, 3, 5 … )

Veja também: Números romanos — sistema numérico que utiliza letras para representar valores e quantidades

Progressão aritmética e progressão geométrica

Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressão aritmética e progressão geométrica. Uma sequência é uma progressão quando existe uma razão de um termo para o seu sucessor.

Quando conhecemos o primeiro termo da sequência e, para encontrar o segundo, somamos o primeiro a um valor r e, para encontrar o terceiro termo, somamos o segundo a esse mesmo valor r, e assim sucessivamente, a sequência é classificada como uma progressão aritmética.

Exemplo:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 4 e primeiro termo igual a 1.

Note que, para encontrar o sucessor de um número na sequência, basta somar 4, por isso dizemos que 4 é a razão dessa progressão aritmética.

Na progressão geométrica, também existe uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o sucessor de um termo, devemos multiplicar o termo pela razão.

Exemplo:

(2, 6, 18, 54, 162, … )

Essa é uma progressão geométrica de razão igual a 3 e primeiro termo igual a 2.

Note que, para encontrar o sucessor de um número nessa sequência, basta multiplicar por 3, o que faz com que a razão dessa progressão geométrica seja 3.

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1 - Analisando a sequência (1, 4, 9, 16, 25, … ), podemos afirmar que os dois próximos números serão:

A) 35 e 46.

B) 36 e 49.

C) 30 e 41.

D) 41 e 66.

Resolução

Alternativa B.

Para encontrar os termos da sequência, é importante encontrar uma regularidade na sequência, ou seja, entender a sua lei de ocorrência. Note que, do primeiro termo para o segundo termo, somamos 3; do segundo para o terceiro termo, somamos 5; do terceiro para o quarto termo e do quarto para o quinto termo, somamos, respectivamente, 7 e 9, logo a soma aumenta duas unidades a cada termo da sequência, ou seja, no próximo, somaremos 11, depois 13, depois 15, depois 17 e assim sucessivamente. Para encontrar o sucessor do 25, somaremos 11.

25 + 11 = 36.

Para encontrar o sucessor de 36, somaremos 13.

36 + 13 = 49

Então os próximos termos serão 36 e 49.

Questão 2 - (Instituto AOCP) A seguir, é apresentada uma sequência numérica, tal que os elementos dessa sequência foram dispostos obedecendo a uma lei (lógica) de formação, em que x e y são números inteiros: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Observando essa sequência e encontrando os valores de x e de y, seguindo a lei de formação da sequência dada, é correto afirmar que

A) x é um número maior que 30.

B) y é um número menor que 5.

C) a soma de x com y resulta em 25.

D) o produto de x por y resulta em 106.

E) a diferença entre y e x, nessa ordem, é um número positivo.

Resolução

Alternativa C.

Queremos encontrar o 7º e 8º termo dessa sequência.

Analisando a lei de ocorrência da sequência (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), é possível perceber que existe uma lógica para os termos ímpares (1º termo, 3º termo, 5º termo … ). Note que o 3º termo é igual ao 1º termo menos 2, pois 24 – 2 = 22. Usando essa mesma lógica, o 7º termo, representado por x, será o 5º termo menos 2, ou seja, x = 20 – 2 = 18.

Existe lógica parecida para os termos pares (2º termo, 4º termo, 6º termo … ): o 4º termo é o 2º termo menos 2, pois 13 – 2 = 11, e assim sucessivamente. Queremos o 8º termo, representado por y, que será o 6º termo menos 2, então y = 9 – 2 = 7.

Logo, temos x = 18 e y = 7. Analisando as alternativas, temos que x + y = 25, ou seja, a soma de x com y resulta em 25.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática