Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 6 elementos onde a razão é 2 e o último termo 900

Considere uma P.A. qualquer de razão r.

(a1, a2, a3, a4, a5, ...)

A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por:

Onde,

a1 → é o primeiro termo da P.A.

an → é último termo a ser somado na P.A. n → é o número de termos a serem somados na P.A.

Exemplo 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. abaixo:

(5, 8, 11, 14, 17, ...)

Solução: Note que para a utilização da fórmula da soma dos termos é necessário conhecer o valor de a1 e a20. Temos que

a1 = 5; r = 8 – 5 = 3; n = 20;

Precisamos determinar qual é o 20º termo dessa P.A., ou a20. Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral.

Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.

Exemplo 2. Calcule a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares.

Solução: (1, 3, 5, 7, ...) é a sequência dos números ímpares. É fácil ver que a1 = 1 e r = 2. Precisamos determinar o 50º termo dessa sequência (a50). Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral.

a50 = 1 + (50 - 1)?2 = 1 + 49?2 = 99

Agora podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.

Exemplo 3. O primeiro termo de uma P.A. vale 0,7 e a soma de seus vinte primeiros termos é igual a 71. Determine o vigésimo termo dessa P.A. Solução: Temos que

a1 = 0,7 S20 = 71 a20 = ?

Para solução desse problema devemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica na qual qualquer termo (an) é resultado do produto de seu antecessor (an – 1) com uma constante, chamada razão (q) da PG. É possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira:

Veja também: Soma dos termos de uma PA finita

Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero e 1, exceto por esses valores.

Para testar a validade dessa fórmula, usaremos os exercícios resolvidos a seguir.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é meio.

A PG em questão é:

(10, 5, 5 , … )
2

Podemos obter o próximo número dessa PG dividindo o termo que o antecede por 2. Logo, a razão dessa PG é ½.

Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:

Para resolver esse problema, usamos a divisão de frações. Para dividir duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Para mais informações a respeito desse procedimento, leia o texto “Multiplicação e divisão de frações", clicando aqui.

Exercício 2

Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …).

O primeiro termo da PG é 1. Para encontrar sua razão, basta dividir qualquer termo por seu antecessor.

0,5 : 1

Para resolver essa divisão, basta multiplicar ambos os termos por 10. Assim, teremos:

5 : 10 = 0,5

Logo, a razão dessa PG é 0,5. O cálculo da soma dos termos da PG infinita pode ser feito usando q = 0,5 ou escrevendo esse decimal na forma de fração. Optamos pelo segundo método. Observe apenas que, encontrando a fração irredutível, o cálculo será facilitado:

0,5 = 5 :5 = 1
10:5 2

Substituindo o primeiro termo e a razão na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:

Outras fórmulas e conhecimentos

Também existe a possibilidade de usar outras fórmulas e conhecimentos para encontrar a soma de termos de uma PG infinita. No exercício a seguir, usaremos a fórmula do termo geral da PG para encontrar o valor do primeiro termo da PG para depois calcular a soma de seus termos.

Exercício 3

Calcule a soma dos termos da PG infinita que possui razão 1/4 (um quarto) e seu quarto termo é 1/16 (um dezesseis avos).

Para resolver esse problema, precisamos descobrir o primeiro termo dessa PG. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral da PG:

Conhecendo a razão e o primeiro termo, basta substituir esses valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:

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