Determine os conjuntos aeb sabendo que bxa está representado no gráfico a seguir

Um par ordenado é formado pelos valores de x e y agrupados, os quais determinam pontos no plano cartesiano. A coordenada (x, y) indica que os valores de x estão atribuídos à abscissa (eixo x) e os valores de y à ordenada (eixo y). Produto cartesiano é a multiplicação entre pares ordenados envolvendo conjuntos distintos. Por exemplo, temos o conjunto “A” formado pelos seguintes elementos {1, 2, 3, 4} e o conjunto “B” formado pelos elementos {2, 3}, o produto entre eles será o resultado de A x B, considerando que nos pares ordenados, formados pelo produto, a ordem seja a seguinte: Os elementos de A devem assumir a posição da abscissa, e os elementos de B da ordenada.

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Tópicos deste artigo
União de conjuntos
Intersecção de conjuntos
Diferença de conjuntos
Conjuntos complementares
Exercícios resolvidos

Portanto, temos que A x B:

{(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)}

Também podemos realizar o produto de B x A e verificar que os pares formados são diferentes, concluindo que A x B ≠ B x A. Observe:

B x A

{(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}

Observe que temos a formação de 8 pares ordenados nas duas multiplicações. Isso decorre do fato de que o conjunto A é formado por 4 elementos e o conjunto B por dois elementos. Assim sendo, constituímos a multiplicação:

n(A x B) = n(A) * n(B) n(A x B) = 4 * 2

n(A x B) = 8

Vamos estabelecer os pares ordenados relativos às seguintes operações: A² e B².

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3}

A² = A x A

{(1, 1); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4)}

B² = B x B

{(2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)}

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�PAGE �2� �PAGE �22� PAR ORDENADO Sabe-se que os conjuntos {a , b} e {b , a} são iguais porque não importa a ordem em que seus elementos aparecem dispostos. Contudo na Geometria Analítica, se o conjunto {3 , 4} define o ponto de abscissa 3 e ordenada 4 e o conjunto {4 , 3} define outro ponto de abscissa 4 e ordenada 3, a ordem dos elementos nestas condições passa a ser imprescindível. Assim, quando a ordem dos elementos do conjunto é importante um conjunto {a , b} passa a ser representado por (a , b) e a receber a denominação de par ordenado. Em resumo. Dado um par de elementos x e y , chama-se par ordenado ao conjunto formado por x e y, obedecendo a condição que x seja o primeiro elemento e y o segundo e representa-se por ( x , y ). PROPRIEDADE: ( x , y ) = ( a , b ) ( x = a e y = b 25. Complete: ( x , y ) = ( 3 , 6 ) ( x = __ e y = __ 26. Calcule a e b sabendo que: i) ( a + 2b , a – 2b ) = ( 7 , 3) ( a =__ e b = __ ii) ( a , 2a – b ) = ( b + 2 , 8 ) ( a = __ e b = __ iii) ( a + b , 5a + 2b ) = ( 20 , 82 ) ( a = __ e b = __ iv) ( , ) = ( , ) ( a = __ e b = __ PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos, A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto A X B, cujos os elementos são todos os pares ordenados ( x , y ) onde x ( A e y ( B A X B = { ( x , y ) / x ( A e y ( B } vale também n( A X B ) = n ( A ) . n ( B ) Ex: Se A = { 1, 2, 3 } e B = { 1 , 2 }, complete. A X B = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) } B X A = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) } No plano cartesiano, temos: EXERCÍCIOS: Dado os conjuntos a seguir, obtenha o produto cartesiano entre eles com o auxílio de uma tabela de dupla entrada e pelo diagrama de árvore. A = { a, b, c} e B = { 1, 2, 3, 4} C = { x, y, z } e D = { a, b, c} E = { 1, 3, 5, 7} e F = { 2, 4, 6 } De quantas modos diferentes, uma pessoa pode chegar ao jardim de uma residência a partir da sala, se ela pode escolher entre três caminhos que levam a um ambiente o qual proporciona mais seis passagens para se alcançar o jardim? ( Sugestão: monte uma tabela de dupla entrada ou um diagrama de árvore) Usando o conceito de produto cartesiano, represente o conjunto dos resultados possíveis para: o lançamento simultâneo de duas moedas; o lançamento simultâneo de dois dados o lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado. Dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7 } e B = { 0, 2, 4, 6 } monte uma tabela de dupla entrada de A X B e de B2 = B X B: Observando os pares ordenados de AXB do exercício 04, obtenha: C = { ( x, y ) ( AXB / y é múltiplo de x } =_______________________________ D = { ( x, y ) ( AXB / x > y } = _______________________________________ E = { ( x, y ) ( AXB / } = ______________________________________ F = { ( x, y ) ( AXB / y = x + 3 } = _____________________________________ 32. Define-se diferença simétrica de dois conjuntos, A e B, contidos em E o conjunto : = ( A ( B) – ( A ( B ). Com esta informação pede-se que: dado os conjuntos A = { a, b, c, d} e B = { c, d, e, f, g }, determine = ________________________________ represente o conjunto hachurando o diagrama de Venn abaixo. 33. Represente no plano cartesiano A X B, para os conjuntos: a) A = {x(R / 1 x < 3} e B = { 2 } b) A = [-3 , 5 ] B = [ 1 , 3 ] c) A X B = { (x , y)( R2 / 1 x 5 e 1 y 3 } d) A = ] 1 , 3 ] e B = [ 2 , 4 [ RELAÇÕES ( S ) Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A X B, isto é S é uma relação de A em B. Assim, S ( A XB S = { ( x ,y ) ( ( A X B ) / lei de formação } Seja A = {2 ,3 ,4 } e B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Represente a relação S = { (x , y) ( A X B / x é divisor de y }, no plano cartesiano, por enumeração e pelo diagrama de Vem. Plano cartesiano Enumeração S = {( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )} Diagrama de Venn. Deve-se lembrar ainda. D = { , , } Im = { , , , } O conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados recebem o nome de DOMÍNIO. ( D ) O conjunto dos segundos elementos dos pares ordenados recebem o nome de IMAGEM. ( Im ) 35. Idem para A = {1 , 2 , 3 } e B = { 2 , 4 , 3 , 5 } S = { (x , y)(AXB | y = 2x } gráfico por enumeração S = { ( , ) , ( , ) } Diagrama de Venn A B I = { , } D = { , } APRESENTAÇÃO DO IR2 Seja IR o conjunto dos números

A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar.

Tópicos deste artigo

União de conjuntos

A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por:

Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.

Exemplo:

a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) A = {x | x é um número par natural} e B {y | y é um número ímpar natural}

A união de todos os pares naturais e todos os ímpares naturais resulta em todo o conjunto dos números naturais, logo, temos que:

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Intersecção de conjuntos

A intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos:

Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.

Exemplo

a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}

A ∩ B = {2, 4, 6}

A ∩ C = { }

B ∩ C = {0}

O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e pode ser represento de duas formas.

Leia também: Definição de conjunto

Diferença de conjuntos

A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é:

Exemplo

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Vamos determinar as seguintes diferenças.

A – B = {5}

A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C – A = { }

Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos” os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio, ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e “tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá.

Leia também: Notações importantes sobre conjuntos

Conjuntos complementares

Considere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido.