Método dos coeficientes a determinar Exercícios Resolvidos

Vídeo aula do curso de cálculo 2 do Departamento de Física de Matemática da Universidade Federal Fluminense Campus de Rio das Ostras. Nesta aula veremos o Método dos coeficientes a determinar usado para resolver alguns tipos de EDOs de segunda ordem lineares não homogêneas.

Agrupando os termos semelhantes

Agora a gente só precisa comparar os coeficientes de ambos os lados.

Por exemplo, o cara que acompanha ² de um lado, tem que ser igual ao cara que acompanha o do outro lado. O cara que acompanha o de um lado tem que ser igual ao cara que acompanha o do outro. Esse raciocínio vai ser seguido sempre, ok?

Daí, resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e , e substituímos em

E, finalmente, chegamos na etapa 3, encontrando a solução geral

Acabamos esse exemplo. Nem doeu, né?

Um passo MUITO IMPORTANTE é o seguinte: sempre que supomos um , precisamos ver se a nossa sugestão já está presente em . No exemplo acima não deu nada errado, porque não estava em , mas nem tudo são flores.

Olha um exemplo:

Esse é o mesmo caso que vimos agora, com exceção do , que é uma exponencial. Já vimos que a solução homogênea é

Já que temos uma exponencial, vamos chutar uma exponencial também, com o mesmo expoente, acompanhada por uma constante:

Show. Agora, perceba que esse chute já aparece em , concorda? Então precisamos consertar esse pequeno detalhe. Como fazemos isso? Vamos apenas multiplicar nossa por x até que ela fique diferente do termo que aparece em , desse jeito:

Prontinho, agora as contas seguem:

Agrupando os termos semelhantes

Logo, comparando os coeficientes em ambos os lados

Então,

Show?! Beleza, vamos ao último exemplo, envolvendo nossas trigonométricas (senos ou cossenos)

Novamente, . Como nossa ...

“Ahhhh, já sei, vou chutar , né?” NÃÃÃÃÃO!!! SEMPRE que aparecer senos ou cossenos, você precisa chutar uma combinação linear dos dois! O que é isso? É o seguinte:

Sacou? Agora o procedimento é o mesmo. Vamos verificar se ela está na solução homogênea... Não está, pois a homogênea desse caso só envolve exponencial. Podemos prosseguir:

Substituindo na EDO

Agrupando termos semelhantes

Novamente, vamos comparar os coeficientes:

Obtendo e

Então

Feitooooo!

Chegou a hora do BIZU! Dá uma olha na tabela aqui pra você saber qual chute dar!