O valor do determinante como produto de 3 fatores é

O cálculo dos determinantes pode ser facilitado se analisarmos as características e propriedades de algumas matrizes. Há algumas propriedades que, se bem observadas, podem fazer com que economizemos tempo na realização desses cálculos. Vejamos quais são essas propriedades e como elas podem nos ajudar.

Propriedade 1.

Quando todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, o determinante da matriz é nulo.

Exemplo:

Propriedade 2. Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.

Exemplo:

Propriedade 3. Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, então seu determinante será nulo.

Exemplo:

Propriedade 4. Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz forem multiplicados por um número real p qualquer, então seu determinante também será multiplicado por p.

Exemplo:

Propriedade 5.

Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado por pm.

det (p?A) = pm?det A

Exemplo:

Propriedade 6. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

det A=det At

Exemplo:

Propriedade 7. Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante será o oposto da matriz anterior.

Exemplo:

Propriedade 8. Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, então o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

Propriedade 9.

O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma delas. det (A?B) = det A ? det B

Propriedade 10.

Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Se somarmos os elementos da coluna 1 com o dobro dos elementos da coluna 2, o determinante não irá se alterar.

Aproveite pra conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, Teorema de Binet e a Regra de Chió. Mas todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes. Vale lembrar que os determinantes, bem como suas propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Vejamos cada uma dessas propriedades:

1ª) Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será zero.

Essa propriedade é válida porque cada termo no cálculo do determinante será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Matriz de ordem 3 com a segunda coluna composta por zeros.

Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, temos:

Det = A11·0·A33 + 0·A23·A31 + A13·A21·0 – A31·0·A13 – 0·A23·A11 – A33·A21·0 = 0

Podemos ainda verificar essa propriedade através de qualquer matriz que apresente uma linha ou coluna formada por zeros.

2ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta.

É fácil verificar essa propriedade, pois, ao calcular o determinante de uma matriz A ou de sua transposta At, estaremos sempre realizando as mesmas multiplicações e as mesmas adições. Vejamos o cálculo do determinante das matrizes A e At de ordem 2:

Matriz de ordem 2 e sua transposta.

Vamos calcular o determinante das duas matrizes:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det At = A11·A22 – A12·A21

Det A = Det At

3ª) Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocaremos o sinal do determinante.

Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout e pode ser facilmente comprovada através de exemplos. Veja:

Matrizes A e A', ambas de ordem 2.

Observe que a Matriz A' é uma cópia da A, mas as linhas 1 e 2 foram trocadas. Vejamos o cálculo de seus determinantes:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det A' = A21·A12 – A11·A22

Det A = – Det A'

4ª) Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multiplicado por n.

A 4ª propriedade é válida porque, no cálculo do determinante, cada produto é multiplicado por n, o que, colocando em evidência, corresponde a multiplicar o próprio determinante por n. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Matrizes A e A', ambas de ordem 3.

Vamos calcular o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus:

5ª) Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante é nulo.

Vamos verificar essa propriedade através de exemplos:

Matrizes de ordem 2: A e B.

Veja que a matriz A apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante:

Det A = A11·A12 – A11·A12

Det A = 0

Podemos ver ainda que a segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante:

Det B = B11·nB21 – B21·nB11

Det B = n(B11·B21 – B21·B11)

Det B = n·0

Det B = 0

6ª) Se somarmos uma linha ou coluna à outra que foi multiplicada por um número, o determinante não será alterado.

Para demonstração dessa propriedade, é mais indicado o uso de exemplo numérico. Observe que a matriz A' (mostrada a seguir) é decorrente da matriz A. Mas para chegar à terceira coluna da matriz A', nós somamos o tripo da 2ª coluna de A à 3ª coluna de A, obtendo:

Matrizes de ordem 2: A e B.

Vamos calcular o determinante de A e de A':

Det A = 1·3·2 + 2·1·4 + 0·2·0 – 4·3·0 – 0·1·1 – 2·2·2 = 6

Det A' = 1·3·2 + 2·10·4 + 6·2·0 – 4·3·6 – 0·10·1 – 2·2·2 = 6

Det A = Det A'

7ª) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.

Vejamos a demonstração dessa propriedade através de um exemplo:

Matrizes A e B e matriz A.B.

Vamos calcular o determinante de A e de B:

Det A = A11·A22 – A21·A12

Det B = B11·B22 – B21·B12

Det A·Det B= A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12

Calculando o determinante da matriz A·B, temos:

Det (A·B) = A11·A22·B11·B22 – A21·A12·B11·B22 – A11·A22·B21·B12 + A21·A12·B21·B12

Portanto, Det A · Det B = Det (A·B).

Nesta seção, vamos apontar as principais propriedades do determinante. A prova rigorosa destas propriedades será adiada para o apêndice desta seção.

Teorema 66. Valem as seguintes propriedades:

(i) O determinante depende linearmente de cada uma das linhas, isto é, se ﬁzermos uma combinação linear de uma linha apenas, poderíamos ter feito uma cobinação linear dos determinantes:

det a11 ⋯ a1n ⋮ ⋮ αa i1 + βbi1⋯αain + βbin ⋮ ⋮ an1 ⋯ ann = αdet a11⋯a1n ⋮ ⋮ a i1 ⋯ain ⋮ ⋮ an1⋯ann +βdet a11⋯a1n ⋮ ⋮ b i1 ⋯bin ⋮ ⋮ an1⋯ann .

(7.47)

(ii) Se uma linha de A for composta só por zeros, então detA = 0. (iii) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. (iv) A operação elementar “trocar duas linhas de lugar” altera o sinal do determinante. (v) A operação elementar de somar o múltiplo de uma linha à outra não altera o determinante. Em outras palavras, se um múltiplo de uma linha de A for somado à outra linha formando a matriz B, então detA = detB. (vi) Uma matriz A é invertível se, e somente se, detA≠0. (vii) Para quaisquer duas matrizes A e B de mesma ordem, det(AB) = detAdetB. (viii) O determinante da matriz transposta de A é igual ao determinante de A, isto é, det(AT) = detA. (ix) Todos os itens acima que envolvem operações com linhas poderiam ser enunciados com “colunas” no lugar de “linhas”.

Várias destas propriedades já devem ser familiares para os leitores deste livro, com a possível exceção do comportamento do determinante com as operações elementares de escalonamento. E estas vão ser muito úteis no cálculo do determinante. Vamos enfatizar estas propriedades abaixo. O método para calcular o determinante por escalonamento, segue o seguinte raciocínio:

Caso seja necessário uma troca de linhas para que a posição de pivô ﬁque com um elemento não nulo, somos permitidos de fazer a troca, desde que alterando o sinal do determinante, como nos diz a propriedade (iv) acima;
De acordo com a propriedade (v), eliminar os elementos abaixo da posição de pivô não altera o determinante. Um cuidado: multiplicar linhas por escalares altera o determinante! Desta maneira, esta operação elementar signiﬁca estritamente fazer uma operação do tipo
Observe que “adicionamos um múltiplo da linha i na linha j”. Atentem para o fato de que não pode haver coeﬁciente diferente de 1 em ℓj.
Caso queiramos, para simpliﬁcar as contas, multiplicar ou dividir uma linha por um fator qualquer, podemos fazer uma aplicação cuidadosa da linearidade enunciada na propriedade (i) acima. Considerando β = 0, esta propriedade se transforma em “colocar um fator α de uma linha em evidência”:
a11⋯ a1n ⋮ ⋮ αa i1⋯αain ⋮ ⋮ an1 ⋯ ann = α⋅a11⋯a1n ⋮ ⋮ a i1 ⋯ain ⋮ ⋮ an1⋯ann . (7.49)

Exemplo 67. Vamos calcular o determinante da matriz A do Exemplo 64 utilizando as propriedades acima (em particular o escalonamento). Este método é particularmente útil quando as matrizes não possuem muitas entradas nulas. Já que a segunda linha possui um “1” na primeira entrada, vamos fazer uma troca de linhas para facilitar as contas (cuidado com o sinal!). Em seguida, eliminamos os elementos da primeira coluna.

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −1 0−10−2 3 0 4 3 2 1 1−2 2 0 1 = −10−10 0 3 −2 4 02 4 1 0 2 −2 1 = −10 −1 0 0 3 −2 4 0016∕3−5∕3 00−2∕3−5∕3 .

(7.50)

As divisões nos denominadores nos atrapalham um pouco na hora de fazer a conta. Podemos retirá-los dali, desde que cuidadosamente (o mesmo para o sinal de “ − 1”), colocando-os em evidência (note que devemos fazê-lo para cada linha!):

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −1 3 10 −1 0 0 3 −2 4 00 16 −5 00−2∕3−5∕3 = 1 9 10−1 0 0 3 −2 4 0016−5 0 0 2 5

(7.51)

Finalmente, podemos fazer uma troca de linhas e eliminar o elemento “16”:

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −1 9 10−1 0 0 3 −2 4 00 2 5 0 0 0 −45 = −1 9⋅1⋅3⋅2⋅(−45) = 30.

(7.52)

Observação 68. No exemplo anterior, vimos como calcular o determinante utilizando escalonamento de maneira “straightforward”. Como pode-se perceber, o método não parece muito melhor do que calcular o determinante utilizando expansão por cofatores. Vamos ver que, de fato, o melhor é misturar o método de cofatores com as propriedades acima! Vamos novamente calcular

−23 0 4 1 0 −1 0 3 2 1 1 −2 2 0 1 .

(7.53)

Observe que a terceira coluna tem duas entradas nulas. Podemos ainda utilizar uma operação elementar para eliminar uma das entradas: por exemplo, substituir ℓ3 + ℓ2 em ℓ2. Assim:

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −2304 4 2 0 1 3 211 −2 2 0 1 . lembrando sinais +−+ − + −

(7.54)

Note que a terceira coluna agora ﬁcou com apenas uma entrada não nula; logo, utilizando a terceira coluna para o cálculo de detA (como na seção anterior), obtemos

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −234 4 2 1 −221

(7.55)

Podemos também utilizar a propriedade (ix) do teorema para colocar em evidência um “ − 2” da primeira coluna e, em seguida, continuar com o cálculo:

−23 0 41 0−10 3 2 1 1−2 20 1 = −2⋅1 34−2 2 1 1 21 = −2⋅1 3 4 0 8 9 0−1−3 = −2⋅13 4 0 1 3 00−15 = −2⋅(−15) = 30.

(7.56)

Exemplo 69. Por ﬁm, recalculamos também o determinante da matriz do Exemplo 65, utilizando as propriedades desta seção. Vamos fazer as contas de forma um pouco mais rápidas. Tente acompanhar o que está sendo feito de um passo para outro! Iniciamos aproveitando o fato de a última coluna ter muitos zeros.

2 0 0 801 −7−500 3 8 6 000 7 5 40 2 3 1 11 = 2 0 0 8 1 −7 −5 0 3 8 6 0 0 7 5 4 =−2ℓ4 + ℓ1 em ℓ1 2−14−100 1 −7 −5 0 3 8 6 0 0 7 5 4 = 4⋅2−14−10 1 −7 −5 3 8 6 .

(7.57)

Em seguida, eliminamos o 2 e o 3 da primeira coluna sem trocar linhas de lugar (quanto mais trocarmos linhas, mais riscos corremos de errar o sinal):

2 0 0 801 −7−500 3 8 6 000 7 5 40 2 3 1 11 = 4⋅0 0 0 1 −7 −5 029−9 4⋅0 = 0.

(7.58)

Nota: antes de eliminarmos o 3, já reparamos que o determinante vai ser nulo, graças à propriedade (ii).

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