Divisão de polinômios possui diferentes métodos de resolução. Vamos apresentar três métodos para essa divisão: o método de Descartes (coeficientes a determinar), o método da chave e o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Show
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Divisão de polinômiosAo dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (P > D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que:  Note que esse processo é equivalente a escrever: P (x) → dividendo D (x) → divisor Q (x) → quociente R (x) → resto Das propriedades da potenciação, temos que o grau do quociente é igual à diferença entre os graus do dividendo e divisor. Q = P – D Ainda, quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero, dizemos que P (x) é divisível por D (x). Regras da divisão de polinômios
Para realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com grau de P maior que o grau de D, seguimos os passos: Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x); Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou R < D); Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto. O grau do quociente é 1, pois: Q =P – D Q =3 – 2 Q = 1 Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do passo 3, temos: Comparando os coeficientes dos polinômios, temos: Logo, o polinômio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo a mesma ideia da divisão entre dois números, o chamado algoritmo da divisão. Veja o exemplo a seguir. Novamente vamos considerar os polinômios P (x) = 4x3 – x2 + 2 e D (x) = x2 + 1, e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave. Passo 1 - Completar o polinômio dividendo com coeficientes nulos, caso necessário. P (x) = 4x3 – x2 + 0x + 2 Passo 2 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por todo divisor. Veja: Passo 3 - Dividir o resto do passo 2 pelo quociente e repetir esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do quociente. Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3. Acesse também: Adição, subtração e multiplicação de polinômios
Utilizado para dividir polinômios por binômios. Vamos considerar os polinômios: P (x) = 4x3 + 3 e D (x) = 2x + 1. Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além disso, repete-se o primeiro coeficiente. Veja: Perceba que o menor meio é a raiz do divisor e que o primeiro coeficiente foi divido. Agora, devemos multiplicar a raiz do divisor pelo termo repetido e somá-lo ao próximo, veja: O último número encontrado no dispositivo prático é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio quociente. Devemos dividir esses números pelo primeiro coeficiente do divisor, nesse caso por 2. Assim: Para saber mais sobre esse método de divisão de polinômios, acesse: divisão de polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Exercícios resolvidosQuestão1 (UFMG) O polinômio P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 é divisível por D (x) = 3x2 - 2x. O valor de m é: Solução Como o polinômio P é divisível por D, então podemos aplicar o algoritmo da divisão. Assim, Como foi dado que os polinômios são divisíveis, então o resto é igual a zero. Logo, Por Robson Luiz Como resolver polinômios passo a passo?Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x); Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou R < D); Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
Como e feita a adição e subtração de polinômios?Adição e Subtração de Polinômios. Exemplo 1. Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. ... . Exemplo 2. Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: ... . Subtração.. Exemplo 3. Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. ... . Exemplo 4. Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: ... . Exemplo 5.. Como fazer multiplicação e divisão de polinômios?Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio, devemos utilizar a propriedade distributiva.. (x – 1) . (x2 + 2x – 6). x.x2 + x. 2x – x. 6 + (-1). x2 + (-1). 2x – (-1). ... . x³ +2x² – 6x – x² – 2x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.. x³ + x² – 8x + 6.. Como se faz soma de polinômios?Para somar dois polinômios, devemos somar os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja, os termos semelhantes. Quando faltar termo em algum dos polinômios, devemos completar o coeficiente com zero. 2) Dados A(x) = 7x3 + 2x2 – 5x e B(x) = 2x3 – x2 + 7x e C(x) = -x3 – 2x, determinar A(x) + B(x) + C(x).
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