Equação exponencial com bases diferentes exercícios resolvidos

Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de igualdade. Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases positivas diferentes de 1.

Assim, são exemplos de equações exponenciais:

4x + 2 + 16x = 8

16x + 42x = 32

Resolução de equações exponenciais

Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que aparecem nela. Para isso, é preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos:

• Resolução de equações do primeiro grau;

• Propriedades de potências.

Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é indispensável para sua resolução:

ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1)

O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes dessas potências também são.

Veja um exemplo:

3x = 27

Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos:

3x = 33

Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e escrever:

x = 3

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Exemplos:

1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64.

Solução:

2x + 4 = 64

Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor na equação, teremos:

2x + 4 = 26

Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos:

x + 4 = 6

Para finalizar, basta calcular a equação resultante.

x = 6 – 4

x = 2

2º – Calcule o valor de x na equação:

16x =  1 
         4x

Solução:

Nesse exemplo, usaremos uma propriedade de potência que permite inverter a base que está na forma de fração. Queremos que a incógnita esteja no numerador para facilitar os cálculos, então, sabendo que, ao inverter a base de uma fração, invertemos também o sinal de seu expoente, podemos reescrever a equação dada da seguinte maneira:

16x =  1 
         4x

16x = 4– x

Agora repetimos os procedimentos usados no exemplo anterior para obter:

42x = 4– x

2x = – x

2x + x = 0

3x = 0

x = 0

3º – Calcule o valor de x na equação:

(2/5)3x = 25/4

Solução:

Observe que 25 é o resultado de uma potência de base 5, e 4 é resultado de uma potência de base 2. Além disso, 25 está no numerador e o 4 está no denominador da segunda fração. A primeira fração está invertida nesse sentido.

Para inverter uma fração, basta trocar o sinal de seu expoente. Observe:

(2/5) 3x = 25/4

(5/2)– 3x = 25/4

Reescrevendo a segunda fração na forma de potência e aplicando uma das propriedades de potências, teremos:

(5/2)– 3x = (5/2)2

Observe que as bases são iguais. Agora basta usar a propriedade das equações exponenciais para obter:

– 3x = 2

x = – 2
      3

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

A equação exponencial são os tipos de expressões matemáticas incógnitas (o x da questão). Essa fórmula algébrica foi desenvolvida pelo matemático francês René Descartes, no século XVII, representando um grande avanço científico para a época.

Para resolver equações exponenciais, é preciso, primeiramente, saber como solucionar equações do primeiro grau e entender como funcionam as potências.

O que são equações exponenciais

Antes de resolver qualquer equação de potenciação, lembre-se de saber denominar corretamente cada representação matemática, conforme indica a imagem:

• A base é o número que está embaixo;
• O expoente é o número que está elevado;
• O número de resultado é a potência.

No caso da equação exponencial, a incógnita deverá estar no expoente (número elevado). Desse modo, um exemplo de equação exponencial é:

4 x = 12 ou 3 y + 6 = 27

Como resolver uma equação exponencial – Passo a Passo

Exemplo de equação: 3 x = 27

1 – Observe a equação exponencial e lembre-se da regra número 1: a x = a y, ou seja, x =y. Em outras palavras, se as potências da mesma base são iguais, expoentes também serão;

2 – O número que deverá ir no expoente é aquele que multiplicado a quantidade de vezes do seu valor pela base resultará na potência (resultado). Portanto, nesse caso, o expoente seria 3, porque:

3 x  = 33

3 x = 3 x 3 X 3

3 –  Aqui, as bases são iguais, dessa forma, basta cortá-las para termos o resultado:

x = 3

Equação exponencial com bases diferentes – Como igualar?

Mas, e se as bases não forem iguais? Calma! Vamos repetir o passo a passo com outro exemplo:

Equação: 17 4x+1 = 1

1 – Sempre que tiver o número 1 de algum lado, que número elevar para chegar a número 1? Será o mesmo esquema que qualquer número elevado a 0. Por isso, a equação fica:

17 4x+1 = 170

2 – Conseguimos, agora, igualar as bases – mais uma vez bastará cortá-las:

4x + 1 = 0

4 x = – 1

x = -1/4

Se ainda não entendeu como igualar bases, confira mais exemplos no vídeo, abaixo:

Equação exponencial com fração

Quando há frações no denominador, é preciso pensar que potência pode ser substituída por aquela fração, como no exemplo, abaixo:

Exemplo de equação:

Sabe-se que a fração é a mesma coisa que 3-5. Portanto, podemos reescreve-la utilizando isso:

3x = 3 -5

Mais uma vez conseguimos igualar as bases, ou seja, é hora de cortá-las para encontrar o valor do x:

x = – 5

Equação exponencial com raiz quadrada

O princípio de solução de uma equação com raiz quadrada é o mesmo do que os demais, portanto, é necessário igualar as bases. Veja o exemplo:

Agora, precisamos fatorar a equação, ou seja, igualar as bases substituindo-as por novos números em potência, como:

Para igualar a raiz quadrada, é preciso aplicar as propriedades de radiação com a potenciação. Já aproveitamos, também, para multiplicar a base:

Agora que as bases estão igualadas, é possível cortá-las. Então, a equação fica:

Deve-se passar o 2 para o outro lado e a fração (divisão) torna-se sinal negativo, o que dá: -2 -2, ou seja, -4:

12 x +x = 56 – 2 – 2

12 x + x = 56- 4

Vê-se que x+x é o mesmo que acrescentar uma unidade à base. Por isso, a equação fica:

13 x = 52

Por fim, basta terminar de resolver a equação para chegar ao resultado:

x = 52/13

x = 4

Agora que você já aprendeu como resolver as equações exponenciais, treine bastante e converse com o seu professor para tirar eventuais dúvidas!

Como igualar as bases exponencial?

Como resolver qualquer equação exponencial?