O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces triangulares é igual a

Leia o resumo “O que são poliedros?” e resolva os exercícios abaixo.

1. (UF – PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:

a) 10
b) 20
c) 24
d) 30
e) 32

2. (Fuvest – SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:

a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d)  11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.

3. (PUCAMP – SP) Sobre as sentenças:

I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.

II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.

III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.

4. (U.F. Santa Maria – RS) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:

a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π

5. (U.F. – RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:

a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12

Gabarito

1. B

Solução Passo-a-Passo:

Primeiro Passo: Reconhecer a relação entre o número de arestas e de faces. A = F + 18.

Segundo Passo: Resolver a resolver a relação de Euler e descobrir a quantidade de vértices desse poliedro.

V + F – A = 2 ⇒ V + F – (F + 18) = 2 ⇒ V + F – F – 18 = 2 ⇒ V – 18 = 2 ⇒ V = 2 + 18 ⇒ V = 20.

2. E

Solução Passo-a-Passo:

Primeiro Passo: Saber que como temos 11 faces triangulares, juntando a base, teremos 12 faces no total e que também teremos 12 vértices.

Segundo Passo: Devemos substituir o valor das faces e dos vértices na relação de Euler e descobrir o número de arestas.

V + F – A = 2 ⇒ 12 + 12 – A = 2 ⇒ 24 – A = 2 ⇒A = 24 – 2 ⇒ A = 22.

3. E

Solução Passo-a-Passo:

Primeiro Passo: Saber que todos os poliedros regulares são poliedros de Platão.

Segundo Passo: Voltar no Resumo e checar a tabela dos Poliedros de Platão e perceber que a única alternativa falsa é a I, pois o octaedro regular tem sim 8 fases, mas triangulares e não quadradas.

4. E

Solução Passo-a-Passo:

Primeiro Passo: Sendo p o número de faces pentagonais, reconhecer que A = 3p e F = 12 + p. Como cada aresta é compartilhada por dois polígonos, sabemos que 5p + 3.12 = 2A. Então:

5p + 36 = 2.3p ⇒ 5p + 36 = 6p ⇒ 6p – 5p = 36 ⇒ p = 36.

Segundo Passo: Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por 180°.(n-2) que é o mesmo que π.(n-2). Como estamos falando de 36 pentágonos, teremos a soma total dos ângulos internos igual a:

36. π.(5-2) = 36.π.3 = 108π.

5. B

Solução Passo-a-Passo:

Primeiro Passo: Lembrar que os polígonos convexos possuem uma mesma aresta compartilhada por dois polígonos, portanto, sendo t o número de faces triangulares e q o número de faces quadrangulares, 2A = 3t + 4q. Logo:

2A = 3t + 4q ⇒ 2A = 3.6 + 4. 5 ⇒ 2A = 18 + 20 ⇒ 2A = 38 ⇒ A = 19.

Segundo Passo: Sabendo o número de faces e de arestas, através da relação de Euler, descobrir a quantidade de vértices.

V – A + F = 2 ⇒ V – 19 + 11 = 2 ⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 2 + 8 ⇒ V = 10.

Esta lista de exercícios possui questões resolvidas sobre poliedros, que são casos particulares de sólidos geométricos. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:

A) cubo.

B) dodecaedro.

C) tetraedro.

D) paralelepípedo.

E) icosaedro.

Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

A) 20.

B) 24.

C) 28.

D) 30.

E) 32.

(Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:

A) 33 vértices e 22 arestas.

B) 12 vértices e 11 arestas.

C) 22 vértices e 11 arestas.

D) 11 vértices e 22 arestas.

E) 12 vértices e 22 arestas.

Analise o sólido geométrico a seguir:

Podemos afirmar que:

(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.

(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.

(III) esse sólido geométrico é um poliedro.

Marque a alternativa correta.

A) Somente I é falsa

B) Somente II é falsa

C) Somente III é falsa

D) Somente I e II são falsas

E) Somente I e III são falsas

Considere as afirmações a seguir sobre poliedros.

I → O cilindro é um poliedro, pois suas faces são formadas por círculos.

II → A pirâmide é um poliedro, pois sua base é um polígono e as suas faces laterais são triângulos.

III →  O trapézio é um poliedro, pois ele possui lados formados por polígonos e é fechado.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

(Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

A) tetraedro.

B) pirâmide retangular.

C) tronco de pirâmide retangular.

D) prisma quadrangular reto.

E) prisma triangular reto.

Um poliedro pode ser classificado como convexo ou côncavo, dependendo do seu formato. Veja alguns poliedros.

A) Convexo, convexo e côncavo.

B) Côncavo, convexo e côncavo.

C) Convexo, côncavo e convexo.

D) Convexo, Convexo e côncavo.

E) Côncavo, côncavo e convexo.

Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa que possui o formato igual ao do poliedro a seguir:

Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar que a soma do número de faces, vértices e arestas é igual a:

A) 26.

B) 25.

C) 24.

D) 23.

E) 22.

(Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:

A) 6.

B) 7.

C) 8.

D) 9.

E) 10.

(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:

A) 35.

B) 34.

C) 33.

D) 32.

E) 31.

Considere os sólidos geométricos a seguir.

Podemos afirmar que:

A) somente I é um poliedro.

B) somente II é um poliedro.

C) ambos são poliedros.

D) nenhum deles é um poliedro.

E) ambos são polígonos.

Marque a alternativa que possui somente poliedros.

A) Hexaedro, prisma de base triangular, cone.

B) Esfera, cilindro e tronco de cone.

C) Cubo, pirâmide de base quadrada e prisma.

D) Cubo, cone e cilindro.

E) Tronco da pirâmide, pirâmide e elipse.

respostas

Alternativa D. Os paralelepípedos nem sempre são sólidos de Platão, pois as suas faces não são todas iguais, exceto quando ele é um hexaedro regular. Assim sendo, não podemos afirmar que todo paralelepípedo é um sólido de Platão.

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Alternativa D.

Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 = A + 2

A = 32 – 2

A = 30

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Alternativa E. A pirâmide possui todas as faces laterias no formato de triângulos. Além dessas 11 faces triangulares, há somente mais 1 face, a face da base, que é formada por um polígono de 11 lados e 11 vértices, já que há 11 faces triangulares. Além dos 11 vértices da base, esse polígono possui também o chamado vértice da pirâmide. Assim sendo, esse poliedro possui 12 vértices. Pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

12 + 12 = A + 2

24 = A + 2

A = 24 – 2

A = 22

Portanto, 12 vértices e 22 arestas.

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Alternativa A.

(I) Falsa, pois ele possui um total de 15 arestas.

(II) Verdadeira.

(III) Verdadeira.

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Alternativa B.

I → Falsa, pois o cilindro é um corpo redondo, e não um poliedro.

II → Verdadeira.

III → Falsa, pois o trapézio é um objeto bidimensional, logo ele é um polígono, e não um poliedro.

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Alternativa E.

É possível perceber que os ângulos são todos de 90º. Além disso, esse sólido possui bases triangulares, característica essa do prisma triangular.

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Alternativa D. Um poliedro é côncavo quando, dados dois pontos pertencentes ao poliedro, o segmento que liga esses dois pontos não pertence ao poliedro, caso contrário ele é convexo. O único poliedro que satisfaz a definição para ser côncavo é o III, então:

I → convexo

II → convexo

III → côncavo

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Alternativa A.

Primeiro vamos contar o número de vértices, arestas e faces na imagem.

A = 12

F = 8

V = 6

Agora, basta realizar a soma:

 A + F + V =  12 + 8 + 6 = 26

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Alternativa C.

Calculando o total de arestas, temos que:

4 faces triangulares → 4 · 3

2 faces quadrangulares → 2 · 4

1 face hexagonal → 6 

Sabemos que o lado dos polígonos corresponde às arestas do poliedro. Além disso, a aresta é o encontro de duas faces, logo, para encontrar o número de arestas, vamos calcular o total de arestas e dividir por dois, pois elas pertencem a duas faces simultaneamente.

A = (4 · 3 + 2 ·  4 + 6 ) : 2

A = (12 + 8 + 6) : 2

A = 26 : 2

A = 13

O total de faces é 4 + 2 + 1 = 7.

Pela relação de Euler, temos que

V + F = A + 2

V + 7 = 13 + 2

V +  7 = 15

V = 15 – 7

V = 8

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Alternativa D.

Se ele possui 60 faces triangulares, sabemos que cada face tem 3 arestas; porém, a aresta é o encontro de duas faces, então, para calcular a quantidade de arestas, vamos multiplicar o número de faces por 3 e dividir por 2.

60 · 3 : 2 = 90 arestas.

 Agora, pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

V + 60 = 90 + 2

V = 92 – 60

V = 32

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Alternativa B. Analisando os sólidos geométricos, o I é um cone, que é um corpo redondo e não pode ser classificado como poliedro. Já o sólido geométrico II é um prisma de base pentagonal, que é um poliedro.

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Alternativa C.

O cubo, as pirâmides e os prismas são todos poliedros.

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