Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil
Trigonometria
Triangulo no tri�ngulo ret�ngulo
Cristiano A.Santos
Leonidas Marchesini Jr.
Ulysses Sodr�
Material desta p�gina
- 1 Trigonometria e aplica��es
- 2 Tri�ngulo Ret�ngulo
- 3 Lados de um tri�ngulo ret�ngulo
- 4 Nomenclatura dos catetos
- 5 Propriedades do tri�ngulo ret�ngulo
- 6 A hipotenusa como base de um tri�ngulo ret�ngulo
- 7 Proje��es de segmentos
- 8 Proje��es no tri�ngulo ret�ngulo
- 9 Rela��es M�tricas no tri�ngulo ret�ngulo
- 10 Fun��es trigonom�tricas b�sicas
1 Trigonometria e aplica��es
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no tri�ngulo ret�ngulo, assunto comum no Ensino Fundamental. Tamb�m dispomos de uma p�gina mais aprofundada sobre o assunto tratado no �mbito do Ensino M�dio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplica��es pr�ticas. Desde a antiguidade j� se usava da trigonometria para obter dist�ncias imposs�veis de serem calculadas por m�todos comuns.
Algumas aplica��es da trigonometria s�o:
- Determina��o da altura de um certo pr�dio.
- Os gregos mediram o raio de terra, por um processo muito simples.
- Seria imposs�vel medir a dist�ncia da Terra � Lua, mas com a trigonometria se torna simples.
- Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele � mais f�cil quando ele usa dos recursos trigonom�tricos.
- Um cart�grafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto � poss�vel calcular com o uso da trigonometria do tri�ngulo ret�ngulo.
2 Tri�ngulo Ret�ngulo
� um tri�ngulo que possui um �ngulo reto, isto �, um dos seus �ngulos mede noventa graus, da� o nome tri�ngulo ret�ngulo. Como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � igual a 180 graus, ent�o os outros dois �ngulos medem 90 graus.
Nota: Se a soma de dois �ngulos mede 90 graus, estes �ngulos s�o denominados complementares, assim, podemos dizer que o tri�ngulo ret�ngulo possui dois �ngulos complementares.
Para mais detalhes sobre tri�ngulos, ver Pol�gonos.
3 Lados de um tri�ngulo ret�ngulo
Os lados de um tri�ngulo ret�ngulo recebem nomes especiais. Estes nomes s�o dados de acordo com a posi��o em rela��o ao �ngulo reto. O lado oposto ao �ngulo reto � a hipotenusa. Os lados que formam o �ngulo reto (adjacentes a ele) s�o os catetos.
Cateto | Cathet�s: (perpendicular) |
Hipotenusa | Hypoteinusa:Hyp�(por baixo) + teino(eu estendo) |
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotamos as seguintes nota��es para tri�ngulos:
a | Hipotenusa | A � reto | A | 90 graus |
b | Cateto | B � agudo | B | < 90 graus |
c | Cateto | C � agudo | C | < 90 graus |
Para ver mais detalhes, ver �ngulos.
4 Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi��o em rela��o ao �ngulo sob an�lise. Quando operamos com o �ngulo \(C\), o seu lado oposto, � indicado por \(c\), o cateto oposto ao �ngulo \(C\) e o lado adjacente ao �ngulo \(C\), indicado por \(b\), � o cateto adjacente ao �ngulo \(C\).
\(C\) | \(c\) cateto oposto | \(b\) cateto adjacente |
\(B\) | \(b\) cateto oposto | \(c\) cateto adjacente |
Um dos objetivos da trigonometria � mostrar a utilidade do conceitos matem�ticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geom�tricas e trigonom�tricas no tri�ngulo ret�ngulo. O estudo da trigonometria � extenso e minucioso.
5 Propriedades do tri�ngulo ret�ngulo
- �ngulos: Um tri�ngulo ret�ngulo possui um �ngulo reto e dois �ngulos agudos complementares.
- Lados: Um tri�ngulo ret�ngulo � formado por tr�s lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que s�o os catetos.
- Alturas: A altura de um tri�ngulo � um segmento que tem uma extremidade em um v�rtice e a outra extremidade no lado oposto ao v�rtice, sendo que este segmento � perpendicular ao lado oposto ao v�rtice. Existem 3 alturas no tri�ngulo ret�ngulo, sendo que duas delas s�o os catetos. A outra altura (ver o gr�fico seguinte) � obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado ser� o segmento AD, denotado por h e perpendicular � base.
6 A hipotenusa como base de um tri�ngulo ret�ngulo
Tomando informa��es da mesma figura acima, obtemos:
- o segmento \(AD\), denotado por \(h\), � a altura relativa � hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
- o segmento \(BD\), denotado por \(m\), � a proje��o ortogonal do cateto \(c\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
- o segmento \(DC\), denotado por \(n\), � a proje��o ortogonal do cateto \(b\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
7 Proje��es de segmentos
Introduzimos algumas id�ias b�sicas sobre proje��o. J� mostramos, no in�cio deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um pr�dio, determina uma sombra que � a proje��o obl�qua do pr�dio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta n�o coincidentes � poss�vel obter as proje��es destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situa��es apresentadas, as proje��es dos segmentos \(AB\) s�o indicadas por \(A'B'\) sendo que no �ltimo caso \(A' = B'\) � um ponto.
8 Proje��es no tri�ngulo ret�ngulo
Agora iremos indicar as proje��es dos catetos no tri�ngulo ret�ngulo.
- \(m\) = proje��o de \(c\) sobre a hipotenusa \(a\).
- \(n\) = proje��o de \(b\) sobre a hipotenusa \(a\).
- \(a = m+n\).
- \(h\) = m�dia geom�trica entre \(m\) e \(n\). Para saber mais, clique em M�dia Geom�trica.
9 Rela��es M�tricas no tri�ngulo ret�ngulo
Para extrair algumas propriedades, decompomos o tri�ngulo ret�ngulo \(ABC\) em dois tri�ngulos ret�ngulos menores: \(ACD\) e \(ADB\). Assim, o �ngulo \(A\) � decomposto na soma dos �ngulos \(C�D=B\) e \(D�B=C\).
Observamos que os tri�ngulos ret�ngulos ABC, ADC e ADB s�o semelhantes.
\(ABC\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(ADC\) | \(b\) | \(n\) | \(h\) |
\(ADB\) | \(c\) | \(h\) | \(m\) |
Assim:
\begin{align} \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \\ \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \\ \frac{b}{c} = \frac{n}{h} = \frac{h}{m} \end{align}
logo:
\begin{align} \frac{a}{c}=\frac{c}{m} & \Leftrightarrow c^2=a \cdot m \\ \frac{a}{b}=\frac{b}{n} & \Leftrightarrow b^2=a \cdot n \\ \frac{a}{c}=\frac{b}{h} & \Leftrightarrow a \cdot h=b \cdot c \\ \frac{h}{m}=\frac{n}{h} & \Leftrightarrow h^2=m \cdot n \end{align}
Existem tamb�m outras rela��es do tri�ngulo inicial \(ABC\).
Como \(a=m+n\), somando \(c^2\) com \(b^2\), obtemos:
\[c^2 + b^2 = am + an = a(m+n) = a a = a^2\]
que resulta no Teorema de Pit�goras:
\[a^2 = b^2 + c^2\]
A demonstra��o acima, � uma das v�rias demonstra��es do Teorema de Pit�goras.
10 Fun��es trigonom�tricas b�sicas
As Fun��es trigonom�tricas b�sicas s�o rela��es entre as medidas dos lados do tri�ngulo ret�ngulo e seus �ngulos. As tr�s fun��es b�sicas mais importantes da trigonometria s�o: seno, cosseno e tangente. O �ngulo � indicado pela letra \(x\).
Nota��es:
- \(CO\) indica a medida do cateto oposto a \(x\);
- \(CA\) indica a medida do cateto adjacente a \(x\), e
- \(H\) indica a medida da hipotenusa.
seno | sen(x) | \(\frac{CO}{H}\) |
cosseno | cos(x) | \(\frac{CA}{H}\) |
tangente | tan(x) | \(\frac{CO}{CA}\) |
Tomando um tri�ngulo ret�ngulo ABC, com hipotenusa HIP medindo 1 unidade, ent�o o seno do �ngulo sob an�lise � o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo � o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do �ngulo analisado ser� a raz�o entre seno e cosseno desse �ngulo.
\begin{align} \text{sen}(x) & = \frac{CO}{H} = \frac{CO}{1} = CO \\ \cos(x) & = \frac{CA}{H} = \frac{CA}{1} = CA \\ \text{tan}(x) & = \frac{CO}{CA} = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \end{align}
Rela��o fundamental da Trigonometria: Para todo �ngulo \(x\) (medido em radianos), vale a importante rela��o:
\[\cos^2(x) + \text{sen}^2(x) = 1\]