Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas com um grupo de sete pessoas?

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Quantas grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com um conjunto de 7 pessoas?
Quantas Comissões de 3 participantes podem ser formadas em um grupo de 5 pessoas?
Quantas Comissões de 3 elementos podem ser formadas por um grupo de 8 pessoas?
Quantas comissões de 7 pessoas podem ser formadas com um grupo de 5 pessoas?

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a um mesmo time. Quantos times podem ser for-
mados?
[
No total de times
]
=
[ No de times com
A e sem B
I
]
+
[ No de times com
B e sem A
II
]
+
[ No de times sem
A e sem B
III
]
I C(10,4) = 10!4!·6! = 210
Os times com A e sem B devem ter mais 4 pessoas das 10 restantes do grupo (10 porque
A e B estão fora e 4 porque A é uma das 5 pessoas).
II C(10,4) = 10!4!·6! = 210
Idem ao anterior.
III C(10,5) = 10!5!·5! = 252
Os times que não contêm A e B devem ter 5 pessoas das 10 restantes do grupo.
No total de times = 210 + 210 + 252 = 672
UFMG/ICEx/DCC MD · Ana´lise Combinato´ria 77
Combinação
Exemplo 32 Este problema também pode ser resolvido de outra forma:
[
No total de times
]
=
 No de times com5 pessoas
I
− [ No de times comA e com B
II
]
I C(12,5) = 12!5!·7! = 792
Total de times com 5 pessoas.
II C(10,3) = 10!3!·7! = 120
Os times que contêm A e B devem ter mais 3 pessoas das 10 restantes do grupo.
No total de times = 792− 120 = 672
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Expressões “pelo menos” e “no máximo”
• Seja um conjunto S com 5 elementos.
• O que significa escolher subconjuntos com
– “pelo menos” 3 elementos de S, e
– “no máximo” 2 elementos de S?
• “Pelo menos” 3 elementos de S:
– Significa escolher subconjuntos com 3, 4 ou 5 elementos.
• “No máximo” 2 elementos de S:
– Significa escolher subconjuntos com 0, 1 ou 2 elementos.
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Combinação
Exemplo 33 Suponha que o grupo de 12 pessoas seja formado por 5 homens
e 7 mulheres. Quantos times de 5 pessoas podem ser formados com 3 homens
e 2 mulheres?
[
No total de times
]
=
[ No de times com
3 homens
I
]
×
[ No de times com
2 mulheres
II
]
I C(5,3) = 5!2!·3! = 10
Total de times com 3 homens.
II C(7,2) = 7!2!·5! = 21
Total de times com 2 mulheres.
No total de times = 10× 21 = 210
Note que o princípio da multiplicação deve ser aplicado já que temos possibilidades diferentes
para formação dos times.
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Combinação
Exemplo 34 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantos times de 5 pessoas
podem ser formados com pelo menos um homem?
[
No total de times
]
=
 No de times com5 pessoas
I
− [ No de times comnenhum homem
II
]
I C(12,5) = 12!5!·7! = 792
Total de times com 5 pessoas incluindo homens e mulheres.
II C(7,5) = 7!5!·2! = 21
O total de times com nenhum homem é exatamente a quantidade de times formados ape-
nas por mulheres.
No total de times = 792− 21 = 771
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Combinação
Exemplo 34 Este problema também pode ser resolvido de outra forma:(
5
1
)
·
(
7
4
)
+ {Times com 1 homem e 4 mulheres}(
5
2
)
·
(
7
3
)
+ {Times com 2 homens e 3 mulheres}(
5
3
)
·
(
7
2
)
+ {Times com 3 homens e 2 mulheres}(
5
4
)
·
(
7
1
)
+ {Times com 4 homens e 1 mulher}(
5
5
)
·
(
7
0
)
{Times com 5 homens e nenhuma mulher}
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Combinação
Exemplo 35 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantos times de 5 pessoas
podem ser formados com no máximo um homem?
[
No total de times
]
=
[ No de times com
nenhum homem
I
]
+
[ No de times com
um homem
II
]
I C(7,5) = 7!5!·2! = 21
O total de times com nenhum homem é exatamente a quantidade de times formados ape-
nas por mulheres.
II C(5,1) · C(7,4) = 5!1!·4! · 7!4!·3! = 5 · 35 = 175
O total de times com um homem e quatro mulheres.
No total de times = 21 + 175 = 196
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Combinação
Exemplo 36 Numa escola, há 10 professores de Matemática e 15 de Portu-
guês. Pretende-se formar, com esses professores, uma comissão de sete mem-
bros. Quantas comissões distintas podem ser formadas com, pelo menos, um
professor de Matemática?
[
No total de comissões
]
=
 No de comissões com7 pessoas
I
−
 N
o de comissões com
nenhum professor de
Matemática
II

I C(25,7) = 25!7!·18! = 2 043 500
Total de comissões com 7 pessoas incluindo professores de Matemática e Português.
II C(15,7) = 15!7!·8! = 25 740
O total de comissões com nenhum professor de Matemática é exatamente a quantidade
de comissões formadas apenas por professores de Português.
No total de comissões = 2 043 500− 25 740 = 2 017 760
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Combinação
Exemplo 36 Este problema também pode ser resolvido de outra forma:(
10
1
)
·
(
15
6
)
+ {Comissões com 1 professor de Matemática e 6 professores de Português}(
10
2
)
·
(
15
5
)
+ {Comissões com 2 professores de Matemática e 5 professores de Português}(
10
3
)
·
(
15
4
)
+ {Comissões com 3 professores de Matemática e 4 professores de Português}(
10
4
)
·
(
15
3
)
+ {Comissões com 4 professores de Matemática e 3 professores de Português}(
10
5
)
·
(
15
2
)
+ {Comissões com 5 professores de Matemática e 2 professores de Português}(
10
6
)
·
(
15
1
)
+ {Comissões com 6 professores de Matemática e 1 professor de Português}(
10
7
)
·
(
15
0
)
{Comissões com 7 professores de Matemática e nenhum professor de Português}
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Combinação
Exemplo 37 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantas comissões distintas podem ser
formadas com, pelo menos, dois professores de Matemática e, pelo menos, três professores de
Português?
Ü Por que o raciocínio abaixo está errado? N
o de comissões com
2 professores de Ma-
temática
I
×

No de comissões com
3 professores de Por-
tuguês
II
×

No de comissões com
2 professores dentre
os restantes de Ma-
temática e/ou Portu-
guês
III

I C(10,2) = 10!
2!·8! = 45
No de comissões com 2 professores de Matemática.
II C(15,3) = 15!
3!·12! = 455
No de comissões com 3 professores de Português.
III C(20,2) = 20!
2!·18! = 190
No de comissões com 2 professores dentre os restantes de Matemática e/ou Português.
Note que ficam 20 professores dos 25 do grupo, já que 5 foram escolhidos.
No total de comissões = 45 · 455 · 190 = 3 890 250
UFMG/ICEx/DCC MD · Ana´lise Combinato´ria 86
Combinação
Exemplo 37 (continuação) O raciocínio foi:
I No de comissões com 2 professores de Matemática ×
II No de comissões com 3 professores de Português ×
III No de comissões com 2 professores dentre os restantes de Matemática e/ou Português
Um cenário da proposição anterior pode ser representado pelos seguintes conjuntos:
II
C D E
F G H I J
d e
f g h i j
k l m n oa b c
A B
Professores de Matemática
I
Professores de Matemática e
III
Português
Professores de Português
Neste cenário, temos no conjunto I os elemen-
tos A e B, no conjunto II os elementos a, b e c,
e no conjunto III os elementos restantes.
Note que podemos escolher os professores de
Matemática C e D como os elementos do con-
junto III.
No entanto, existe outro cenário onde teremos
no conjunto I os professores C e D e os pro-
fessores A e B como os outros dois elementos
do conjunto III. Se os elementos do conjunto II
não mudaram então as comissões resultantes
nos dois cenários acima são idênticas e, assim,
estamos contando duas vezes a mesma comis-
são.
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Combinação
Exemplo 37 (continuação) Este problema pode ser resolvido da seguinte
forma:
II
A B C D E
F G H I J
Professores de Matemática
I
a b c d e
f g h i j
k l m n o
Professores de Português
{Comissões com 4 professores de Matemática e
3 professores de Português}(
10
4
)
·
(
15
3
)
+
{Comissões com 3 professores de Matemática e
4 professores de