Sabendo que uma pg tem a1 3 é razão q 2 determine a soma dos 8 primeiros termos dessa progressão

Para o cálculo da razão:

Temos que a3 = 12

Usando a fórmula do termo geral:

Lembre-se que essa raiz admite as duas soluções, -2 ou 2.

Com q=2 a PG fica assim: (4, 8, 16, 32, 64)

Com q=-2 a PG fica assim: (4, -8, 16, -32, 64)

Substituindo os valores na fórmula do termo geral:

Neste ponto, devemos fatorar o 128

Agora, temos uma equação exponencial com as bases iguais.

Assim,

7 = n -1

n = 8

Considerando a lei de formação da função, podemos calcular alguns valores das funções. Assim, temos:

Observamos que esses valores formam uma PG de quociente igual a . Portanto, para encontrar o valor de S podemos utilizar a fórmula da soma finita de uma PG , ou seja:

O número de termos da PG será igual a 101, pois queremos somar os resultados das funções partindo de x=0 até x=100. Substituindo os valores na fórmula, temos:

Alternativa: e) S = 2 - 2-100

Para encontrar o valor, aplicaremos a fórmula da soma finita dos termos de uma PG, ou seja:

Identificamos que a1 = 4 e q = 2. Entretanto, precisamos descobrir o valor de n, ou seja, quantos termos formam essa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral da PG:

an = a1.qn - 1

Agora que já temos todos os valores necessários, vamos calcular a soma:

Alternativa: a) 4092

Vamos aplicar a fórmula do termo geral da PG, para encontrar a expressão do 3º termo, partindo do valor do 4º termo (b4 = 3):

Pela fórmula do termo geral da PA podemos encontrar a expressão de a3. Sendo a3 = a1+(n - 1) r , então temos que a3 = 3 + 2r. Considerando essa expressão e que a3 = b3, encontramos:

O enunciado da questão indica que r = 3q. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:

Podemos simplificar a equação do 2º grau, dividindo por 2. Assim, vamos calcular as raízes da equação 2q2 + q - 1 = 0. Para isso, usaremos a fórmula de Bhaskara:

Iremos desconsiderar o valor de q = -1, pois quando a razão é negativa, a PG é alternante, o que não é o caso.

Agora que conhecemos o valor da razão da PG, podemos também calcular o valor da razão da PA fazendo:

Com os valores das razões, vamos calcular o valor de b2. Assim, temos:

Para encontrar o termo da PA, que é igual a b2, devemos fazer:

Assim, o termo a7 é igual ao termo b2.

Alternativa: b) a7

Sendo os valores de n inteiros e positivos, podemos encontrar os primeiros termos de cada sequência e assim verificar quais afirmações são verdadeiras.

I. an = n2 + 4n + 4 é uma progressão geométrica.
a1 = 12 + 4.1 + 4 = 9
a2 = 22 + 4.2 + 4 = 16
a3 = 32 + 4.3 + 4 = 25
a4 = 42 + 4.4 +4 = 36

Como 16:9 = 1,7 e 25:16 = 1,5 são valores diferentes, então essa sequência não é uma PG. Logo, este item é falso.

II. é uma progressão geométrica.

Sendo 16:2 = 8 e 32:16 = 2 valores diferentes, temos que essa sequência também não é uma PG. Desta forma, este item é falso.

III. cn = an+1 - an é uma progressão aritmética

Note que para encontrar os valores desta sequência, basta diminuir os termos consecutivos da primeira sequência. Assim, temos:

c1 = 16 - 9 = 7
c2 = 25 -16 = 9
c3 = 36 -25 = 11

Como 9 - 7 = 2 e 11 -9 = 2, temos uma PA de razão igual a 2. Portanto, a afirmação é verdadeira.

IV. é uma progressão geométrica

Para encontrar o valor dessa sequência, basta dividir valores consecutivos da segunda sequência. Desta forma:

Dividindo 32 por 8 e 126 por 32 encontramos o mesmo valor. Sendo assim, essa sequência é uma PG de razão igual a 8. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Alternativa: e) III e IV

Para resolver a questão é importante notar que temos a indicação de duas progressões geométricas. Chamaremos a razão da primeira PG de q1 e o da segunda de q2.

Sendo que q2 = 9 e como a1 é positivo e a6 é negativo, a razão q1 deverá ser negativa. Considerando essas duas progressões, temos as seguintes relações:

a6 = a5 . q1
a5 = a1 . q2

Substituindo os valores e igualando os valores de a5 , temos:

Podemos encontrar o valor de a2 fazendo:

Agora que conhecemos o valor de a2 podemos escrever a6 utilizando esse valor para encontrar a razão q1:

Sendo q1 negativo, seu valor será igual a:

Finalmente, vamos achar o valor de a7 fazendo:

Então o valor de a2 multiplicado por a7 será igual a:

Alternativa: a) -27

Aplicando a definição de progressão geométrica temos que b = a.q e c = a.q2, sendo q igual a razão da PG. Sendo assim, a divisão s/a será igual a:

Colocando o a em evidência e simplificando a expressão, temos:

Note que s/a é igual a uma equação do 2º grau, sendo o seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do q2 é positivo (+1).

Desta forma, o valor mínimo da divisão acontecerá no vértice da parábola. Portanto, para encontrar esse valor iremos utilizar a fórmula do y do vértice, ou seja:

Alternativa: c)

Primeiro, devemos transformar para a mesma unidade de medida. Para isso, vamos passar 1 dm para metro. Então, quando foi planta a sua altura era igual a 0,1 m.

Como o valor das alturas formam uma progressão geométrica, podemos escrever que a1 = 0,1, a2 = 0,1 . q e a3 = 0,1 . q2.

Entretanto, sabemos que no final do período a altura da árvore era de 2,5 m, substituindo esse valor encontramos:

Sendo a progressão crescente, então q = 5.

Alternativa: c) 5

Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. Para isso, basta multiplicar as dimensões dadas, ou seja:

VP = 40 . 25 . 20 = 20 000 cm3

Com o número de esferas depositada em cada etapa dobra, temos a PG (1, 2, 4, 8,..., an), sendo a razão desta PG igual a dois e n o número de etapas.

A soma dessa PG será igual ao número total de esferas depositadas. Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula da soma de uma PG finita. Considerando q=2, temos:

Para encontrar o volume total das esferas, basta multiplicar o valor encontrado por 0,5 cm3, que é o volume de uma esfera.

Como queremos descobrir quantas etapas são necessárias para que este volume seja maior que o volume do paralelepípedo, escreveremos a seguinte inequação:

0,5 . (2n - 1) > 20 000
2n - 1 > 40 000
2n > 40 001

Se 2n > 40 001, então também será maior que 40 000. Portanto, podemos escrever e resolver a inequação:

2n > 40 000
2n> 40 . 1000
2n>40 . 210

Como não conseguimos escrever 40 na base 2, vamos substituir pelo 32, que é a potência de base 2 mais próxima.

2n > 32 . 210
2n > 25.210
2n > 2 5 + 10

Como as bases são iguais, a inequação pode ser escrita como:

n > 15

Temos então que o menor número de etapas deverá ser igual a 16, que é o primeiro número inteiro maior que 15.

Alternativa: b) 16

De acordo com as informações da questão, a cada 20 h a massa do radioisótopo se reduz a metade. Desta forma, a redução da massa irá ocorrer seguindo uma PG de razão igual a e a1= 2 g (massa inicial quando t=0).

A massa do radioisótopo, após 100 h, será igual ao sexto termo (a6) dessa PG, pois temos 5 intervalos de 20 h até chegar a 100 h.

Aplicando a fórmula do termo geral, temos:

Alternativa: a) 62,5