Tendo os conjuntos a= 1 2 3 4 5 6 e b= 4 5 6 7 8 9 qual é o resultado da seguinte operação

As operações com conjuntos são essenciais para compreender a relação entre um ou mais conjuntos numéricos. Recorrentes no estudo da álgebra, são elas:

• união, que é a junção de todos os elementos dos conjuntos;

• intersecção, que são os elementos que pertencem simultaneamente a dois conjuntos;

• diferença, que são os elementos que pertencem ao primeiro e não pertencem ao segundo conjunto;

• conjunto complementar, que é um caso particular de diferença entre dois conjuntos.

Leia também: Operações matemáticas básicas

União de conjuntos

Na teoria de conjuntos, chamamos de união entre dois ou mais conjuntos o conjunto formado pela junção de todos os termos. Utilizamos para representar a união o símbolo A U B (A união com B).

No nosso dia a dia, é bastante comum a divisão de elementos em conjuntos. Por exemplo, na biologia, temos a união de vários seres vivos, que são divididos em grupos menores de acordo com as suas características. Podemos dizer também, por exemplo, que o território brasileiro é formado pela união de seus estados.

Exemplo

Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a união de A com B é representada por:

A U B = {1,2,3,5,6,7,8}

É possível também realizar a representação desses conjuntos por meio do diagrama a seguir:

Intersecção de conjuntos

A intersecção de dois ou mais conjuntos é composta pelos elementos que pertencem simultaneamente a todos esses conjuntos. Essa operação também é bastante comum no nosso dia a dia.

Exemplo 1

Seja A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a intersecção de A com B (A∩B) é representada por:

A ∩ B= {4,5}

É possível também realizar a representação da intersecção por meio de diagrama. A intersecção é a região em destaque que fica entre os dois conjuntos.

Exemplo 2

Podemos escrever os conjuntos dos rios que banham o estado de Goiás: G: {Aporé, Araguaia, Claro, Corumbá, dos Bois, Paranã, Paranaíba, Maranhão, São Marcos}. Também podemos escrever o conjunto dos rios que banham o estado de Tocantins: T: {Tocantins, Araguaia, do Sono, das Balsas, Paranã, Manuel Alves}.

A intersecção entre esses conjuntos pode ser representada por:

G∩T {Araguaia}

Definimos como diferença entre dois conjuntos a operação A – B, que tem como resultado os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Exemplo

Seja A: {1,2,3,4,5} e B {4,5,6,7,8}, a diferença entro o conjunto A e o conjunto B é igual a:

A – B = {1,2,3}

Note que a ordem é importante, pois a diferença entre o conjunto B e o conjunto A é igual a:

B – A = {6,7,8}

Essa diferença pode também ser representada por meio do diagrama a seguir:

Conjunto complementar

Tratado como um caso especial de diferença entre dois conjuntos, precisamos definir antes o que é o conjunto universo. Conhecemos como conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos de um espaço amostral a ser definido, como os números de 1 até 20 ou todos os números reais, enfim, cada situação possui um conjunto universo determinado.

O conjunto complementar de A, denotado por Ac, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao universo U e não pertencem ao conjunto A, ou seja, o complementar de um conjunto quando se conhece o conjunto universo U é igual a U – A .

Exemplo

Dado o universo U de todos os números de 1 até 16, ou seja:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}

E seja A = {2,4,6,8,10,12,14,16} o conjunto complementar de A, ou seja:

Ac = {1,5,7,8,10,11,12,13,15}

Leia também: Quatro conteúdos básicos de Matemática para o Enem

Exercícios resolvidos

1) Sabendo que A = { 1,3,5,9,11,12}, B = {0,2,5, 10, 12, 20} e C = {3,4,8,9,12,15,20}, o conjunto formado por A ∩C U B é:

a) {0,2,3,5,9,10,12,20}.

b) {3,9,12}.

c) {3,4,8,9,15,20}.

d) {0,2,3,5,9,10,20}.

Resolução:

Vamos calcular as operações separadamente.

A ∩C = { 3,12}

Então a união de A ∩C com B formará o conjunto:

A ∩CUB = {0,2,3,5,9,10,12,20}

Resposta: alternativa A.

2) Dado o conjunto dos números naturais como universo e seja P o conjunto dos números pares e A o conjunto dos números múltiplos de 3, podemos afirmar que:

I – o conjunto Pc é o conjunto dos números ímpares;

II – a intersecção de P com A é o conjunto dos números múltiplos de 6;

III – o conjunto A é formado somente por números ímpares.

Analisando as afirmativas, marque a alternativa correta.

a) Somente I é verdadeira.

b) Somente II é verdadeira.

c) Somente III é verdadeira.

d) Somente I e II são verdadeiras.

e) Somente II e III são verdadeiras.

Resolução:

I – Verdadeira.

Note que, no conjunto dos números naturais, um número pode ser par ou ímpar se queremos Pc.

Pc= N* - P, ou seja, os naturais sem os pares, logo o complementar dos números pares será os números ímpares.

II – Verdadeira.

A intersecção entre os números pares e os números múltiplos de 3 são os múltiplos de 6. Lembre-se do critério de divisibilidade por 6, que são os números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

III – Falsa.

Existem múltiplos de 3 que são ímpares, como o 6, 12,18, entre outros.

Resposta: alternativa D.

Na Matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos objetos e as operações realizadas com os conjuntos são: união, intersecção e diferença.

Aproveite as 10 questões a seguir para testar seus conhecimentos. Utilize as resoluções comentadas para tirar as suas dúvidas.

Questão 1

Considere os conjuntos

A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

É correto afirmar que:

a) A

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Alternativa correta: b) A B.

a) ERRADA. Há elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Portanto, não podemos dizer que A contém B. A afirmação correta seria B A.

b) CORRETA. Observe que todos os elementos de A também são elementos de B. Portanto, podemos dizer que A está contido em B, A é parte de B ou que A é um subconjunto de B.

c) ERRADA. Não há nenhum elemento de A que não pertence ao conjunto B. Portanto, não podemos dizer que B não contém A.

d) ERRADA. Como A é um subconjunto de B, então a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A: B A = A

Questão 2

Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta.

A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e 4 x 16}

a) 145 A
b) 26 A e B
c) 11 B
d) 12 A e B

Questão 3

Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}?

a) A = {x|x é um número simétrico e 2 b) A = {x|x é um número primo e 1 c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 d) A = {x|x é um número natural menor que 10}

Questão 4

A união dos conjuntos A = {x|x é um número primo e 1

a) A B = {1,2,3,5,7}
b) A B = {1,2,3,5,7}
c) A B = {1,2,3,5,7}
d) A B = {1,2,3,5,7}

Represente os conjuntos A = {- 3, - 1, 0, 1, 6, 7} , B = {- 4, 1, 3, 5, 6, 7} e C = {- 5, - 3, 1, 2, 3, 5} no diagrama de Venn e em seguida determine:

a) A B
b) C B c) C – A

d) B (A C)

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Resposta correta: a) {1, 6, 7}; b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}; c) {-5, 2, 3, 5} e

d) {1, 3, 5, 6, 7}.

Distribuindo os elementos dos conjuntos no diagrama de Venn, temos:

Ao realizar as operações com os conjuntos dados, temos os seguintes resultados:

a) A B = {1, 6, 7}

Representação da intersecção de conjuntos no diagrama de Venn

b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

Representação da união dos conjuntos no diagrama de Venn

c) C – A = {-5, 2, 3, 5}

Representação da diferença entre conjuntos no diagrama de Venn

d) B (A C) = {1, 3, 5, 6, 7}

Questão 6

Observe a área hachurada da figura e marque a alternativa que a representa.

a) C (A B)
b) C – (A B)
c) C (A – B)
d) C (A B)

Questão 7

Em um cursinho pré-vestibular existem 600 alunos matriculados em matérias isoladas. 300 alunos cursam Matemática, 200 alunos frequentam as aulas de Português e 150 alunos não cursam essas disciplinas.

Considerando os alunos matriculados no cursinho (T), alunos cursando matemática (M) e alunos que cursam português (P), determine:

a) o número de alunos de Matemática ou Português
b) o número de alunos de Matemática e Português

Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ). Sobre os conjuntos citados marque a definição que corresponde a cada um deles.

Questão 9

(UNB-Adaptada) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados:

• 55 dos entrevistados não assistem;
• 101 assistem às corridas de Fórmula l;
• 27 assistem às corridas de Fórmula l e de Motovelocidade;

Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade?

a) 32 b) 44 c) 56

d) 28

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Resposta correta: b) 44.

1º passo: determinar o número total de pessoas que assistem às corridas

Para isso, precisamos apenas subtrair o número total de entrevistados dos que declararam não assistir os campeonatos de corrida.

200 - 55 = 145 pessoas

2º passo: calcular o número de pessoas que assistem apenas às corridas de Motovelocidade

74 + 27 + (x – 27) = 145 x + 74 = 145 x = 145 - 74

x = 71

Subtraindo o valor de x da interseção dos dois conjuntos, encontramos o número de entrevistados que assistem apenas às corridas de motovelocidade.

71 - 27 = 44

(UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadores. b) 370 telespectadores. c) 450 telespectadores. d) 470 telespectadores.

e) 500 telespectadores.

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Resposta correta: c) 450 telespectadores.

Existem 450 telespectadores que não acham agradável nenhuma das três novelas.

Questão 11

(FATEC 2019) Entre as pessoas que compareceram à festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração.

Considere:

F: conjunto de pessoas que foram à festa de inauguração. E: conjunto dos amigos de Eduardo.

M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo.

Com base nessas informações assinale a alternativa que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos.

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Resposta correta:

É preciso verificar que o conjunto M (melhores amigos), é um subconjunto do conjunto E (amigos), ou seja, M está contido em E.

Com isto as alternativas A, B e D estão eliminadas. Sobram a C e a E.

Perceba que na alternativa C, o conjunto M (melhores amigos) está totalmente contido em E (total de pessoas na festa). No entanto, o enunciado diz que nem todos os melhores amigos foram a festa. Isto significa que haverá uma intersecção, não uma inclusão.

Deste modo, a alternativa correta é a E.

Questão 12

(Uff) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo.

Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam:

A região hachurada pode ser representada por:

a)

b)

c)

d)

e)

Exercício 13

(FGV) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?

a) 304 b) 162 c) 146 d) 154

e) n.d.a

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Resposta correta: b) 162.

Neste tipo de problema utilizamos diagramas de Venn, começando a preenchê-lo a partir da maior intersecção que no caso é a igual a 8, que estudam nas três faculdades.

O próximo passo é preencher as intersecções secundárias. Como 32 estudam Biologia e Física e, na área de intersecção entre estas faculdades já temos 8, restam 32 - 8 = 24. Seguindo este raciocínio, para química e biologia temos 16 - 8 = 8 e para Física e Química temos 23 - 8 = 15.

Em seguida, preenchemos as áreas individuais.

Física: 80 - (15 + 8 + 24) = 33 Química: 55 - (15 + 8 + 8) = 24

Biologia: 90 - (24 + 8 + 8) = 50

Por fim, para calcular o total de alunos nas três faculdades, somamos todos os números: 33 + 15 + 24 + 24 + 8 + 8 + 50 = 162.

Desse modo, 162 alunos estudam na universidade, que é formada pelas três faculdades.

Saiba mais consultando os textos a seguir: