Calcule o tempo médio que os pilotos gastaram no pit stop

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August 2019 2 2K Report

Matemática em uma corrida de Fórmula 1 foram computados os tempos em segundos que os pilotos gastaram na realidade na realização de um Pit Stop letra A calcule o tempo médio que os Pistoleiros gastaram no pet shop

Podemos obter a média calculando o quociente entre a soma dos produtos de cada frequência pelo ponto médio correspondente e a soma das frequências. Assim:

= 161,80

A classe modal dessa distribuição é 140 ⊢ 160; então, Mo = 150.

Logo, a média mensal de gastos com vestuário das pessoas pesquisadas é R$ 161,80, e a moda é R$ 150,00.

Reflita

É possível localizar no gráfico a média aritmética e a moda dos valores agrupados por classes? Justifique.

Pode-se aproveitar o momento para discutir as duas representações gráficas: histograma e polígono de frequências. A distribuição por classes mostra que a variável é contínua; portanto, podemos localizar a média e a moda nessa distribuição de frequência representada graficamente.

ADILSON SECCO

Dados fictícios.

É importante que os alunos percebam que, em geral, as diferentes linguagens concorrem harmonicamente para mostrar as diferentes facetas de um mesmo conceito.

Quando os dados apresentados estão agrupados em classes, para calcular a mediana devemos primeiro encontrar a classe a que pertence a mediana, chamada de classe mediana.

A classe mediana é aquela que apresenta a frequência acumulada imediatamente maior que o quociente

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Exemplo

Considere a seguinte distribuição de frequências das notas de Matemática de uma turma do Ensino Médio:

Dados fictícios.

Vamos encontrar a nota mediana dessa turma:

A frequência acumulada imediatamente maior que 15 é 17 e corresponde à classe mediana: [4, 6[ Agora, podemos obter o valor da mediana resolvendo a equação:

Portanto, a nota mediana dessa turma é 5,5.

Exercício resolvido

R4. No último vestibular para o curso de Jornalismo de uma faculdade, a prova contava com 98 questões objetivas. Compareceram 1.200 candidatos ao exame, e os resultados encontram ­se na tabela de distribuição de frequências abaixo.

Calcular a média, a moda e a mediana dessa distribuição.

Resolução

Para facilitar os cálculos, vamos complementar a tabela:

Quantidade de pontos	fi	Fi	PMi	fi ⋅ PM i
[0, 20[	320	320	10	3.200
[20, 40[	250	570	30	7.500
[40, 60[	412	982	50	20.600
[60, 80[	126	1.108	70	8.820
[80, 100[	92	1.200	90	8.280
	= 1.200			= 48.400

Pelos dados da tabela, podemos calcular a média:

≃ 40,33

A classe modal é [40, 60[; então, Mo = 50.

Para calcular a mediana, vamos primeiro encontrar a classe mediana. Temos:

= = 600

A frequência acumulada imediatamente superior a 600 é 982 e corresponde à classe [40, 60[, que é a classe mediana. Assim:

Portanto, a média, a moda e a mediana dos resultados desses candidatos são, respectivamente: aproximadamente 40,33; 50; aproximadamente 41,46.

Registre as respostas em seu caderno

9. Em uma corrida de Fórmula 1, foram computados os tempos, em segundo, que os pilotos gastaram na realização de um pit stop.

a) Calcule o tempo médio que os pilotos gastaram no pit stop. 9,2 segundos

b) Determine o tempo mediano de pit stop. ≃ 9,3 segundos

10. Com o intuito de economizar água, foi feito um levantamento com 100 pessoas do condomínio Vila Rica sobre o tempo que gastam para tomar banho. Os resultados, em minuto, estão apresentados na tabela.

a) Calcule o tempo médio que essas pessoas gastam para tomar banho. 11 minutos

b) Quanto tempo a maioria das pessoas gasta para tomar banho? 17,5 minutos

11. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências dos salários, em real, de 30 funcionários da empresa Bacana.

a) Com base nesses dados, encontre a média dos salários dos funcionários. ≃ R$ 2.873,00

b) Qual é a moda dessa distribuição de salários? R$ 1.460,00

c) Construa o histograma referente a esses dados, indicando o valor médio e o valor modal dos salários nessa empresa. Ver resolução no Guia do professor.

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2 Medidas de dispersão

Acompanhe a situação a seguir.

O instituto de meteorologia de certa cidade registrou a temperatura local, em grau Celsius, em alguns momentos no decorrer de dois dias de um mês. Os resultados obtidos foram: 1º dia: 7, 8, 9, 9, 10 e 11

2º dia: 6, 7, 8, 10, 11 e 12

A temperatura média em cada um dos dias foi 9 °C. Podemos, então, perguntar: em qual desses dias a temperatura foi mais estável, ou seja, em qual desses dias a variabilidade de temperatura foi menor?

Recorrer à média não responde à questão, já que, nos dois dias, a temperatura média foi a mesma. Para casos como esse, precisamos de medidas que permitam descrever o comportamento do grupo de valores em torno da média.

As medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo de valores em torno das medidas de tendência central recebem o nome de medidas de dispersão ou de variabilidade.

Então, para obter a resposta à questão sobre a estabilidade de temperatura, vamos estudar algumas medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.

2.1 Desvio médio

Para analisar o grau de dispersão ou de variabilidade de um grupo de dados, podemos utilizar o desvio médio. Para isso, primeiro calculamos os desvios em relação à média, chamados simplesmente de desvios, obtidos pela diferença entre cada valor observado e a média desses valores. Em seguida, obtemos o quociente entre a soma dos valores absolutos dessas diferenças (desvios) e o total dos valores observados.

Desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios. Indicamos o desvio médio por Dm.

Assim, temos:

Dm =

Agora, considerando as temperaturas indicadas na situação anterior, vamos construir duas tabelas.

1º dia ( = 9)
7	7 − 9 = −2	2
8	8 − 9 = −1	1
9	9 − 9 = 0	0
9	9 − 9 = 0	0
10	10 − 9 = 1	1
11	11 − 9 = 2	2
		= 6

2º dia ( = 9)
6	6 − 9 = −3	3
7	7 − 9 = −2	2
8	8 − 9 = −1	1
10	10 − 9 = 1	1
11	11 − 9 = 2	2
12	12 − 9 = 3	3
		Σ∣yi − y∣ = 12

• 1º dia : Dm1 =

•2º dia: Dm2 =

Portanto, houve maior dispersão (ou variabilidade) de temperatura no 2º dia (2°C), ou seja, a temperatura foi mais estável (teve menor variabilidade) no 1º dia.

Reflita

Calcule a soma dos desvios: (x1 −

Pode-se concluir que a soma dos desvios é nula.

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2.2 Variância e desvio padrão

Outras medidas de dispersão que podemos empregar para identificar o grau de dispersão ou de variabilidade de um conjunto de dados são a variância e o desvio padrão.

Variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios. Indicamos a variância por Var.

Assim, temos:

Var =

Observe que, ao calcular a variância, trabalhamos com os quadrados dos desvios, o que pode gerar uma incompatibilidade em relação às unidades dos valores da variável considerada.

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Ícone de atividade em grupo

Pesquisa e ação
Diferentes atividades práticas de realização em grupo relacionadas com o tema abordado no capítulo, envolvendo a pesquisa e a elaboração de um produto final, que será compartilhado com a turma ou com a escola.

Compreensão de texto
Textos variados, extraídos de várias mídias, e questões que exploram vários níveis de interpretação e compreensão são recursos que o livro oferece para o desenvolvimento da competência leitora. Nessa seção, os alunos encontram mais uma oportunidade de desenvolver uma atividade em grupo.

Sugestões de leitura

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Capítulo 1 Matemática financeira

Exercícios complementares 22

Capítulo 2 Probabilidade

Exercícios complementares 43

Capítulo 3 Análise de dados

Exercícios complementares 71

Capítulo 4 Medidas estatísticas

Exercícios complementares 94

Capítulo 5 Conceitos básicos e a reta

3. Posição relativa entre duas retas no plano 119

Página 7

Exercícios complementares 132

Capítulo 6 Circunferência

Exercícios complementares 149

Capítulo 7 Cônicas

Exercícios complementares 167

Capítulo 8 Números complexos

Exercícios complementares 188

Capítulo 9 Polinômios e equações polinomiais

Exercícios complementares 204

Sugestões de leitura 207

Página 8

Se julgar necessário, explicar aos alunos que a população economicamente ativa é composta de pessoas de 10 a 65 anos de idade que foram classificadas como ocupadas ou desocupadas na semana de referência da pesquisa.

Como são cobrados os impostos no Brasil

Há mais de 90 tributos em vigor no Brasil, entre impostos, taxas e contribuições. Em 2015, o país ultrapassou pela primeira vez os R$ 2 trilhões em arrecadação tributária. Segundo um levantamento anual do Instituto Brasileiro de Planejamento e Tributação (IBPT), 41,37% de toda a renda da população economicamente ativa foi usada para pagar tributos naquele ano. O país aplica regras específicas para o pagamento de imposto de renda e imposto sobre o patrimônio (como o IPTU e o IPVA). Já o imposto sobre consumo é o que mais pesa no bolso. Uma das razões é que nem todos os consumidores sabem que parte do valor pago na compra de um produto é tributo.

Para que servem os tributos

No Brasil, existem três tipos de tributos:

Impostos, cuja arrecadação serve para financiar serviços públicos, embora não exista uma destinação específica.

Taxas, que são cobradas para custear serviços específicos, como coleta de lixo.

Contribuições, que também têm destinação específica, como o PIS – um fundo para trabalhadores de baixa renda.

ILUSTRAÇÕES: MAISA SHIGEMATSU

Imposto sobre consumo

A taxa de tributos embutidos no valor de cada produto varia. Os itens considerados supérfluos, como perfumes importados, ou prejudiciais à saúde, como bebidas alcoólicas e cigarros, são mais caros, pois, no preço, estão incluídos impostos e contribuições. Todos os produtos devem trazer na nota fiscal a porcentagem de impostos embutidos no preço ou o valor aproximado dos tributos.

Evolução dos TRIBUTOS Observe no gráfico abaixo, a evolução dos tributos de 2005 a 2015.

ILUSTRAÇÃO: P. MANZIERI

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O que pagamos

Em 2015, a cada R$ 100,00 que o brasileiro recebeu trabalhando, mais de R$ 41,00 foram gastos com impostos. Mais da metade dessa parcela (ou 23,28% do total de rendimentos) foi destinada a impostos sobre o consumo.

FOTOS: BANCO CENTRAL DO BRASIL

ILUSTRAÇÃO: P. MANZIERI

Fontes: Ministério da Fazenda. Carga tributária no Brasil – 2014. Disponível em:

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1. Karl Landsteiner e seus colaboradores propuseram o sistema de classificação ABO do sangue humano. Explique esse sistema. Ver resolução no Guia do professor.

2. Monte no caderno uma tabela como a do exemplo abaixo, relacionando as doações de sangue possíveis. Ver resolução no Guia do professor.

4. Faça uma pesquisa sobre a aplicação da probabilidade à Genética (no sistema ABO), monte uma apresentação e resolva o problema a seguir. Apresente a solução para os demais colegas de classe. Ver resolução no Guia do professor.

• O esquema a seguir mostra os tipos sanguíneos de uma família. Com base nessas informações, calcule a probabilidade de o descendente X ter sangue tipo O.

ADILSON SECCO

Capítulo 3 Análise de dados

Uso da internet no Brasil

A pesquisa TIC Domicílios é realizada anualmente com o objetivo de mapear o acesso à infraestrutura de TIC (Tecnologias de Informação e Comunicação) nos domicílios urbanos e rurais do país e as formas de uso dessas tecnologias. Segundo resultados da pesquisa TIC Domicílios 2014, o número de usuários de internet cresceu constantemente ao longo dos últimos 10 anos. Acompanhe alguns resultados dessa pesquisa.

Apesar do crescente número de acessos, muitos brasileiros nunca usaram a internet.

Fonte: Pesquisa sobre o uso das tecnologias da informação e comunicação nos domicílios brasileiros: TIC Domicílios 2014. São Paulo: Comitê Gestor da Internet no Brasil, 2015.

ILUSTRAÇÕES: MÁRIO KANNO

Página 49

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Disponível em: . Acesso em: 24 dez. 2015.

Com base nas informações desses gráficos, é correto afirmar que: alternativa c

a) o número de inscritos no Enem em 2014 aumentou 425% em relação ao número de inscritos em 1998.

b) menos de dos inscritos em 2014 eram pagantes.

c) em 2014, havia aproximadamente 54 mil indígenas inscritos no Enem.

d) mais de 1,5 milhão de inscritos eram isentos de escola pública em 2014.

e) desde sua criação, o número de inscritos no Enem vem crescendo todos os anos.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Página 74

Exercícios complementares

11. A cada quatro anos, atletas de centenas de países e de diversas modalidades disputam as Olimpíadas. O gráfico a seguir mostra o quadro de medalhas das Olimpíadas de 2012, considerando apenas os seis primeiros colocados.

ADILSON SECCO

Dados obtidos em:

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A Caatinga tem cerca de 20 milhões de habitantes, mais de um terço deles no campo, com centenas de comunidades tradicionais, como indígenas, quilombolas, vaqueiros e camponeses. Essas populações procuram se adaptar e conviver com o semiárido, valorizando os saberes tradicionais e empregando novas tecnologias locais.

ROGÉRIO REIS/ PULSAR IMAGENS

Na região do semiárido, pode-se armazenar água por meio de captação das chuvas e de cisternas. Sertão do Pajeú, PE, 2013.

Página 99

Registre as respostas em seu caderno

Ver resoluções no Guia do professor.

1. O infográfico traz informações sobre um dos biomas brasileiros. Qual é esse bioma? Quais características desse bioma foram apresentadas?

2. A vegetação da Caatinga corre sério risco de desaparecer. Por quê?

3. Uma das estratégias de convivência com o semiárido é o uso de cisternas para captar a água da chuva, garantindo o abastecimento durante a seca. Pesquise outras estratégias usadas pelos habitantes da Caatinga para driblar o problema da seca.

4. Os gráficos apresentados referem-se a duas regiões: Serra das Confusões (PI) e Petrolina (PE). Com relação aos valores da precipitação contidos nos dois gráficos, identifique qual das regiões apresenta maior grau de dispersão (ou variabilidade).

5. Reúna-se com quatro colegas e elaborem uma apresentação sobre outro bioma brasileiro. Apresentem para o professor e para o restante da turma o bioma pesquisado e suas características, comparando-o com a Caatinga.

OTÁVIO NOGUEIRA/CC BY 2.0/FLICKR

ANDRÉ DIB/PULSAR IMAGENS

NILTON DE BRITO CAVALCANTI

FABIO COLOMBINI ILUSTRAÇÕES: EDER SILVESTRE

Fontes: INSTITUTO NACIONAL DE METEOROLOGIA. Banco de dados meteorológicos para ensino e pesquisa. Disponível em: . INSTITUTO SOCIOAMBIENTAL. Almanaque Brasil Socioambiental 2008. São Paulo, 2007. MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE (MMA). Monitoramento do bioma caatinga 2002 a 2008. Brasília, 2010. MMA. Caatinga. Disponível em: . Acessos em: 7 jan. 2016.

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Sendo x ∈ ℝ e k ∈ ℝ+ temos:

∣x∣ = k ⇒ x = k ou x = −k

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Exercícios propostos

Registre as respostas em seu caderno

55. Determine a medida do ângulo agudo formado pelas retas r, de equação x − 3 = 0, e s, de equação x − y

+2= 0. 60°

56. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e forma um ângulo de 45° com a reta 3x − y + 2 = 0. y = x + ou y = −2x + 4

57. Calcule o valor de k para que as retas dadas por x + 3y − 13 = 0 e k x + y = 0 formem um ângulo de 45°. 2 ou −

58. Observe o gráfico e, com o auxílio de uma calculadora científica, calcule a medida do ângulo θ. ≃ 25

4 Distância entre ponto e reta

Como já vimos, a distância de um ponto P a uma reta r é a distância entre P e sua projeção P’ sobre r.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Exemplo

Para calcular a distância entre o ponto P (2, 7) e a reta r, de equação 2x + y + 1 = 0, precisamos inicialmente encontrar a equação da reta s que passa por P e é perpendicular a r. As retas r e s interceptam-se no ponto P’(x, y), que é a projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r. Então, para resolver esse problema basta calcular a distância entre P e P ’.

reta r : 2x + y + 1 = 0 ⇒ y = −2x− 1 ⇒ mr = −2

Para r ⊥ s, temos: mr ⋅ ms =−1⇒ (−2) ⋅ ms =−1 ⇒ ms =

Portanto, a equação da reta s é:

y −yP =ms ( x −xP) ⇒ y − 7 = (x − 2) ⇒ x − 2y + 12 = 0.

Como {P’} = r ∩ s, devemos resolver o sistema formado pelas equações das retas r e s e obter as coordenadas de P’.

x = −

Portanto, P’

Como dP,r = dP,P’, temos:

dP,r =

Logo, a distância entre o ponto P e a reta r é

Observação

De (I), obtemos y = −2x − 1 (III)

Substituindo (III) em (II), obtemos: x − 2(−2x − 1) + 12 = 0

x =−

Substituindo x =− em (I), obtemos:

2 + y + 1 = 0

y =

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◆ Fórmula da distância entre um ponto e uma reta

Ao aplicar o processo usado no exemplo anterior para um ponto P(xP, yP) e uma reta r de equação geral ax + by + c = 0, obtemos a fórmula empregada para calcular a distância dP,r entre o ponto P e a reta r :

dP,r =

Exemplo

Aplicando a fórmula ao exemplo anterior, tendo o ponto P (2, 7) e a reta r de equação 2x + y + 1 = 0, obtemos:

dP,r =

Exercícios resolvidos

R27. Dado o triângulo de vértices A (2, 4), B (−2, 2) e C (3, 0), calcular a medida de sua altura relativa ao lado .

 ADILSON SECCO

Resolução

Vamos determinar a equação da reta suporte do lado

=

A medida procurada é a distância entre o ponto A (2, 4) e a reta :

Logo, a medida da altura relativa ao lado é

R28. Calcular a distância entre as retas paralelas r e s, de equações 2x − y + 4 = 0 e 2x − y − 7 = 0, respectivamente.

 Resolução

Sabemos que a distância entre duas retas paralelas é igual à distância de um ponto P qualquer de uma delas à outra reta.

Então, vamos calcular as coordenadas de um ponto P qualquer da reta r.

Para x = 0, temos: 2 ⋅ 0 − y + 4 = 0 ⇒ y = 4

Portanto, P(0, 4) é um ponto de r.

Agora, basta calcular a distância entre P e a reta s.

dP,s =

Logo, a distância entre as duas retas é

Registre as respostas em seu caderno

59. Calcule a distância entre o ponto A (1, 2) e a reta r, de equação 2x + y + 3 = 0.

60. Obtenha a distância da origem do plano cartesiano à reta de equação 3x + 4y − 4 = 0.

61. Um triângulo tem vértices A (2, 0), B (3, 1) e C (0, 2). Calcule a medida da altura do triângulo relativa ao lado .

62. Obtenha a distância entre as retas paralelas

2x − 3y + 5 = 0 e 4x − 6y − 1 = 0.

63. Um quadrado tem um vértice em A e um lado na reta r.

a) Identifique o ponto A e determine a equação geral da reta r. A(−1, 2); x − y − 2 = 0

b) Calcule a medida ℓ do lado do quadrado.

c) Determine a medida da diagonal do quadrado. 5 unidades de comprimento

d) Calcule a área e o perímetro do quadrado. área: unidades de área; perímetro: 10

64. Dadas as retas r : 2x + 5y − 4 = 0 e s: 5x − 2y + 8 = 0, encontre as equações das retas cujos pontos são equidistantes de r e s. Siga estes passos: Ver resolução no Guia do professor.

• Considere um ponto genérico P (x, y).

• Use a definição dP,r = dP,s.

• Organize a equação eliminando os módulos.

• Verifique se as equações que você encontrou representam retas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas r e s.

65. (FGV) No plano cartesiano, seja P o ponto situado no 1º quadrante e pertencente à reta de equação y = 3x. Sabendo que a distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3, podemos afirmar que a soma das coordenadas de P vale: alternativa d

a) 5,6

b) 5,2

c) 4,8

d) 4,0

e) 4,4

5 Inequações do 1º grau com duas incógnitas

Já vimos como resolver inequações com uma incógnita. Agora, vamos estudar inequações do 1º grau com duas incógnitas.

Exemplos

• 2x − 7y < 0

• x + y ≥ 0

• 8y −

• x + y ≤ 0

Uma inequação do 1º grau com duas incógnitas admite infinitas soluções, que podem ser representadas graficamente, conforme veremos nos exercícios resolvidos a seguir.

Exercícios resolvidos

R29. Representar graficamente a inequação x + 2y − 6 ≤ 0.

 Resolução

A reta de equação x + 2y − 6 = 0 divide o plano cartesiano em dois semiplanos. Para verificar qual dos semiplanos representa os pontos tais que x + 2y − 6 ≤ 0, vamos testar um ponto auxiliar qualquer, por exemplo, P (0, 0), substituindo suas coordenadas na desigualdade.

Assim:

Como a sentença é verdadeira, P está no semiplano procurado; logo, podemos desenhar o semiplano que representa x + 2y − 6 ≤ 0.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

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Se duas circunferências são tangentes, é possível traçar um triângulo cujos vértices sejam o ponto de tangência e os centros das circunferências?

Espera-se que os alunos percebam que não é possível, pois os pontos são colineares.

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b) Vamos determinar a equação da circunferência de centro C1(−1, 0) e que tangencia exteriormente a circunferência de equação (x + 3)2 + y2 = 1. As circunferências são tangentes exteriores; então: d = r1 + r2 Vamos calcular a distância d entre os centros das circunferências:

Como o raio da circunferência dada é 1, temos: 2 = r1 + 1 ⇒ r1 = 1

Portanto, a equação da circunferência é: (x + 1)2 + y2 = 1

Observação

Da equação (x + 3)2 + y2 = 1, temos C2 (−3, 0) e r2 = 1.

Registre as respostas em seu caderno

30. Em cada caso, determine mentalmente a posição relativa de duas circunferências de raios r1 e r2, sabendo que d é a distância entre seus centros.

a) r1 = 4 cm; r2 = 2 cm; d = 2 cm

tangentes interiores

b) r1 = 4 cm; r2 = 2 cm; d = 5 cm

secantes

c) r1 = 6 cm; r2 = 4 cm; d = 10 cm

tangentes exteriores

d) r1 = 6 cm; r2 = 2 cm; d = 1 cm

disjuntas interiores

e) r1 = 5 cm; r2 = 3 cm; d = 0 cm

disjuntas interiores e concêntricas

f) r1 = 6 cm; r2 = 4 cm; d = 12 cm

disjuntas exteriores

31. Observe o sistema de engrenagens.

• Em que sentido gira a engrenagem superior, de cor prata?

anti-horário

32. Em cada caso, determine a posição relativa das circunferências.

a) (x + 1)2 + (y − 1)2 = 2 e (x − 2)2 + (y + 1)2 = 5

secantes

b) x2 + y2 = 25 e x2 + y2 = 16

disjuntas interiores e concêntricas

33. Desenhe duas circunferências que tenham apenas um ponto de intersecção e uma reta que seja tangente a uma e secante à outra.

Ver resoluções no Guia do professor.

34. Obtenha, se existirem, as coordenadas dos pontos comuns às circunferências de equações x2 +y2 − 4x = 0 e x2 + y2 − 16x = 48.

Não há pontos comuns.

35. Escreva o sistema de inequações que descreve o gráfico abaixo.

36. Resolva graficamente os sistemas.

Ver resolução no Guia do professor.

a)

b)

37. Qual é a equação da circunferência cujo centro é a origem, que é tangente à reta de equação 4x + 3y = 20? Calcule a área delimitada por essa circunferência.

x2 + y2 = 16; A = 16π unidades de área

38. (Unifesp) Na figura A aparecem as circunferências α, de equação x2 + y2 = 1, e β, de equação x2 + y2 = 9. Sabendo-se que as circunferências tangentes simultaneamente a α e a β são como λ1 (na figura B) ou λ2 (na figura C):

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

o lugar geométrico dos centros dessas circunferências é dado:

alternativa c

a) pelas circunferências de equações (x − 1)2 + y2 = 4 e (x − 2)2 + y2 = 1.

b) pela elipse de equação .

c) pelas circunferências de equações x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

d) pela circunferência de equação x2 + y2 = 4.

e) pelas retas de equações y = x e y = −x.

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Exercícios complementares

Registre as respostas em seu caderno

Aplicação

1. Determine a equação da circunferência que tem diâmetro definido pelos pontos A (−2, 1) e B (0, −3).

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

2. O yin-yang representa, na cultura oriental, a unidade formada pelo equilíbrio de duas forças de igual intensidade, porém opostas.

Observe que a circunferência maior tem centro C e raio r e que as duas circunferências menores se tangenciam em C. Agora, responda às perguntas a seguir.

a) A área do círculo maior é quantas vezes a área da parte colorida?

2 vezes

b) O comprimento da circunferência maior é igual ao perímetro da parte colorida? Como você explicaria isso?

Ver resolução no Guia do professor.

c) Qual é a área do círculo maior se o raio da circunferência menor é 3?

36π unidades de área

3. Dada a circunferência λ: x2 + y2 + 4x + 10y + 28 = 0, determine o ponto de λ de abscissa mínima.

(−3, −5)

4. Imagine a construção do símbolo olímpico conforme a figura:

λ1: (x + 14)2 + y2 = 25

λ2: (x + )²+ (y + 4)2 = 25

λ3: x² + y² = 25

λ4: (x − )² + (y + 4)² = 25

λ5: (x − 14)² + y² = 25

A circunferência λ3 com centro na origem tem raio igual a 5 cm. As circunferências λ1 e λ5 têm seus centros a 14 cm do centro de λ3. Os centros de λ2 e λ4 estão a cm do centro de λ3 e têm ordenada igual a −4.

5. Determine a, b e c de modo que a equação 36x2 + ay2 + bxy + 24x − 12y + c = 0 represente uma circunferência.

a = 36, b = 0 e c < 5

6. Qual é o ponto da circunferência (x − 4)2 + (y + 3)2 = 1 que tem ordenada máxima?

(4, −2)

7. (Enem) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

BIEMBENGUT, M. S. Modelação matemática como método de ensino-aprendizagem de Matemática em cursos de 1º e 2º graus, 1990. Dissertação de Mestrado. IGCE/Unesp, Rio Claro, 1990 (adaptado).

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?

alternativa a

a) 1

Aprofundamento

8. Uma circunferência λ passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Qual é a distância do centro de λ à origem?

unidades de comprimento

9. A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta em que A(0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y2 − 2x − 4y = 20. Determine a equação de s.

x + 2y = 6

10. (Fuvest-SP) A figura representa duas circunferências de raio R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

a) as retas t1 e t2 são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) a reta t2 é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC em função dos raios R e r.

11. Resolva graficamente o sistema:

Ver resolução no Guia do professor.

Desafio

(−3, 5), (5, −1) e (5, 5)

Página 150

Autoavaliação

Registre as respostas em seu caderno

1. As representações gráficas das equações x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 0 são, respectivamente:

alternativa d

a) uma circunferência e dois pontos.

2. O centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 − 6x = 0 são:

alternativa a

a) C (3, 0) e r = 3

3. Para que a equação mx2 + 4y2 + 8x + 12y + 10 = 0 represente uma circunferência, devemos ter:

alternativa b

a) m = 8

4. A reta s tangencia a circunferência λ no ponto A; portanto, A ______ a λ.

alternativa b

a) é exterior

5. Observando a figura, podemos dizer que a reta ______ à circunferência.

alternativa b

a) t é tangente

6. As circunferências λ1 e λ2 são distintas, estão no mesmo plano e têm dois pontos em comum; portanto, elas são:

alternativa a

a) secantes.

7. Observe a figura abaixo.

Ela é a representação gráfica de:

alternativa c

a) (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 3

8. A figura ao lado é a representação gráfica do sistema de inequações dado por:

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Page 8

Resolução

Observações

• Elipse Se a = 5 e b = 3, temos:

c2 = 25 − 9 ⇒ c = 4

• Hipérbole Se a = 4 e b = 3, temos:

c2 = 16 + 9 ⇒ c = 5

Exercícios propostos

Registre as respostas em seu caderno

17. Obtenha a equação reduzida de cada hipérbole.

− =1

− =1

18. Determine a equação de cada hipérbole, dados:

a) os focos F1(

b) o comprimento do eixo imaginário igual a 12 e excentricidade igual a

19. Determine os focos, os vértices e a excentricidade das hipérboles:

a) − = 1 a) F1(−4, 0); F2(4, 0);

b)

c) 9x2 − y2 = 81 c)

d) 9y2 − 16x2 = 144 d) F1(0, −5); F2(0, 5); A1(0, −4); A2(0, 4); e =

20. Esboce os gráficos das hipérboles de equação: Ver resolução no Guia do professor.

a) 16x2 − 9y2 = 144

b) − = −1

21. A figura abaixo representa uma hipérbole e uma elipse com focos coincidentes. A elipse tem eixo maior de comprimento 5 e excentricidade .

A hipérbole é equilátera, isto é, os comprimentos dos eixos real e imaginário são iguais. Determine a equação de ambas.

elipse:

hipérbole: − = 1

22. Determine as assíntotas das hipérboles abaixo.

a) − = −1 a) 2x − 3y =0;2x + 3y =0

b) 5y2 − 2x2 = 1 b)

23. Dada a hipérbole da figura, demonstre a propriedade:

• A1F1 = A 2F2 Ver resolução no Guia do professor.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Página 167

Exercícios complementares

Registre as respostas em seu caderno

Aplicação

1. Determine a equação da elipse em que os focos são F1(0, 3) e F2(0, −3) e a soma das distâncias PF1 e PF2 é igual a 10, sendo P um ponto da elipse.

+ = 1

2. Considere a elipse de equação + = 1

Calcule a área dos triângulos:

a) A1B1A2 6 unidades de área

b) A1OB2 3 unidades de área

c) F1F2B1 2 unidades de área

3. Construa em uma folha de papel milimetrado uma elipse de centro (0, 0) em que um dos focos é o ponto (4, 0) e em que o ponto

Page 9

z = 6 ⋅

12. Considere os complexos: z = 2 − 2i e w = − i

Calcule zw na forma trigonométrica.

2 ⋅

13. Considere z =2(1 − i).

a) Determine ∣z∣ e arg(z). 4 e

b) Localize z no plano complexo. Qual é a imagem de z? Ver resolução no Guia do professor.

c) Expresse z e na forma trigonométrica.

c) z = 4 ⋅

= 4 ⋅

d) Calcule (z − )3. 128i

Aprofundamento

14. (Fatec-SP) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função f, de

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

O módulo do número complexo z = b2 − bi é:

a)

b) 2 alternativa b

c) 2

d) 3

e) ⋅

15. Calcule 1 + z + z2 + z3 + ... + z15 para z = + i. zero

16. (Vunesp) Considere os números complexos z = 2 − i e w = −3 − i, sendo i a unidade imaginária.

a) Determine z ⋅ w e ∣w − z∣. −7 + i e 5

b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b ∈ ℝ, com b ≥ 0, de modo que os números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no plano complexo, cuja área é 20. Ver resolução no Guia do professor.

17. Determine z ∈ ℂ tal que i ⋅ z2 = − .

17. z = + i ou z =− + i ou z =−i ou z =0

18. Determine z e w ∈ ℂ tal que:

19. Admita que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio de ponteiros. Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, determine sobre que número complexo ele estará às 11 h 55 min.

20. Se o vetor que representa z = 2 + i sofrer uma rotação de 90° no sentido horário, vai se tornar a representação do número complexo w. Determine w. w = 1 − 2i

19. z = 2 ⋅

Página 189

Registre as respostas em seu caderno

1. Em sua origem histórica, os números complexos surgiram para ser possível a existência da raiz quadrada de números _____. alternativa c

a) fracionários

b) reais

c) negativos

d) primos

2. Podemos afirmar que o conjunto dos números reais _____ conjunto dos complexos. Assim, _____ ℂ, _____ ℝ, −8i ∉ _____ e −8i ∈ _____. alternativa d

a) está contido no; ∈; ∉; ℝ; ℂ

b) contém o; ∈; ∉; ℂ; ℝ

c) contém o; ∈; ∈; ℝ; ℂ

d) está contido no; ∈; ∈; ℝ; ℂ

3. As soluções de x2 + 64 = 0 são _____ em ℝ e _____ em _____. alternativa c

a) 32 e −32; inexistentes; ℝ

b) inexistentes; 32 e −32; ℝ

c) inexistentes; 8i e −8i; ℂ

d) 8 e −8; 8i e −8i; ℂ

4. Dados z = 20 − 17i e w = 9 + 20i, temos que _____ é o resultado de z + w e _____ é o resultado de z − w. alternativa d

a) 29 − 3i; 11 + 37i

b) 29 − 3i; 11 − 37i

c) 29 + 3i; 11 + 37i

d) 29 + 3i; 11 − 37i

5. Dados z = 2 − 3i e w = 1 + 2i, o resultado de é _____. alternativa b

a)

b)

c)

d)

6. O _____ de um número complexo z é a distância da _____ do plano complexo à imagem de z nesse

plano. alternativa a

a) módulo; origem

b) argumento; parte real

c) argumento; origem

d) módulo; raiz

7. Veja a representação de um número complexo no plano de Argand-Gauss.

ADILSON SECCO

Podemos escrever esse número na forma algébrica z = _____ e seu argumento é _____. alternativa c

a) −1+ i;

b) 1 + i; π

c) −1 + i;

d) −1+ i; − π

8. A potência 4 tem módulo _____ e argumento _____. alternativa b

a) 3;

b) 81; π

c) 81;

d) 27; π

9. O produto (1 + i) ⋅ i representa geometricamente uma _____ em relação a (1 + i) de _____ graus. alternativa c

a) rotação; 45

b) translação; 90

c) rotação; 90

d) translação; 45

Retomada de conceitos

Capítulo 9 Polinômios e equações polinomiais

Page 10

39.

a) 65 °H

b) 60 °C ou 60 °H

40.

a) y = x +

b) y =− x +

41.

a) m = ; n =

b) m = ; n =

42. y = x +

43. y = 1,3x; α ≃ 53°

44. r: y =

45.

a) perpendiculares

b) concorrentes

c) paralelas distintas

d) paralelas coincidentes

46.

b) paralelas distintas

c) Como mr = ms = , as retas são paralelas. Como nr ≠ ns, as retas são paralelas distintas.

47. 5x − y = 0

48. x + 3y = 0

49. x + 5y = 0

50. k = 3

51. y = 2x + 3

52.

a) −1

b) (2, −1)

c) x + 2y − 1 = 0

53.

a) mediatriz do lado :

y = −x − 2

mediatriz do lado : y = x

mediatriz do lado : y = 3x + 4

b) C

54.

a) A (1, 1), B (5, −1), C (6, 1) e D (2, 3)

b) y − 1 = 0; 4x + 3y − 17 = 0

c) 10 unidades de área

d) 6 unidades de comprimento

55. 60°

56. y = ou y = 2x +4

57. 2 ou −

58. ≃ 25°

59.

60.

61.

62. 11

63.

a) A (−1, 2); x − y − 2 = 0

b) unidades de comprimento

c) 5 unidades de comprimento

d) área: unidades de área;

perímetro: 10 unidades de comprimento

64. t: 3x − 7y + 12 = 0 e u: 7x + 3y + 4 = 0

65. alternativa d

67. 3x + 2y − 6 ≤ 0

69. k >−

70.

a) Os coeficientes de x e y na equação do custo representam, respectivamente, o custo unitário das calças A e B.

b) Dois pares possíveis para x e y são: (0, 60) e (140, 0).

c) 84 calças

Página 216

d) Não, pois x e y representam o número de calças dos tipos A e B, respectivamente, ou seja, x e y são números naturais.

e) x = 210 e y = 90

71. 17 unidades de área

72. unidades de área

73.

a) A (0, 2), B (0, 6), C (2, 0) e D (4, 0)

b) Q (, )

c) unidades de área

d) unidades de área

e) unidades de área

74.

a) 0 unidade de área

b) Sim, pois os pontos são colineares.

75. 3 ou −17

76. (−11, 23) ou (13, −25)

Exercícios complementares

1. alternativa c

2. 3

3. −6 ou −4

4. 2x − 7y − 6 = 0

5. y =

6.

7. −7

8. 8

9. − ou 5

10. (1, 1)

11. 5x + 10.000y = 10.000

12. alternativa c

13. 3 minutos e 20 segundos

14.

16. alternativa d

17.

a) Seja T(x, y) o ponto que indica o lugar em que o tesouro está enterrado.

I) T pertence à linha que passa pelos dois rochedos: y = 0

II) T está entre os dois rochedos: 0 < x < 120

III) A distância de T ao poço é maior que 50 metros: x2 + (y − 40)2 > 502

IV) A distância de T ao rio é menor que 20 metros:

b) 30 < x < 20 (1 + )

18. alternativa b

19. a)

20. 135°

21. B(−1, 4)

22. 8 unidades de área

23. alternativa c

24.

a) A = −α2 + 2α + 3

b) 1

25. x + y − 4 = 0

26. alternativa a

Autoavaliação

1. alternativa c

2. alternativa a

3. alternativa b

4. alternativa a

5. alternativa b

6. alternativa c

7. alternativa d

8. alternativa c

9. alternativa c

Capítulo 6

1.

a) m = 0, n = 1 e p = 1

b) m = ±1, n = 1 e p = ±4

c) m = 4, n =

2. R e T

3. (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9

4.

a) (x − 1)2 + (y − 3)2 = 4

b) x2 + y2 = 16

c) (x − 3)2 + (y − 0,5)2 = 5

d) x2 + (y + 4)2 = 13

5.

a) C(1, 2) e r = 10

b) C(0, 3) e r =

c) C(−3, −2) e r = 5

d) C(5, 0) e r =

6. μ, γ e β

7.

8.

a) x2 + y2 = 25

b) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10

9. (x + 2)2 + (y − 4)2 = 50

10.

a) C(1, −1) e r =

b) Não existem.

11. Não representa.

12.

a) e

b) C (3, −9) e r =

13.

a) x2 + y2 + 6x − 4y + 4 = 0

b) x2 + y2 + 10y + 20 = 0

14. p < 1

15. alternativa d

16.

a) y = 1

b) B(−2, 1), C(−2, −1) e D(2, −1)

c) Sim; a área da região alaranjada pode ser calculada pela diferença entre a área do círculo e a área do retângulo.

17.

a) exterior

b) interior

c) pertence

18.

a) exterior

b) pertence

c) interior

19.

a) 4 ou 2

b) 2 < k < 4

20. 01 + 02 + 04 + 08 = 15

21.

a)

b) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 1

c) unidade de área

Página 217

22.

a) tangente; P(3, 3)

b) secante; A(1, 0) e B(0, −1)

c) exterior

23. −2 ou 2

24. 4 unidades de comprimento

26. π unidades de área

27. 10π unidades de comprimento

28.

a) (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 13

b) x2 + (y + 5)2 ≤ 9

c)

d)

29. Se △ > 0, a reta é secante;

se △ = 0, a reta é tangente;

se △ < 0, a reta é exterior.

30.

a) tangentes interiores

b) secantes

c) tangentes exteriores

d) disjuntas interiores

e) disjuntas interiores e concêntricas

f) disjuntas exteriores

31. anti-horário

32.

a) secantes

b) disjuntas interiores e concêntricas

34. Não há pontos comuns.

35.

37. x2 + y2 = 16; A = 16π unidades de área

38. alternativa c

Exercícios complementares

1. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

2.

a) 2 vezes

b) sim

c) 36π unidades de área

3. (−3, −5)

4. λ1: (x + 14)2 + y2 = 25

λ2:

λ3: x2 + y2 = 25

λ4:

λ5: (x − 14)2 + y2 = 25

5. a = 36, b = 0 e c < 5

6. (4, −2)

7. alternativa a

8. unidades de comprimento

9. x + 2y = 6

10. A =

12. (−3, 5), (5, −1) e (5, 5)

Autoavaliação

1. alternativa d

2. alternativa a

3. alternativa b

4. alternativa b

5. alternativa b

6. alternativa a

7. alternativa c

8. alternativa a

Capítulo 7

1.

2.

a)

b)

c)

d)

3.

a)

b)

Page 11

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Os triângulos AT1C1 e AT2C2 são semelhantes. Então:

−2 − 2a = 2 − a

a = −4

9. Seja α a inclinação da reta de equação y = .

Assim:

α =

⇒ α =

e

sen 30° =

Por semelhança de triângulos, temos:

Logo, a abscissa do centro da circunferência C2 é:

E uma equação de C2 é:

(x − 3)2 + y2 =

Capítulo 7 – Cônicas

Exercícios

1. (PUC) Um ponto P da elipse

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 7

2. (UGF-RJ) A equação representa uma:

a) elipse com centro em (12, 13).

b) circunferência de raio igual a 5.

c) hipérbole.

d) elipse de excentricidade .

e) elipse com focos em (0, 5) e (0, −5).

3. (Unicamp-SP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e maior proximidade da Terra respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo comprimento do eixo maior.)

4. (Fatec-SP) O segmento cujas extremidades são os pontos de intersecção da reta y = x − 2 e da parábola y2 = x tem comprimento igual a:

a) 6

b) 3

c) 4

d) 2

e) 2

5. Um engenheiro precisa fazer uma marquise para o projeto de uma ponte em forma de um arco parabólico que tenha 3 m de altura e 4 m de largura da base. O vértice da parábola está no topo do arco. Calcule a que altura, sobre a base, o arco terá 2 m de largura.

6. Obtenha os pontos de intersecção da parábola de equação y2 = x com a elipse de equação x2 + 5y2 = 6.

7. Determine a distância focal da hipérbole cuja equação é

Resoluções

1. PF1 + PF2 = 2 ⋅ a

PF1 = 2

a = 3

2 + PF2 = 2 ⋅ 3 ⇒ PF2 = 4

alternativa c

2. a = 13 e b = 12

a2 = b2 + c2

132 = 122 + c2 ⇒ c = ±5

Logo: F1 (0, 5) e F2 (0, −5)

alternativa e

Página 251

3. Como a órbita do satélite tem forma elíptica, consideremos que a Terra se encontra no ponto F1 , um dos focos da elipse.

Além disso, considere que:

• a distância entre os dois focos é 2c = F1F2;

• o eixo maior mede 2a = A1A2;

• a distância mínima é A1F1, ou seja, a − c;

• a distância máxima é A2F1 = a + c.

A velocidade máxima é:

(em que k é a constante de proporcionalidade)

A velocidade mínima é:

Segundo o enunciado, v1 = 2v2. Então:

a − c = 2(a + c)

a − c = 2a + 2c

−a = 3c

Como a e c representam distância, vamos considerar a positivo.

Como a excentricidade é , temos:

4.

Resolvendo o sistema, obtemos (4, 2) e (1, −1); então:

d =

d = 3

alternativa b

5. yv = 3 e xv = 2

Para x = 0, então y = 0.

Para x = 4, então y = 0.

A equação da parábola é:

y = ax 2 + bx + c

Substituindo as coordenadas dos pontos acima, temos:

0 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c ⇒ c = 0

0 = a ⋅ 42 + b ⋅ 4

16a = −4b ⇒ 4a = −b (I)

Como a largura da base é 4 m, então xv = 2; assim, podemos escrever a equação:

3 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2

3 = 4a + 2b (II)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II), 3 chegamos a b = 3 e a =

Substituindo os valores de a e b na equação, obtemos:

Para x1 = xv − 1 = 2 − 1 = 1, temos:

y1 = + 3 = = 2,25

Para

Dessa forma, o arco terá 2 m de largura a 2,25 m da base.

6. Os pontos de intersecção pertencem simultaneamente à parábola e à elipse.

Impondo essa condição, temos:

y2 = x (I)

x2 + 5y2 = 6 (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

x2 + 5x = 6

x = 1 ou x = −6 (não serve, pois y2 ≠ −6)

Substituindo x = 1 em (II), obtemos:

12 + 5y2 = 6

5y2 = 5 ⇒ y = 1 ou y = −1

A parábola intercepta a elipse em (1, 1) e (1, −1).

7.

Assim: a = 4 e b = 3

c2 = a2 + b2

c2 = 16 + 9 ⇒ c = 5

Logo, a distância focal é: 2c = 10

Capítulo 8 – Números complexos

Exercícios

1. Em seu caderno, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

a) O número real zero é um número complexo.

b) O número −

c) Todo número complexo é real, mas nem todo número real é complexo.

d) Com o aparecimento dos números complexos, tornou-se possível resolver equações do 2 o grau nas quais o discriminante (Δ) é negativo.

e) A parte imaginária de um número complexo não pode ser um número irracional.

f) A parte real de um número complexo não pode ser um número racional.

2. Calcule em seu caderno o produto de cada número complexo abaixo pelo respectivo conjugado.

a) 7 + 2i

b) 1 − 4i

c) + i

d) x + 2yi

3. Calcule o argumento dos números complexos:

a) z1 = − i

b) z2 = −3 − 3 i

c) z3 = 0,5 − 0,5i

d) z4 = − i

4. (Cesgranrio-RJ) O lugar geométrico das imagens dos complexos z, tais que z2 é real, é:

a) um par de retas paralelas.

b) um par de retas concorrentes.

c) uma reta.

d) uma circunferência.

e) uma parábola.

Página 252

5. Considere o complexo z = 1 + i .

a) Determine o módulo e o argumento de z e . Que relação existe entre esses valores?

b) Represente num mesmo plano z e . Qual é a relação entre as imagens de z e ?

c) Com base nos resultados observados em a e b, discuta com um colega se eles valem para qualquer número complexo não nulo e seu conjugado.

6. Escreva o número complexo w = z2 − 1 na forma trigonométrica, dados os complexos z1 = −1 + i e z2 = i + 1.

7. Expressar o número complexo

8. (Unicamp-SP) Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode ser escrito na forma trigonométrica:

z = ∣z∣(cos θ + i ⋅ sen θ), em que ∣z∣= , e . Essa forma de representar os números complexos não nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

a) calcular .

b) sendo

9. Dois vértices consecutivos de um quadrado são dados pelas imagens geométricas dos números complexos:

z = + i e w =− + i

a) Dê os números correspondentes aos demais vértices desse quadrado.

b) Obtenha o perímetro e a área desse quadrado.

Resoluções

1. a) Verdadeira, pois 0 ∈ ℝ ⊂ ℂ.

Espera-se que os alunos percebam que o número real zero pode ser representado na forma z = 0 + 0i.

b) Falsa, pois z =− =− + 0i ∈ ℂ.

Espera-se que os alunos percebam que, para z =− , temos a =− e b = 0. Como a, b ∈ ℝ, podemos concluir que z ∈ ℂ.

c) Falsa, pois todo número real é complexo, mas nem todo número complexo é real. Espera-se que os alunos percebam que todo número real pode ser representado por z = a + bi, em que b = 0, mas nem todo número complexo tem b = 0. Por exemplo, z = 4 + 3i é um número complexo, mas não é um número real (b = 3 ≠ 0).

d) Verdadeira, pois usamos o fato de i2 = −1. Caso os alunos tenham dúvida, pode-se apresentar algum exemplo em que Δ < 0:

x2 + 4x + 16 = 0

x =−2 ± 2i

Page 12

33.

E: 3 dos 7 lançamentos são coroas

P(E) =

P(E) = ≃ 27,3%

Logo, a probabilidade de sair coroa 3 vezes é, aproximadamente, 27,3%.

34.

E: comprar nenhum pacote com o peso abaixo do limite P(E) =

Logo, a probabilidade aproximada de um consumidor comprar 3 pacotes e nenhum ter o peso abaixo do limite é 99,7%.

35.

a) P (4 meninos) =

b) P (2 meninas e 2 meninos) =

c) P (1 menino e 3 meninas) =

36.

a) P(6 letras) =

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter apenas letras é 14,2%.

b) P (6 números) =

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter apenas números é 0,05%.

c) P (4 letras e 2 números) =

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter 4 letras e 2 números é 31,5%.

d) P (2 letras e 4 números) =

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter 2 letras e 4 números é 4,7%.

e) P (pelo menos uma letra) = 1 − P (6 números)

P (pelo menos uma letra) ≃ 1 − 0,0005

P (pelo menos uma letra) ≃ 0,9995

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter pelo menos uma letra é 99,9%.

Página 272

f) P (pelo menos um número) = 1 − P (6 letras)

P (pelo menos um número) ≃ 1 − 0,142

P (pelo menos um número) ≃ 0,858

Logo, a probabilidade aproximada de a senha ter pelo menos um número é 85,8%.

37.

a) P(3 brancos e 2 pretos) =

b) P(2 brancos e 3 pretos) =

c) P(1 branco e 4 pretos) =

d) P(5 pretos) =

Comentário: Essa questão pode render um trabalho interdisciplinar com a Biologia, especificamente com a Genética, que utiliza amplamente os recursos da Probabilidade.

Exercícios complementares

1. Sejam A, B meninos e C, D, E meninas. Para escolher 2 alunos do grupo, temos:

S = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E}, {C, D}, {C, E}, {D, E}}

a) E1: escolher duas meninas

E1 = {{C, D}, {C, E}, {D, E}}

b) E2: escolher uma menina e um menino

E2 = {{A, C}, {A, D}, {A, E}, {B, C}, {B, D}, {B, E}}

c) E3: escolher dois meninos

E3 = {{A, B}}

2. a) E1: a carta retirada é de espadas

E1 = {AE, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, 8E, 9E, 10E, JE, QE, KE}

b) E2: a carta retirada é menor que 5 e maior que 2

E2 = {3E, 4E, 3C, 4C, 3O, 4O, 3P, 4P}

c) E3: a carta retirada é um ás

E3 = {AE, AO, AC, AP}

3. a) E1: cliente ter ficado no restaurante de 11 a 20 minutos n(E1) = 8

P(E1) =

b) E2: cliente ter ficado no restaurante 40 minutos ou menos

n(E2) = 11 + 8 + 9 + 7 = 35

P(E2) = = 0,7 = 70%

4. P (acertar 10 questões) =

5. O espaço amostral nessa situação é formado por todas as combinações de 8 sabores escolhidos 2 a 2. Assim:

n(S) = C8, 2=

a) E1: os dois sorvetes são à base de fruta

n(E1) = C3,2 =

P(E) =

Logo, a probabilidade de que os dois sorvetes escolhidos sejam à base de fruta é .

b) E2: nenhum dos sorvetes é à base de fruta

Logo, a probabilidade de que nenhum dos dois sorvetes escolhidos seja à base de fruta é

c) E3: somente um dos sorvetes é à base de fruta

Logo, a probabilidade de que somente um dos sorvetes escolhidos seja à base de fruta é

Page 13

=

= log

= log

=

Sabendo que log 1,2 = 0,08 e log 100 = 2, temos:

=

= 0,52

Portanto, a média aritmética é 0,52.

Comentário: É importante retomar o conceito de logaritmo, pois esse exercício encontra-se em um nível mobilizável, ou seja, para a resolução os alunos necessitam de uma pequena adaptação, que está associada ao conhecimento das noções de logaritmo, e não apenas às noções de Estatística.

17. a) =

=

= 91,2%

=

=

= 91,8%

Logo, a companhia que teve o percentual médio mais alto foi a companhia B.

b) Para facilitar os cálculos, construímos as tabelas a seguir.

Com base nas tabelas, temos:

DmA =

VarA =

DpA = ≃ 2,32

DmB = = 4,56

VarB =

DpB =

Então: DpA < DpB

Logo, a companhia que teve desempenho mais regular foi a companhia A.

18. = = 4,74

Com base no gráfico e no cálculo de , podemos construir a tabela a seguir.

Var =

Dp =

Logo, o desvio padrão é aproximadamente 0,516 milhão de turistas.

Autoavaliação

1. = = 10

Como os valores têm a mesma frequência, podemos dizer que não existe moda.

Organizando os dados em ordem crescente, temos: 7, 8, 10, 11, 14

Portanto: Me = 10

alternativa c

2. Para uma mesma distribuição de valores podemos ter apenas um valor médio, um valor mediano e um valor de desvio padrão. A moda é a única medida de tendência central que admite mais de um valor.

alternativa b

3. =

Portanto, seu gasto médio com almoço foi de R$ 15,40.

alternativa d

4. A idade mais frequente, ou idade modal, é 12 anos.

alternativa b

5. Quando os dados estão agrupados em intervalos, para calcular a média e a moda devemos considerar os pontos médios como representantes dos intervalos.

alternativa d

6. Quando todos os valores observados são iguais, o desvio padrão é nulo, ou seja, é zero.

alternativa b

7. =

Dm =

Dm =

Var =

Var =

alternativa d

8. x =

Var =

Var =

Dp = ≃2,2

alternativa d

Pesquisa e ação

Essa pesquisa tem um caráter interdisciplinar com Biologia e Geografia e discute um tema de muita importância para o desenvolvimento do planeta: a sustentabilidade.

Incentive os alunos a produzir reportagens que possam ser compartilhadas com outros grupos da escola. Caso as apresentações sejam feitas ao vivo, seria interessante gravá-las. Esse tema costuma mobilizar os jovens, pois trata de questões sociais, econômicas e ambientais, assuntos que têm atraído a atenção de todos.

O uso das medidas estatísticas deve ser mediado pelo professor, para que os alunos apresentem dados corretos.

Compreensão de texto

Essa seção permite um trabalho interdisciplinar com Geografia e Biologia.

1. O bioma apresentado nesse infográfico é a Caatinga. Algumas características apresentadas: só existe no Brasil e tem cerca de 844 mil km2, ocupando quase 10% do território nacional; abriga ambientes muito diferentes, desde florestas com árvores de até 20 metros (caatinga arbórea) até áreas com solos muito rochosos, dominadas por arbustos baixos, cactos e bromélias; 932 espécies vegetais identificadas até 2008, muitas não existem em nenhum outro lugar do planeta; no período da seca, adaptada para conter a perda de água, a vegetação perde suas folhas e a cor cinza predomina; no período das chuvas, o calor é amenizado e a vegetação se torna exuberantemente verde.

Página 294

2. A vegetação da Caatinga sofre sério risco de desaparecer por ser pouco estudada e protegida. Em 2013, estima-se que a atividade humana já havia destruído de 45% a 60% da vegetação original.

3. A principal estratégia de convivência com o semiárido é a educação ambiental, reduzindo a degradação do solo e melhorando a área de vegetação e, assim, a qualidade do solo.

4. Nesse exercício, os alunos deverão estimar os valores dos desvios em relação à média da precipitação e, em seguida, calcular o desvio médio de cada região, identificando, assim, a região que apresenta o maior grau de dispersão. Lembrando que, para concluir qual região apresenta o maior grau de dispersão, podemos utilizar qualquer uma das medidas: desvio médio, variância ou desvio padrão. Com os cálculos feitos, os alunos deverão concluir que a Serra das Confusões (PI) apresenta maior grau de dispersão (ou variabilidade) com relação aos valores da precipitação.

5. resposta pessoal

Capítulo 5 Conceitos básicos e a reta

Nesse capítulo, os alunos trabalharão com situações-problema que visam torná-lo apto a representar pontos, segmentos e retas no plano cartesiano; calcular distância entre dois pontos e entre um ponto e uma reta; escrever de várias formas a equação de uma reta; discutir posições relativas entre duas retas; entre outros objetivos.

Resoluções e comentários

Sugere-se que os alunos sejam conduzidos às atividades pelos níveis mobilizável e disponível, que o professor trabalhe com questões interdisciplinares, como a utilização de mapas em que se pode tratar a questão de rotas, levando em consideração o cálculo de distância entre pontos ou a construção de retas que indiquem trajeto e o estabelecimento de escalas. Nesse capítulo, é importante ressaltar a diversidade dos registros de representação semiótica acerca de um mesmo objeto matemático. Convém que o professor, por meio dos exercícios propostos, explore não somente o objeto matemático em seu registro figural, mas também sua representação no registro da língua natural, evidenciando aos alunos que registros diferentes convergem para um mesmo objeto matemático. Com base nessa conversão, é possível verificar em que passagem estão concentradas as maiores dificuldades dos alunos.

Page 14

Fonte: Fábrica de lâmpadas Ilumine.

Fonte: Fábrica de lâmpadas Ilumine.

21.

Página 281

22.

Observando os gráficos e a tabela, podemos afirmar que a maior incidência de gasto com energia elétrica nesse mês deu-se no intervalo de 140 a 160 reais, ou seja, a maioria dos apartamentos gastou de 140 a 160 reais com energia elétrica nesse mês. Comentário: Solicitar aos alunos que tragam para a aula a conta de energia elétrica de sua casa. Pedir a cada aluno que leia o valor de sua conta. Anotar os valores informados pelos alunos na lousa, de forma que ao final se obtenha o registro dos dados no quadro similar ao do livro. Em seguida, eles devem resolver o exercício com base no enunciado do livro. Outra alternativa é propor-lhes que realizem a mesma tarefa, porém considerando o valor de consumo em kWh de cada conta de energia elétrica.

23.

Fonte: Seguradora.

24.a)

Página 282

b) Supondo que o dado seja “honesto”, a probabilidade de sair qualquer uma das seis faces é a mesma e igual a

Observando a tabela de frequências, em especial a coluna correspondente a fr, podemos perceber que todos os valores estão próximos de 16,7%. Logo, com essa quantidade de lançamentos do dado podemos considerar a frequência relativa a probabilidade de sair determinada face no lançamento desse dado. Comentar com os alunos que, quanto maior o número de lançamentos do dado (honesto) — poderíamos, por exemplo, ter 2.000 lançamentos em vez de 1.000 —, mais próximos do número estariam os resultados da coluna fr.

25. a)

c) De acordo com a tabela, a venda de camisetas pretas representa 30% do total de itens vendidos pela loja.

d) A probabilidade de uma camiseta amarela ser vendida nessa loja é de 5%, de acordo com a tabela construída.

26. De acordo com a tabela, nesse bairro 15% das pessoas apresentam 3 sintomas e 5% apresentam 4 sintomas, ou seja, 20% das pessoas (15% + 5%) necessitam de acompanhamento médico.

27. De acordo com a tabela, temos:

• modelo A: 380 carros roubados num total de 10.000 carros segurados.

A probabilidade de um carro do modelo A ser roubado é:

• modelo B: 289 carros roubados num total de 10.000 carros segurados.

A probabilidade de um carro do modelo B ser roubado é:

= 0,0289 = 2,89%

• modelo C: 254 carros roubados num total de 10.000 carros segurados. A probabilidade de um carro do modelo C ser roubado é:

= 0,0254 = 2,54%

Comentário: Comentar com os alunos a importância desse tipo de pesquisa. Perguntar se eles acham que probabilidades como essas influenciam o valor do seguro dos automóveis dos modelos A, B e C. Eles deverão concluir que, quanto maior a probabilidade de um carro de determinado modelo ser roubado, maior o valor do seguro desse carro.

Pode-se solicitar aos alunos uma pesquisa sobre os modelos de carro mais visados em furtos e roubos. Com base nos dados coletados, é possível pedir a eles que calculem a probabilidade de roubo ou furto para cada modelo pesquisado. Em vez de desenvolver um trabalho individual, pode-se construir na lousa uma única tabela com os dados das pesquisas de todos os alunos e propor à turma uma única resolução, que pode ser discutida coletivamente.

Exercícios complementares

1. a) População: 550 alunos matriculados na escola; amostra: 200 alunos selecionados.

b) Variável qualitativa nominal: C; variável qualitativa ordinal: B; variáveis quantitativas contínuas: A e E; variável quantitativa discreta: D.

2.

b) De acordo com o gráfico, 60% das mulheres de 50 a 69 anos realizaram o exame nos dois anos anteriores à pesquisa.

c) Quanto mais alto o grau de instrução, maior a porcentagem de mulheres que realizaram o exame.

d) Resposta pessoal.

Comentário: Se achar conveniente, essa questão pode promover um trabalho interdisciplinar com o professor de Biologia. Pode-se abordar, por exemplo, a importância da realização de exames preventivos, o direito de realizar o exame de mamografia gratuitamente, a importância das campanhas de conscientização e os números alarmantes referentes ao câncer de mama no Brasil.

4. 25% dos objetos pesquisados em A são 200 objetos. 200 objetos representam 40% dos objetos pesquisados em B; então:

200 ----- 40%

x ----- 100%

x = = 500

Logo, foram pesquisados 500 objetos em B.

5. Observando o gráfico, percebemos que a maior diferença entre o número de casos das doenças de tipo A e B ocorreu no mês de setembro, em que a diferença foi de 1.100 casos.

alternativa d

Página 283

6. a) = 1,062

Portanto, em 2014 cada habitante produziu, em média, 1,062 kg de resíduo sólido urbano por dia.

b) ≃ 2,9%

Logo, a geração de lixo urbano em 2014 foi aproximadamente 2,9% maior em relação a 2013.

c) Em 2014, foram gerados 78,6 milhões de toneladas de lixo urbano e 71,3 milhões de toneladas foram coletados. Assim:

≃ 90,7%

Portanto, cerca de 90,7% do lixo gerado foi coletado.

d) resposta pessoal

Comentário: Nesse item, os alunos podem citar impactos como a contaminação do solo e da água, a proliferação de insetos e animais, as doenças, entre diversos outros problemas. Entre as atitudes que eles podem tomar está reduzir o consumo, evitar o desperdício de alimentos, aproveitar parte dos alimentos que são descartadas e que poderiam ser consumidas, como talos e cascas, separar materiais que podem ser reciclados do lixo orgânico para destiná-los corretamente, fazer uso da compostagem etc.

Essa questão pode promover um trabalho interdisciplinar com Biologia e Química.

7. a) 50 + 40 + 60 + 30 + 10 = 190

Logo, 190 pessoas estudam nessa faculdade.

b) A faixa etária que concentra o maior número de alunos está entre 22 e 24 anos, com 60 alunos.

190 ----- 100%

60 ----- x

x = ≃ 32

Logo, os alunos dessa faixa etária representam aproximadamente 32% dos alunos da faculdade.

8. a)

Fonte: Site estudado.

b) Total: 2.000 internautas

• De forma positiva: 1.000 internautas

• Não influenciam: 400 internautas

• De forma negativa: 100 internautas

Fonte: Site estudado.

9. a) Houve aumento na taxa de desemprego na região metropolitana de São Paulo. Essa taxa passou de 10,4% em 2013 para 10,8% em 2014.

b) Vamos calcular a redução na taxa de desemprego em:

• Fortaleza: 8,0% − 7,6% = 0,4%

• Porto Alegre: 6,4% − 5,9% = 0,5%

• Recife: 13,0% − 12,4% = 0,6%

• Salvador: 18,3% − 17,4% = 0,9%

Portanto, a região de Salvador foi a que teve maior redução na taxa de desemprego em 2014 em relação a 2013.

c) Para construir o gráfico usando uma planilha eletrônica, o primeiro passo é copiar a tabela na planilha.

8 Em seguida, para construir um gráfico de colunas lado a lado, basta selecionar os dados da tabela e escolher a opção para inserir gráfico de colunas. Para esse tipo de gráfico, há várias opções de estilo, e cada aluno pode escolher aquele que mais lhe agrada.

Dados obtidos em: .

Acesso em: 24 dez. 2015.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Página 284

10. Vamos analisar cada uma das alternativas:

a) Incorreta. Em relação ao número de inscritos em 1998, o percentual de aumento no número de inscritos em 2014 é dado por:

= 42,5 =4.250%

b) Incorreta. Em 2014, 26,48% dos inscritos eram pagantes, o que representa mais de de = 25%.

c) Correta. O número de indígenas inscritos no Enem 2014 era:

0,62% de 8.700.000 = 0,0062 ⋅ 8.700.000 = 53.940 ≃ 54.000

d) Incorreta. Em 2014, 16,33% dos inscritos eram isentos de escola pública. Assim:

16,33% de 8.700.000 = 0,1633 ⋅ 8.700.000 = 1.420.710

Portanto, menos de 1,5 milhão dos inscritos eram isentos de escola pública em 2014.

e) Incorreta. Em 2004 e 2007, o número de inscritos diminuiu em relação ao ano anterior.

alternativa c

11. Para analisar cada alternativa, vamos organizar em uma tabela o número de medalhas de ouro, prata e bronze, e o total de medalhas de cada país e sua classificação:

a) Correta.

b) Correta.

c) Correta

d) Correta.

e) Incorreta.

A classificação correta é: Estados Unidos, China, Reino Unido, Rússia, Coreia do Sul e Alemanha.

alternativa e

Autoavaliação

1. Amostra é um subconjunto formado por elementos extraídos de dada população.

alternativa b

2. A variável quantitativa contínua é proveniente de medida e expressa por número real.

alternativa c

3. A distribuição de frequências é uma tabela com dados agrupados por intervalo ou não, que mostra a relação entre a variável e a frequência.

alternativa d

4. A = 90 + 210 + 180 + 120 = 600

B =

C =

alternativa d

5. 100% ----- 360°

25% ----- x

x =

Logo, em um gráfico de setores, 25% do total corresponde a um ângulo de 90°.

alternativa a

6. De acordo com o gráfico, no 3º bimestre a empresa vendeu:

10 ⋅ 50 mil unidades = 500 mil unidades

alternativa b

7. Em um histograma, no eixo das abscissas representamos a amplitude de cada classe e, no eixo das ordenadas, a frequência (absoluta ou relativa) de cada classe.

alternativa a

8. No gráfico de polígono de frequências, marcamos os pontos cuja abscissa é o valor médio de cada classe.

alternativa a

Página 285

Compreensão de texto

Essa seção permite um trabalho interdisciplinar com Biologia.

1. a) A pesquisa foi realizada pela Proteste Associação de Consumidores.

b) O objetivo da pesquisa foi avaliar se os hábitos alimentares e de compra de comida sofreram alterações nos últimos anos.

c) A pesquisa foi realizada entre os meses de setembro e dezembro de 2014, por meio de questionários on-line.

d) A amostra da pesquisa foram 760 pessoas na faixa etária entre 25 e 74 anos.

2. resposta pessoal

Comentário: Avaliar os argumentos apresentados pelos alunos. Espera-se que eles percebam que, como a pesquisa foi realizada on-line e não se sabe como os participantes foram escolhidos, é muito provável que a amostra não tenha englobado pessoas que não têm acesso à internet, pessoas de todas as classes sociais, regiões do país ou níveis de escolaridade, por exemplo. Retomar com os alunos a abertura desse capítulo, em que é possível verificar as desigualdades no acesso à internet. Essa questão é interessante para que se discuta com eles a importância de uma amostra representativa da população.

3. Os aspectos que mais preocupam os entrevistados quanto à segurança dos alimentos são o excesso de agrotóxicos na agricultura e de hormônios nas carnes.

4. Na hora de escolher que alimentos comprar, os três principais aspectos que são levados em consideração pelos entrevistados são: se o alimento é saudável, se é gostoso e seu preço.

5. • 38% compraram mais frutas

38% de 760 = 0,38 ⋅ 760 ≃ 289

• 32% compraram mais legumes e verduras

32% de 760 = 0,32 ⋅ 760 ≃ 243

• 33% compraram mais peixes

33% de 760 = 0,33 ⋅ 760 ≃ 251

6.

ADILSON SECCO

Dados obtidos em:

Page 15

=

= = =

Perímetro = 5 + 5 + + = 10 + 2

Portanto, o perímetro do paralelogramo é (10 + 2) unidades de comprimento.

19.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

M é o ponto médio do segmento . Calculando suas coordenadas, temos:

=

= 3

Assim, temos: M(1, 3)

=

Portanto, a medida da mediana é .

20. Considerando os pontos A, B e C vértices do triângulo, temos:

• P (−1, 4) como ponto médio de ; então:

• Q (2, − 1) como ponto médio de ; então:

• R (− 2, 2) como ponto médio de ; então:

De (III) e de (V), temos:

Substituindo esses valores em (I), obtemos:

− − −

Então: = 3 e = − 5

De (IV) e de (VI), temos:

Substituindo esses valores em (II), obtemos:

− 2 − + 4 −

Então: = 1 e = 7

Portanto: A(3, 1), B (−5, 7) e C (1, −3)

21. a) Vamos calcular o determinante:

D = =−10 − 3 + 6 − 5 + 6 + 6 = 0

Como D = 0, os pontos estão alinhados.

b) Vamos calcular o determinante:

D = = 4 + 6 − 3 − 12 + 1 − 6 =−10

Como D ≠ 0, os pontos não estão alinhados.

22. Para que exista o triângulo ABC, os pontos A, B e C não podem estar alinhados.

Assim:

⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2

Logo, x ≠ −2.

23. Vamos calcular o determinante:

= 3 − 4m + 10 − 12 + 5 − 2m = 6 − 6m

a) Para que os pontos A (−1, m), B (2, −3) e C (−4, 5) estejam alinhados, devemos ter D = 0.

Assim: 6 − 6m = 0 ⇒ 6m = 6 ⇒ m = 1

Logo, m = 1.

b) Para que eles não estejam alinhados, devemos ter D ≠ 0. Assim:

6 − 6m ≠ 0 ⇒ 6m ≠ 6 ⇒ m ≠ 1

Logo, m ≠ 1.

24. Os pontos que estão alinhados com os pontos A (1, 4) e B (0, 3) têm coordenadas (x, y) tais que:

=0 ⇒ −3x − y + 3 + 4x =0 ⇒ x = y − 3

Página 299

Assim, há infinitos pontos alinhados com os pontos A e B. Todos esses pontos podem ser representados pelo par ordenado (y − 3, y). Por exemplo:

• Para y = 2, temos o ponto (−1, 2).

• Para y = 5, temos o ponto (2, 5).

25. Para que P (x, y) esteja alinhado com A (2, 3) e B (5, 4), devemos ter:

3x + 5y + 8 − 15 − 4x − 2y = 0

−x + 3y − 7 = 0

x − 3y + 7 = 0

Logo, a relação é x − 3y + 7 = 0.

26.

• Se A pertence ao eixo das abscissas, então yA = 0; assim:

=0 ⇒ −2xA − 1 = 0 ⇒ xA =−

Portanto: A (− , 0)

• Se B pertence ao eixo das ordenadas, então xB = 0; assim:

= 0 ⇒ yB − 1 = 0 ⇒ yB = 1

Portanto: B (0, 1)

27. a) Se P (x, y) é a intersecção das duas retas, então P está alinhado com A e B e com C e D. Assim:

Substituindo y por 3x em (I), obtemos:

−x − 3x + 2 = 0 ⇒ −4x = −2 ⇒ x =

E, assim: y =

Logo: P

Page 16

1. Temos: • coordenadas do ponto A:

xA = − 1 e yA = −4

• coordenadas do ponto B:

xB = 7 e yB = 1

• coordenadas do ponto C:

xC = 2 e yC = − 2

• coordenadas do ponto D:

xD = − 6 e yD = 0

• coordenadas do ponto E:

xE = − e yE = 2

• coordenadas do ponto F:

xF = 4 e yF = 6

Localizando os pontos no plano cartesiano, temos:

ADILSON SECCO

2. a) Temos x ≥ 0 e y ≤ 0, pois x = 3 e y =− . Então, o ponto (3, − ) pertence ao 4º quadrante.

b) Temos x ≤ 0 e y ≤ 0, pois x = −π e y = −4. Então, o ponto (−π, −4) pertence ao 3º quadrante.

c) Temos x ≥ 0 e y ≥ 0, pois x = e y = π. Então, o ponto pertence ao 1º quadrante.

Página 295

d) Temos x ≤ 0 e y ≥ 0, pois x = −1 e y = 1. Então, o ponto (−1, 1) pertence ao 2º quadrante.

Comentário: Nos exercícios 1 e 2, é importante observar se os alunos não apresentam dificuldade na quantificação e localização no plano cartesiano de valores expressos com raiz quadrada ou na representação fracionária.

3. a) O polígono representado tem 12 vértices.

b) As coordenadas dos vértices são: (0, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 0), (3, −2), (1, −2), (0, −3), (−1, −2), (−3, −2), (−2, 0), (−3, 2) e (−1, 2).

Comentário: Pode-se solicitar aos alunos que construam outros polígonos no plano cartesiano, observando a quantidade de vértices e suas coordenadas. Para os exercícios deste bloco, é interessante, se for possível, que o professor trabalhe com softwares de Geometria dinâmica que possam dar mais autonomia na construção do conhecimento por parte do aluno.

4. Os pontos pertencentes ao 2º quadrante têm coordenadas x ≤ 0 e y ≥ 0. Então, para obter os valores de m, devemos fazer m − 8 ≤ 0 e, para obter os valores de n, devemos fazer n − 5 ≥ 0.

Assim: m − 8 ≤ 0 ⇒ m ≤ 8

n − 5 ≥ 0 ⇒ n ≥ 5

Logo, m e n ∈ ℝ tal que m ≤ 8 e n ≥ 5.

Comentário: No início do estudo da Geometria analítica, explorar as condições impostas às coordenadas dos pontos, como nesse exercício ou no exercício 30, solidifica pré-requisitos para o entendimento da equação da reta, em suas várias formas, e para a resolução de inequações do 1º grau com duas variáveis.

5. a)

b) Observando o plano do item a, temos: dP, O = 8

c) Observando o plano do item a, temos: dQ,, O = 6

d) e e) Espera-se que os alunos (em duplas) percebam que a distância dP,Q é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo OPQ. E, por meio da aplicação do teorema de Pitágoras, obtenham a distância dP, Q (dP, Q)2 = 82 + 62 = 100 ou dP, Q = −10 ou d P, Q = 10.

Como a distância é um valor positivo, dP, Q = 10.

f) d A, B = =

Comentário: Nessa atividade, os alunos terão de elaborar uma estratégia para o cálculo da distância entre dois pontos (cada ponto pertence a um dos eixos do plano cartesiano). Conversar com as duplas fazendo perguntas para encaminhar o raciocínio. Caso alguma dupla não consiga chegar à estratégia, avalie a conveniência de escolher o procedimento de outra equipe e, coletivamente, discutir com a classe. A descoberta dessa estratégia facilitará o entendimento do próximo item de conteúdo.

6. Como o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, as coordenadas desse ponto são (x, x). Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

dP, O =

Como x = 7, então dP, O = 7 .

Comentário: Seria interessante fazer as atividades 5 e 6 no mesmo dia, pois elas apresentam uma sequência de raciocínios complementares. Se achar conveniente, peça aos alunos que encontrem a fórmula para um ponto P qualquer (em que P é um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares).

7. a) Temos: A (2, 1) e B (5, 5)

dA, B =

dA, B = = = 5 = 5

b) Temos: A (0, 0) e B (−1, 3)

dA, B =

dA, B =

c) Temos: D (−4, −2) e E (0, 7)

dD, E =

dD E = = =

d) Temos: C (4, 5) e B (6, 3)

dC B =

dC, B =

8.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

a) dC, O=

dC, O =

Logo, a distância do ponto C à origem é .

b) dC, B=

dCB = = =2,

Logo, a distância do ponto C ao eixo das ordenadas é 2.

c) dC, A=

dCA =

Logo, a distância do ponto C ao eixo das abscissas é 3.

9.

ADILSON SECCO

, D =

As distâncias são iguais; portanto, ABCD é um quadrado.

Page 17

a) Nesse caso, como a soma das frequências relativas é maior que 100%, pois provavelmente os entrevistados puderam escolher mais de um motivo, o gráfico de setores não é adequado.

b) resposta pessoal

c) resposta pessoal

Comentário: Nos itens b e c desse exercício, discutir com os alunos medidas que podem ser tomadas para evitar o desperdício de alimentos, como: planejar as compras observando antes, na despensa e na geladeira, que alimentos realmente precisam ser comprados; evitar fazer estoques; sempre ler os rótulos, verificando a data de validade e o modo de armazenar o produto; na hora de cozinhar, usar primeiro os produtos que estão próximos do vencimento; caso o produto não tenha agradado e ainda esteja próprio para o consumo, doá-lo para alguém que precise etc.

7. resposta pessoal

Página 286

Capítulo 4 Medidas estatísticas

Nesse capítulo, os alunos serão levados a calcular e a interpretar valores que representam dados estatísticos. Esses valores são as medidas de tendência central e de dispersão.

Resoluções e comentários

Exercícios propostos

1. a) =

=

= 9

Agora, vamos colocar os dados em ordem crescente: 1, 2, 3, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14

Como temos 10 valores, a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais, que ocupam a 5ª e a 6ª posições. Assim:

Me = = 11

Para esses valores, a moda é Mo = 11.

b) =

≃ 61,14

Colocando os valores em ordem crescente, temos: 4, 34, 51, 65, 78, 90, 106

Como temos 7 valores, a mediana será o termo central, que ocupa a 4ª posição. Assim: Me = 65

Como todos os valores aparecem com a mesma frequência, não existe moda.

c) =

x ≃ 3,13

Como temos 15 valores, a mediana é o termo central, que ocupa a 8ª posição. Assim: Me = 4 Esse conjunto de valores é trimodal, pois apresenta três modas: 1, 4 e 5.

d) =

= 7

Como temos 7 valores, a mediana é o termo central, que ocupa a 4ª posição. Assim: Me = 7

Para esses valores, a moda é Mo = 7.

e) =

= − 5

Colocando os dados em ordem crescente, temos: −10, −6, −6, −4, −3, −1

Como temos 6 valores, a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais, que ocupam a 3ª e a 4ª posições. Assim: Me = = − 5

Para esses valores, a moda é Mo = −6.

Comentário: Avaliar a conveniência de pedir aos alunos que estimem os resultados mentalmente, com aproximações, se julgarem necessário; depois, façam os cálculos no caderno e comparem esses resultados com as estimativas.

2. a) Vamos calcular o consumo médio do período de 12 meses:

=

= = 233

O consumo médio do período foi 233 kWh.

b) Vejamos agora o consumo mediano. Ordenando os dados, temos:

50, 50, 226, 244, 257,

Me =

O consumo mediano foi 264,5 kWh.

c) Nesse caso, o valor mediano representa melhor o consumo de energia elétrica da casa, pois não considera no cálculo os consumos com valores muito baixos, diferentemente do valor médio.

3. a) =

=

≃ 3.438,67

Logo, o lucro médio do período foi de aproximadamente R$ 3.438,67.

b) Colocando os valores em ordem crescente, temos: 3.258, 3.270, 3.381, 3.533, 3.541, 3.649

Como há 6 valores, a mediana é a média aritmética dos termos centrais, que ocupam a 3ª e a 4ª posições.

Assim: Me = = 3.457

Logo, o lucro mediano nesse semestre foi R$ 3.457,00.

c) Não, pois a moda não depende da mediana nem da média.

Página 287

4. a) =

= ⇒ ≃ 0,917.

Logo, a média mensal de acidentes nesse período foi de aproximadamente 0,917 acidente.

b) O número mensal de acidentes mais frequente nesse ano é 1, pois tem frequência 6.

c) Colocando os dados em ordem crescente, temos: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3

Como há 12 valores, a mediana é a média aritmética dos termos centrais, que ocupam a 6ª e a 7ª posições.

Assim: Me = + = = 1

Logo, o número mediano de acidentes é 1.

5.

Portanto, o número médio de refeições servidas por dia nesse mês foi aproximadamente 156,8.

6. Em primeiro lugar, vamos calcular os valores da função para 1 ≤ x ≤ 12.

Temos: f (1) = 2 ⋅ 1 − 1 = 1; f (2) = 2 ⋅ 2 − 1 = 3; f (3) = 2 ⋅ 3 − 1 = 5; f (4) = 2 ⋅ 4 − 1 = 7; f (5) = −5 + 12 = 7; f (6) = −6 + 12 = 6; f (7) = −7 + 12 = 5; f (8) = −8 + 12 = 4; f (9) = −9 + 12 = 3; f (10) = −10 + 12 = 2; f (11) = −11 + 12 = 1; f (12) = −12 + 12 = 0

Assim, colocando os dados em ordem crescente, temos o seguinte conjunto de dados:

0; 1; 1; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 7

Como a quantidade de dados é par, a mediana é a média dos dois termos centrais, ou seja:

Me = = 3,5

alternativa b

7. Para determinar a moda, basta verificar o grau de instrução que corresponde à maior frequência, que é aquele representado pela maior porcentagem (44%). Assim, a moda do grau de instrução é o Ensino Superior.

8. Chamando de x o número de gols marcados até a 8ª rodada do campeonato de 2017, temos: = 2,525 ⇒ x = 2,525 ⋅ 80 ⇒ x = 202

Chamando de y o número de gols que deveriam ser marcados em 10 partidas para que, na 9ª rodada (90 jogos: 80 até a 8ª rodada mais 10), se atingisse a média de 2,9 gols por jogo (como em 2016), temos:

= 2,9

y + 202 = 2,9 ⋅ 90 ⇒ y = 261 − 202 ⇒ y = 59

Portanto, deveriam ser marcados 59 gols em 10 partidas.

9. Para facilitar os cálculos, construímos a tabela a seguir.

Logo, o tempo médio que os pilotos gastaram no pit stop foi 9,2 segundos.

b) Como os valores estão agrupados, vamos primeiro encontrar a classe mediana.

Note que:

A frequência acumulada imediatamente superior a 10 é 16 e corresponde à classe [8, 12[, que é a classe mediana.

Então:

Logo, o tempo mediano de pit stop é aproximadamente 9,3 segundos.

10. Vamos construir a seguinte tabela:

Logo, o tempo médio que as pessoas do condomínio Vila Rica gastam para tomar banho é 11 minutos.

b) A classe modal é [15, 20[, pois apresenta a maior frequência.

Portanto, o tempo modal é 17,5 minutos, ou seja, a maioria das pessoas desse condomínio gasta 17,5 minutos para tomar banho.

Comentário: Pode-se propor aos alunos que façam uma pesquisa como essa com os colegas da classe e com as pessoas que moram com eles. Os entrevistados deverão responder quanto tempo levam no banho. Após calcular as medidas de tendência central dessa pesquisa, eles deverão observar se está havendo desperdício de água (considerando que o ideal é um banho de cerca de 5 minutos).

Banho de 15 minutos? Olha o nível!

O banho deve ser rápido. Cinco minutos são suficientes para higienizar o corpo. A economia é ainda maior se ao se ensaboar fecha-se o registro. A água que cai do chuveiro também pode ser reaproveitada para lavar a roupa ou qualquer outra atividade da casa. Para isso, deve-se colocar um balde ou bacia embaixo para armazenar aquela água.

Hora do banho

Banho de ducha por 15 minutos, com o registro meio aberto, consome 135 litros de água. Se fechamos o registro, ao se ensaboar, e reduzimos o tempo para 5 minutos, o consumo cai para 45 litros.

No caso de banho com chuveiro elétrico, também em 15 minutos com o registro meio aberto, são gastos 45 litros na residência. Com os mesmos cuidados que com a ducha, o consumo cai para 15 litros.

Disponível em: . Acesso em: 15 jan. 2016.

11 a) x =

+

= + ≃ 2.873,33

Logo, o salário médio é, aproximadamente, R$ 2.873,00.

Página 288

b) Podemos observar que a classe com maior frequência é a que vai de R$ 1.060,00 a R$ 1.860,00.

Logo, a moda dos salários é R$ 1.460,00.

c)

Fonte: Empresa Bacana

ADILSON SECCO.

Page 18

c)

Comentário: Sempre que possível, os alunos devem verbalizar e justificar, como é pedido no item b, suas estratégias.

28. Como P(xP, yP) está alinhado com os pontos A(5, 3) e B(−2, 1), temos:

a) Para que P pertença ao eixo x, devemos ter yP = 0; então:

2xP − 7 ⋅ 0 + 11 = 0 ⇒ xP =−

Logo, P

b) Para que P pertença ao eixo y, devemos ter xP = 0; então:

2 ⋅ 0 − 7yP + 11 = 0 ⇒ yP =

Logo, P

c) Para que P pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares, devemos ter xP = yP; então:

2xP − 7xP + 11 = 0 ⇒ xP = yP =

Logo, P

d) Para que P pertença à bissetriz dos quadrantes pares, devemos ter xP = −yP; então:

2 ⋅ (−yP) − 7yP + 11 = 0 ⇒ yP =

Logo, P

e) Para que yP = 2xP; então:

2xP − 7 ⋅ 2xP + 11 = 0 ⇒ xP =e yP =

Logo, P

Comentário: Essa questão resgata o que foi estudado no início do capítulo. Ver comentário da questão 4.

29. s: x − y + 2 = 0

a) 2 − 3 + 2 = 0

1 = 0 (falso)

Portanto, A(2, 3) não pertence à reta s.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Página 300

b) 1 − 3 + 2 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Portanto, B(1, 3) pertence à reta s.

30.a) =2 − 12 − 20 + 4 + 6 − 20 = − 40

Como −40 ≠ 0, A, B e C não são colineares.

b) + 10 − − 5 = 12,5 − 12,5 = 0

Como o determinante é igual a zero, os pontos A, B e C são colineares.

Portanto, a equação geral da reta que passa pelos pontos A (3, 5), B (1, 0) e C , é:

5x − 2y − 5 = 0

31. Para que C (1, m) pertença à reta que passa pelos pontos A(−1, 2) e B(3, 4), devemos ter:

= 0 ⇒ −4 + 2 + 3m − 4 + m − 6 =0 ⇒

⇒ 4m − 12 = 0 ⇒ m = 3

Logo, m = 3.

Comentário: Avaliar a conveniência de fazer análise gráfica da situação representando, no plano cartesiano, a reta e a reta vertical dos pontos de abscissa igual a 1. Sempre que possível fazer uso desse procedimento, que relaciona Álgebra e Geometria, cerne da Geometria analítica.

32. O ponto P de intersecção da reta de equação x + 3y + 1 = 0 com o eixo x tem y = 0.

Assim: x + 3 ⋅ 0 + 1 = 0 ⇒ x = −1

Logo, P (−1, 0).

O ponto Q de intersecção da reta de equação x + 3y + 1 = 0 com o eixo y tem x = 0.

Assim: 0 + 3y + 1 = 0 ⇒ y =−

Logo, Q

Os pontos de intersecção são, portanto, e (−1, 0).

33. a) :

b) :

c)

⇒

3x + 0y − 6 = 0 ⇒ x = 2

Substituindo x por 2 em uma das equações, temos: 2 + 3y − 11 = 0 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3

Logo, o ponto de intersecção é o ponto (2, 3).

Veja que (2, 3) são as coordenadas dos pontos A e D, ou seja, mesmo antes de resolver o sistema formado pelas equações das retas e , já poderíamos afirmar que o ponto (2, 3) é a intersecção.

34. a) :

⇒ 2x + y + 3 = 0

:

⇒ 3x − 2y − 6 = 0

:

⇒ x + 4y − 16 = 0

b) Fazendo M ponto médio de , N de e P de , temos:

M:

N: = (2,0)

P: = (0,4)

Vamos determinar as equações das retas suportes das medianas.

:

c) Vamos determinar as equações das retas suportes de ,

:

:

⇒ 2x + y − 4 = 0

:

Página 301

Page 19

Portanto, a área desse quadrilátero é 36 unidades de área.

b) perímetro = 4 ⋅ 6 = 24

Portanto, o perímetro desse quadrilátero é 24 unidades de comprimento.

c) d2 = 62 + 62 = 2 ⋅ 62 ⇒ d = 6

Portanto, a medida de sua diagonal é 6 unidades de comprimento.

Comentário: Devem-se retomar com os alunos as noções básicas de área e perímetro, uma vez que elas surgem como articuladoras nesse tema. É possível elaborar outras figuras geométricas no plano cartesiano para trabalhar mais com essas medidas.

10. Sendo o ponto P () equidistante de A(6, 8) e de B(2, 5) e P um ponto no eixo das ordenadas, temos

=

=

6yP = 71

Logo, P

11. Para provar que esse triângulo é retângulo, vamos calcular as medidas de seus lados e depois aplicá-las ao teorema de Pitágoras.

=

=

=

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

100 = 80 + 20 (verdadeiro)

Portanto, o triângulo ABC é retângulo.

12. Vamos determinar a medida dos lados de cada triângulo para dizer se ele é equilátero, escaleno ou isósceles.

a) = = =

=

=

Dois lados de mesma medida.

b) =

= = =

= = =

Três lados de medidas diferentes.

c) =

= = = = 4

=

Três lados de mesma medida.

Portanto, esse triângulo é equilátero.

13. Se o triângulo ABC é equilátero, então:

= =

Fazendo C (a, b), temos:

(I) =

1 + 1 = 4 − 4a + a2 + 25 + 10b + b2

a2 + b2 − 4a + 10b = −27

(II) =

4 − 4a + a2 + 25 + 10b + b2 =

= 9 − 6a + a2 + 16 + 8b + b2

−4a + 10b + 6a − 8b = −4

2a + 2b = −4

b = −2 − a

Substituindo b por −2 − a em (I), temos:

a2 + (−2 − a)2 − 4a + 10(−2 − a) = −27

a2 + 4 + 4a + a2 − 4a − 20 − 10a = −27

2a2 − 10a + 11 = 0

b = – 2 − =

Logo: C = ou

C =

Page 20

Para confirmar, vamos calcular o desvio padrão para cada uma das amostras:

Var1 = =

• Amostra 2

Var2 =

Dp2= =

• Amostra 3

Var3 ≃

Dp3 ≃

• Amostra 4

=

=

Como < < , a amostra com maior desvio padrão é a amostra 4.

alternativa d

13.

a) Primeiro, determinamos a média.

=

Assim:

≃

Var ≃

Dp ≃

Página 289

b) Os valores observados distanciam-se cerca de 3,17 viagens do valor médio (≃ 15 viagens).

14.a) Média da promoção A:

Média da promoção B: =

b) Para calcular o desvio padrão, precisamos calcular primeiro a variância. Para a promoção A, temos:

VarA =⋅

VarA =

Assim: DpA =

VarB =

VarB = = 0,71

Assim:

• Como o desvio padrão dos resultados da promoção B é menor que o desvio padrão dos resultados da promoção A, podemos dizer que as notas atribuídas à promoção B apresentam maior homogeneidade que as da promoção A, ou seja, os valores observados na promoção A estão mais dispersos em relação à sua média que na promoção B.

15. Colocando os dados em ordem crescente, temos:

21, 22, 23, 23, 25, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 30, 31, 32, 40

a) = ⇒ ≃ 27

Logo, a média de veículos básicos alugados nessa locadora é, aproximadamente, 27 veículos por dia.

b) Como temos 15 valores observados, a mediana será o valor central, que ocupa a 8ª posição. Assim: Me = 25

Logo, o número mediano de veículos alugados nessa locadora é 25.

c) O número de veículos básicos alugados com maior frequência (por 4 dias) é 25.

Para facilitar os cálculos dos itens d e e, construímos a tabela a seguir.

Página 290

d) Dm ≃ ⇒ Dm ≃ 3,67

e) Var ≃

Dp =

f) Os valores desse grupo se distanciam do valor médio cerca de 4,7 veículos.

16. Primeiro, determinamos o ponto médio de cada intervalo e, em seguida, calculamos a média.

=

Agora, vamos construir uma tabela para facilitar os cálculos.

Var = = 10.275

Dp =

Os valores do grupo distanciam-se cerca de R$ 101,37 do valor médio (R$ 465,00).

Page 21

• Para o intervalo [4, 6[, temos: a = 4 e i = 8%

• Para o intervalo [6, 8[, temos: a + b = 8 ⇒ b = 4

Como 4 analistas representam 8% do total, então j = 8% e n = 8% + 8% = 16%.

• Para o intervalo [8, 10[, temos:

Como 4 analistas representam 8% do total, então 22% do total de analistas são 11 analistas. Então: c = 11

8 + c = f ⇒ f = 19

n + 22% = o ⇒ o = 38%

• Para o intervalo [10, 12[, temos:

8 analistas correspondem a 16% do total, então

k = 16%.

o + k = p ⇒ p = 54%

• Para o intervalo [12, 14[, temos: 27 + d = 37 ⇒ d = 10

10 analistas correspondem a 20% do total, então l = 20%.

• Para o intervalo [14, 16[, temos:

16% dos analistas são 8 analistas, então e = 8.

37 + e = g ⇒ g = 45

74% + 16% = q ⇒ q = 90%

• Para o intervalo [16, 18[, temos: g + 5 = h ⇒ h = 50

5 analistas representam 10% do total, então m = 10%.

Logo, a tabela completa fica assim:

9.

a) 150, 200, 208, 468, 624, 624, 676, 728, 780, 832, 988, 988, 1.040, 1.092, 1.196, 1.248, 1.404, 1.710, 1.716, 1.976, 2.028, 2.132, 2.132, 2.132, 2.236, 2.392, 2.704, 2.948, 3.172, 3.174, 3.208, 3.728, 3.926, 3.959, 4.040, 4.108, 4.404, 4.472, 5.132, 5.928

b) Resposta possível: Escolhendo a amplitude de 900 reais para cada intervalo, temos a distribuição apresentada na tabela abaixo:

10. a) 33, 33, 35, 35, 36, 38, 38, 40, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 45, 48, 51, 53, 55, 56, 57, 61, 62, 62, 67, 69, 70, 72, 73, 73, 78, 80, 81, 84, 84, 85, 86, 87, 90, 92, 93, 96, 97, 103, 105, 108, 109, 110

b) Resposta possível: escolhendo a amplitude de 13 decibéis para cada intervalo, temos:

c) 36 setores da indústria apresentam nível de ruído abaixo de 85 decibéis, de acordo com o limite recomendado pelo Ministério do Trabalho.

11. Podemos calcular o número de sócios que, na pesquisa do Clube Azul, preferem natação usando uma regra de três simples:

100% ----- 400 sócios

47% ----- x sócios

x =

12.