Como calcular o perímetro e a área de um triângulo

O triângulo escaleno é aquele que tem todos os lados com medidas distintas, diferenciando-se, então, do triângulo isósceles, que tem dois lados congruentes, e do triângulo equilátero, que tem todos os lados com a mesma medida.

Para calcular o perímetro do triângulo escaleno, basta realizar a soma de todos os lados do triângulo. A medida da área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo qualquer, que nada mais é que o produto entre a base e a altura dividido por dois. Existe também a fórmula de Heron, que auxilia no cálculo da área do triângulo tendo somente as medidas dos lados desse triângulo.

Leia também: Congruência de triângulos — quando as medidas equivalentes dos triângulos são iguais

Resumo sobre triângulo escaleno

• O triângulo escaleno é o triângulo que tem todos os lados com medidas distintas.
• Para calcular a área de um triângulo, utilizamos a fórmula:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

Dado um triângulo de lados a, b, e c, a sua área pode ser calculada também pela fórmula de Heron (em que p é o semiperímetro do triângulo):

\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

• O perímetro do triângulo escaleno é a igual à soma dos três lados.

O triângulo escaleno é o mais comum na geometria, pois é o que possui os três lados com medidas distintas.

Ângulos do triângulo escaleno

Assim com a medida dos lados, os ângulos de um triângulo escaleno são sempre distintos. O triângulo escaleno, assim como os demais triângulos, tem soma de ângulos internos igual a 180º.

Leia também: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Perímetro do triângulo escaleno

Como o triângulo escaleno tem os três lados com medidas distintas (a, b e c), então o perímetro do triângulo pode ser calculado por:

\(P=a+b+c\)

Exemplo:

Um terreno tem formato de um triângulo, com lados medindo 8 metros, 10 metros 12 metros. Então o perímetro desse terreno é:

\(P=8+10+12=30\)

 O perímetro desse triângulo é de 30 metros.

Área do triângulo escaleno

O cálculo da área do triângulo escaleno não se difere do dos outros triângulos, logo, para tanto, basta calcular o produto entre o comprimento da base e da altura e dividir por dois, como na fórmula a seguir:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

Exemplo:

Qual é a área do triângulo escaleno que tem base de 9 cm e altura de 12 cm?

Resolução:

Dados b = 9 cm e h = 12 cm, a área do triângulo é calculada por:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(A=\frac{9\cdot12}{2}\)

\(A=\frac{108}{2}\)

\(A=52cm^2\)

Fórmula de Heron

Quando não conhecemos a altura do triângulo escaleno, ainda assim é possível calcular a sua área utilizando a fórmula de Heron. Na fórmula de Heron, conhecendo a medida dos três lados do triângulo, podemos calcular a sua área. Dado um triângulo escaleno de lados a, b e c, por essa fórmula, a sua área pode ser dada por:

\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Em que p é o semiperímetro do triângulo, calculado por:

\(p=\frac{a+b+c}{2}\)

Exemplo:

Dado o triângulo de lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm, e utilizando a fórmula de Heron, qual é a área dele?

Resolução:

Primeiro calcularemos o semiperímetro:

\(p=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\ =6\)

Agora calcularemos a área do triângulo:

\(A=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(A=\sqrt{6\left(6-3\right)\left(6-4\right)\left(6-5\right)}\)

\(A=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}\)

\(A=\sqrt{2\cdot3\cdot3\cdot2}\)

\(A=\sqrt{36}\)

\(A=6\)

Então a área do triângulo é de 6 cm².

Leia também: Semelhança de triângulos — as relações de proporção entre essas figuras geométricas

Classificações do triângulo

Quando analisamos o triângulo pelos seus lados, há três classificações possíveis: escaleno, isósceles ou equilátero. O triângulo escaleno, como mencionado, tem os três lados com medidas diferentes; quando o triângulo tem dois lados congruentes, ou seja, com a mesma medida, ele é chamado de isósceles; e, quando ele tem os três lados congruentes, é classificado como equilátero.

Exercícios resolvidos sobre triângulo escaleno

Questão 1

Parte de um terreno tem formato de um triângulo escaleno, com área igual a 78 m². Sabendo que a base desse terreno tem 13 metros, então a altura desse terreno é de:

A) 10 metros

B) 11 metros

C) 12 metros

D) 13 metros

E) 14 metros

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que a área é igual à metade do produto entre a base e a altura do triângulo.

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

Sabendo que a base desse triângulo tem 13 m, e que sua área é 78 m², então temos que:

\(78=\frac{13\cdot h}{2}\)

\(\mathbf{78}\cdot\mathbf{2}=\mathbf{13}{h}\)

\(\mathbf{156}=\mathbf{13}{h}\)

\({h}=\frac{\mathbf{156}}{\mathbf{13}}\)

\({h}=\mathbf{12}\ {m}\)

Questão 2

Um terreno tem formato de um triângulo escaleno, com lados medindo 3 metros, 5 metros e 4 metros. Esse terreno será cercado com arame farpado, de modo que tenha exatamente 4 fios de arame farpado em cada lado. Sendo assim, a quantidade mínima de arame necessária para que esse terreno seja cercado é de:

A) 96 metros

B) 80 metros

C) 64 metros

D) 52 metros

E) 48 metros

Resolução:

Alternativa E

Primeiro calcularemos o perímetro do terreno:

\(P = 4 + 3 + 5 = 12\)

Agora multiplicaremos por 4, já que serão dadas 4 voltas.

\(4\cdot12=48\ metros\)

A área do triângulo é geralmente calculada através do produto da medida da base do triângulo pela sua altura, e dividido por 2.

O triângulo é um polígono com três lados, este lados são formados por segmentos de retas unidos em três pontos que chamamos de vértices.

No cálculo da área deve-se considerar o tipo de triângulo. Para cada tipo temos uma maneira de identificar as medidas e propriedades necessárias para realizar o cálculo.

Os tipos de triângulos que temos são: triângulo retângulo, equilátero, isósceles e escaleno.

Como calcular a área de um triângulo?

Para a maioria dos triângulos, o cálculo da área segue a seguinte forma: pegamos a medida da base e multiplicamos pela sua altura, dividimos o resultado desse produto por 2.

Dessa forma, para a maioria dos triângulos, usamos a seguinte fórmula:

Onde:

• A: a área;
• b: é a base do triângulo;
• h: é a altura do triângulo.

Importante lembrar que essas letras são convenções usadas na matemática. Se você prefere utilizar outras letras, isso não vai alterar o cálculo.

Área do Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é um tipo especial de triângulo na matemática. Esse triângulo é chamado de retângulo porque possui um ângulo reto, isto é, um ângulo que mede 90°. Além disso, possui dois ângulos agudos, ou seja, ângulo que mede menos que 90°.

Ademais, possui também dois ângulos agudos, ou seja, ângulos que medem menos que 90°.

Dependendo da forma como está posicionado o triângulo retângulo, a sua altura pode ser igual a um dos seus lados. Veja na imagem abaixo:

E a área é o produto entre a base e a altura, dividido por 2.

Área do Triângulo Equilátero

O triângulo equilátero é um dos tipos de triângulo que existe e tem esse nome porque possui todos os lados e ângulos internos com as mesmas medidas.

No triângulo equilátero, a altura (h) do triângulo divide o triângulo em dois, dessa forma teremos dois triângulos.

O lado que representa a base podemos chamá-lo de (l), e será dividido em dois pela altura. Logo o lado da base será l / 2.

Agora para encontrar a medida da altura vamos utilizar o teorema de Pitágoras, assim:

Por fim, para determinarmos a fórmula que calcula a área do triângulo equilátero, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.

Assim, devemos substituir o valor da altura (h) encontrado na fórmula geral. Então temos:

Onde:

• A: é a área;
• l: representa os lados do triângulo.

Área do Triângulo Isósceles

O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos com as mesmas medidas. A fórmula para calcular a área de um triângulo isósceles é a mesma fórmula para os casos gerais: o produto da base pela altura, dividido por 2.

No cálculo da área, às vezes, o valor da altura não é especificado na questão. Assim, temos que utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular a altura antes de utilizar a fórmula geral.

Exemplo:

Seja o triângulo a seguir:

Resolução:

No triângulo acima, conhecemos somente as medidas relativas aos seus lados, no entanto, para o cálculo da área de um triângulo precisamos conhecer o valor da sua altura. Para isso vamos utilizar o Teorema de Pitágoras. Assim:

Veja que a altura divide o triângulo em dois, então a medida que representa um dos lados do triângulo no teorema, neste caso, será a metade do triângulo original.

Após encontrarmos o valor da altura, podemos utilizar a fórmula geral e calcular a área do triângulo isósceles.

Área do Triângulo Escaleno

O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos com medidas diferentes. Para encontrar a área para esse tipo de triângulo, devemos utilizar os nossos conhecimentos em trigonometria.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, a altura h foi traçada com relação ao lado b definido como base:

A altura h, calculada a partir do triângulo amarelo, é: h = c . sen(A).

Dessa forma, substituindo o valor da altura na fórmula geral do triângulo, temos:

Se considerarmos os outros lados do triângulo escaleno, teremos:

Espero que tenha ficado claro, bons estudos e boa sorte.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

• Exercícios sobre a área do triângulo