Como cancelar a raiz quadrada de uma equação

A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.

A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.

Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.

Representação da radiciação

A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:

Exemplos

a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.

Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.

b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.

c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.

Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:

Nomenclatura da radiciação

Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:

a → Radicando

n → índice

b → raiz

√ → Radical

Propriedades da radiciação

Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.

Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice

A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.

Exemplos

Propriedade 2: Potência de expoente radical

A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:

Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica

Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais

A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.

Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais

De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.

Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2

Propriedade 5: Potência de uma raiz

A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.

Propriedade 6: Raiz de outra raiz

Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.

Propriedade 7: Simplificação de raízes

A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.

Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.

Solução

No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:

1024 = 210

1024 = 2 (5 · 2)

1024 = (25)2

Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:

Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.

A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real.

A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:

Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2.

Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:

a) homem.

b) macaco.

c) gato.

d) boi.

e) coelho.

Solução

Alternativa b

Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos:

Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Equações irracionais têm a incógnita localizada no radical, ou seja, no interior da raiz. Com isso, para resolver uma equação irracional, é necessário antes ter em mente as propriedades de radiciação.

De modo geral, para essa resolução, utilizamos o princípio da equivalência para “sairmos” do caso irracional e chegarmos a uma equação do primeiro ou segundo grau.

Leia também: Diferenças entre função e equação

Como resolver uma equação irracional

Para resolver uma equação irracional, devemos utilizar o princípio da equivalência a fim de “eliminarmos” os radicais, isto é, devemos elevar ambos os lados da equação ao índice da raiz, uma vez que, quando essa propriedade é utilizada, o radical “desaparece”. Veja:

Realizado esse procedimento, a equação deixa de ser irracional e passa a ser racional, e, assim, para resolvê-la, utilizamos os métodos já conhecidos. Veja o exemplo a seguir:

Observe que o índice do radical é o número 5, assim sendo, para resolvermos essa equação, devemos elevar ambos os lados à quinta potência. Veja:

Portanto, o conjunto solução é dado por:

S = {32}

Claro que existem casos mais complexos, mas o método de resolução sempre será o mesmo. Observe mais um exemplo:

Note que, para resolver tal equação irracional, devemos achar uma maneira de eliminar o radical que possui índice 2, ou seja, devemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado e, em seguida, resolver a equação, confira:

Observe que de uma equação irracional caímos em uma equação do segundo grau, bastando agora resolvê-la utilizando o método de Bhaskara.

Portanto, o conjunto solução é dado por:

S = {7, 1}

Veja também: Redução de radicais ao mesmo índice

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-Rio) O número de soluções da equação, com x > 0, é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Solução

Alternativa b. Para resolvermos a seguinte equação, devemos elevar seus lados ao quadrado, uma vez que o índice do expoente é igual a 2.

Observe que o enunciado pergunta-nos a quantidade de soluções maiores que zero, portanto, temos uma solução maior que zero.

Questão 2 – (UTF-PR) Adriana e Gustavo estão participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa: trazer a fotografia da construção localizada na rua XV de Novembro, número N, tal que a e b são as raízes da equação irracional.

Solução

Para que Adriana e Gustavo consigam levar a fotografia, eles devem determinar o número da construção, ou seja, o número N. Para isso, determinamos os números a e b, que são soluções da equação irracional.

Segundo o enunciado, os valores de a e b são as respectivas raízes da equação irracional, assim temos que:

a = 4 e b = – 1

Agora, para descobrir o valor de N, basta substituir os valores de a e b na expressão dada.

Portanto, o número do edifício é o 971.

Por Robson Luiz

Professor de Matemática

A estratégia geral para resolver esse tipo de equação é isolar a raiz quadrada num dos lados da equação. Depois, basicamente, elevar ao quadrado dos dois lados da igualdade, para conseguirmos cancelar a raiz quadrada com o quadrado do expoente.

Consulte Mais informação

Como cancelar a raiz?

Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor. Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Qual é a raiz de 3? é irracional, ou seja, não pode ser expressa como a divisão de dois números inteiros. 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806...

Correspondentemente, qual é a raiz quadrada de √ 81?

RAIZ QUADRADA DE 81 É 9. POIS 9x9 = 81. As pessoas também perguntam qual é a raiz quadrada de 27? Encontramos o 3, pois 3 x 3 x 3 = 27. Logo a raiz é 3.

Mantendo isto em consideração, qual é a raiz quadrada de 144?

Quanto é raiz quadrada de 144? Resposta: 12, porque 12 x 12 = 144. Como calcular equações irracionais? Como resolver as equações irracionais? (4 passos)

1. 1º Passo: isole o radical no primeiro membro da equação.
2. 2º Passo: aplique a propriedade do inverso da raiz.
3. 3º Passo: encontre o valor de x resolvendo a equação normalmente, de acordo com seu grau.
4. 4°Passo: verifique se a solução é verdadeira.

Como resolver as equações irracionais? Para encontrar as soluções de uma equação irracional, é necessário isolar a radiciação e elevar a potência que seja igual ao índice que está no radicando, eliminando a raiz e tornando a equação racional, posteriormente, esta será resolvida. Então x = 14 é a solução da equação. Como resolver a equação irracional? 1º passo: isole o radical no primeiro membro da equação. 2º passo: eleve ambos os membros da equação ao número que corresponde ao índice do radical. Por se tratar de uma raiz quadrada, deve-se elevar os dois membros ao quadrado e, com isso, elimina-se a raiz. 3º passo: encontre o valor de x resolvendo a equação.

Quando se deseja transformar uma expressão em apenas um radical, pode-se introduzir um fator externo no radicando. Para isso, o termo adicionado deve possuir o expoente com mesmo valor do índice.