Como tirar raiz quadrada de qualquer número

Vamos descobrir de um jeito fácil a raiz quadrada de um número

O estudo da raiz quadrada é importante para várias áreas de conhecimento da matemática, então porque não termos um tópico só dela?

Neste post vamos explicar tudinho que você precisa saber para encontrar a raiz quadrada de um número!

1. Números primos e fatoração

Para aprendermos a encontrar a raiz quadrada de um número, precisamos relembrar os números primos e a fatoração de um número.

Os números primos são aqueles maiores do que 1 e que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. Essa lista é infinita, então vamos decorar só os primeiros, ok? São eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...

A fatoração de um número é dada pela divisão dele por números primos, ou seja, vou reescrever um número com apenas multiplicações de números primos.

Exemplo: Fatore o número 192.

192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3

1 |

Logo, podemos escrever o 192 = 2.2.2.2.2.2.3 ou 192 = 2 6.3

2. Raiz quadrada de um número natural

Para encontrar a raiz quadrada de um número natural, basta fatorar o número e depois juntar de dois em dois para tirar da raiz, veja o exemplo,

Exemplo: Encontre a √36

36 | 218 | 2 9 | 2 3 | 2

1 |

Então, podemos escrever 36 = 2.2.3.3 ou 36 = 22.32, como temos dois 2 e dois 3, logo eles “saem” da raiz, ficando √36 = 2.3 = 6

A raiz é a operação inversa da potenciação, logo para alguns casos simples basta fazer a seguinte pergunta “que número ao quadrado que resulta no valor desta raiz?”.

Veja os casos mais simples: √100 = 10, pois, 102 = 100 √81= 9, pois, 92 = 81 √64= 8, pois, 82 = 64 √49= 7, pois, 72 = 49 √36= 6, pois, 62 = 36 √25= 5, pois, 52 = 25 √16= 4, pois, 42 = 16 √9= 3, pois, 32 = 9 √4= 2, pois, 22 = 4 √1= 1, pois, 12 = 1

Quando conseguimos encontrar um número que responde a essa pergunta dizemos que a raiz é exata, pois não “sobra” nada dentro da raiz.

Exemplo: Encontre a raiz exata de √225

225| 3 75 | 3 25 | 5 5 | 5

1 |

Então, √225 = √32.52 = 3.5 = 15

3. Raiz não exata de um número

O mesmo procedimento é feito para as raízes não exatas, só que agora vai “sobrar” números dentro da raiz, veja:

Exemplos:

192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3

1 |

Logo, podemos escrever √192= √2.2.2.2.2.2.3 = √22.22.22.32 = 2.2.2.√3 = 6√3

Observe que nesse exemplo só os números 2 fizeram pares entre si, o número 3 ficou sozinho, “sobrando” dentro da raiz.

245 | 5 49 | 7 7 | 7

1 |

Logo, √245 = √5.72 = 7√5

221 | 13 17 | 17

1 |

Neste último caso, como não temos nenhum número ao quadrado, pois temos um de cada, nada sai da raiz, então não temos uma simplificação para √221.

4. Raiz quadrada de um número fracionário

A raiz quadrada de um número fracionário é feita da mesma forma que para o número natural, só que a resposta será uma fração também, veja:

Exemplo:

Vamos “distribuir” a raiz para o numerador e o denominador.

√16/25 = √16/√25

Agora basta encontrar suas raízes.

 √16/√25 = 4/5

√225/400 = √225/√400 = 15/20

Sempre precisamos simplificar a fração, então a resposta final será:

√225/400 = 3/4

5. Raiz quadrada de um número decimal

Um modo de como podemos resolver a raiz de um número decimal é passar pra fração e repetir o processo anterior, veja:

Exemplo:

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A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática