Em relação a curva que é a representação gráfica da função é correto afirmar que

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função em uma equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função do 2º grau

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

? > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

? = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

? < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função. Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais. A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

Exemplos de funções do 1º grau y = 4x + 2, a = 4 e b = 2 y = 5x – 9, a = 5 e b = –9 y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10 y = 3x, a = 3 e b = 0

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1

y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função. Vamos determinar a raiz das funções a seguir:

y = 4x + 2

y = 0 4x + 2 = 0 4x = –2 x = –2/4 x = –1/2 A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2

y = – 2x + 10

y = 0 – 2x + 10 = 0 – 2x = – 10 (–1) 2x = 10 x = 10/2 x = 5

A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5

y = – 7x + 7 y = 0 –7x + 7 = 0 –7x = –7 x = 1

A reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1

y = 3x y = 0 3x = 0 x = 0

A reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0

A função exponencial é aquela em que a variável é um expoente. Matematicamente, ela é definida como f de R em R, tal que f(x) = ax, em que a ϵ R, a > 0 e a ≠ 1. O gráfico dessa função é uma curva obtida ao encontrar alguns pares ordenados que pertencem à função e ao desenhar essa curva que passa por eles. A observação de alguns gráficos dessas funções permite deduzir algumas de suas propriedades, que serão discutidas neste texto.

Construção do gráfico da função exponencial

Em uma função qualquer, encontrar pares ordenados que pertençam ao seu gráfico é tarefa simples: basta escolher valores para x e encontrar os valores de f(x) ligados a eles no contradomínio. Isso é feito substituindo o valor de x escolhido na função e calculando a expressão numérica resultante.

1º Exemplo: para encontrar 5 pares ordenados pertencentes ao gráfico da função f(x) = 2x, usaremos os valores x = – 3, x = – 2, x = – 1, x = 0, x = 1, x = 2 e x = 3 e preencheremos a seguinte tabela:

Com a tabela preenchida, perceba que cada valor de x se relaciona a um valor de f(x) que pode ser compreendido como y no par ordenado. Sendo assim, os pares ordenados formados são:

A = (– 3, 1/8)

B = (– 2, 1/4)

C = (– 1, 1/2)

D = (0, 1)

E = (1, 2)

F = (2, 4)

G = (3, 8)

Para desenhar o gráfico, marque os pontos acima do plano cartesiano e desenhe uma curva que os contenha. Atenção: os pontos não devem ser ligados com linhas retas, devem estar sobre uma curva.

2º Exemplo: Fazendo os mesmos procedimentos para a função f(x) = 0,25x, obtemos os seguintes pontos:

A1 = (– 3, 64)

B1 = (– 2, 16)

C1 = (– 1, 4)

D1 = (0, 1)

E1 = (1, 1/4)

F1 = (2, 1/16)

G1 = (3, 1/64)

Construímos o gráfico dessa função junto ao gráfico do primeiro exemplo para comparação:

Propriedades

Nos gráficos acima, é possível observar todas as propriedades das funções exponenciais:

1 – Se a > 1, então a função exponencial é crescente. Para perceber isso, observe a função f(x) = 2x;

2 – Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente. Para perceber isso, observe a função f(x) = 0,25x;

3 – Para todo a pertencente aos números reais e para todo x também pertencente a esse conjunto, a função será positiva. Note pelos gráficos que, independentemente dos valores de x e de a, não existem pontos abaixo do eixo x;

4 – Toda função exponencial possui o ponto de coordenadas (0,1).

· Pergunta 1 1 em 1 pontos As funções quadráticas possuem ampla aplicação em diversas situações, assim para solucionar estas questões, muitas das vezes é exigido um estudo detalhado do problema em questão, analisando sua lei de formação e/ou sua interpretação gráfica. Quais tipos de problemas relacionados a função quadrática, destacam em áreas do conhecimento como Física e Economia? Resposta Selecionada: Problemas de otimização, de máximos e mínimos. Resposta Correta: Problemas de otimização, de máximos e mínimos. Comentário da resposta: Resposta correta. Problemas de otimização visam encontrar a melhor solução de todas as soluções viáveis; já os problemas que abrangem o conceito de máximo e mínimo são discutidos e definidos apenas em funções polinomiais do segundo grau. · Pergunta 2 1 em 1 pontos Pontos máximos ou mínimos são os pontos críticos de uma função e são determinados conforme os coeficientes da função quadrática em questão; este pode ser encontrado através do ponto: que é denominado por: Resposta Selecionada: vertice da parabola. Resposta Correta: vertice da parabola. Comentário da resposta: Resposta correta. Vértice da função é a denominação correta destinada ao ponto critico da mesma, que pode ser um ponto mínimo ou um ponto máximo de acordo com a concavidade da função. · Pergunta 3 1 em 1 pontos Em toda parábola, que é a representação gráfica de uma função polinomial do segundo grau, existe uma reta que passa pelo vértice da função e é equidistante em relação as raízes da função quadrática. Esta reta recebe o nome de eixo: Resposta Selecionada: de simetria Resposta Correta: de simetria Comentário da resposta: Resposta correta. Em toda parábola, existe uma reta que passa pelo vértice da função e é equidistante em relação as raízes da função quadrática. Esta reta recebe o nome de eixo de simetria, uma vez que há existe uma simetria em relação a esta reta. · Pergunta 4 1 em 1 pontos Quando uma função de segundo grau é igualada a zero é possível determinar suas raízes reais. E possível encontrar suas raízes distintas, duas raízes iguais que equivale a uma ou nenhuma raiz. Sobre as raízes da função é possível afirmar que: Resposta Selecionada: existe uma raiz real impar. Resposta Correta: existe uma raiz real impar. Comentário da resposta: Resposta correta. Para encontrar as raízes da função solicitada é necessário utilizar a formula de Bhaskara substituindo os números referentes aos coeficientes. , logo existe uma raiz real ímpar. · Pergunta 5 1 em 1 pontos A quantidade de raízes pertencentes em uma função polinomial do segundo grau é diretamente relacionada aos valores encontrados ao calcular seu discriminante que é representado por . A partir do texto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. Não existe raiz real, quando o discriminante é maior que zero PORQUE A raiz de um número negativo é um número complexo. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. Resposta Selecionada: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Resposta Correta: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Comentário da resposta: Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa, pois não existe raiz real, quando o discriminante é menor que zero e não maior como é afirmado. Já a asserção II é uma proposição verdadeira, pois a raiz de um número negativo é um número complexo · Pergunta 6 1 em 1 pontos A altura h, acima do solo, de um objeto lançado em queda livre, sob ação exclusiva da forca gravitacional é informada pela função , em que é a altura inicial em metros, é a velocidade inicial em metros por segundo e g é a aceleração gravitacional. Sobre o domínio desta função é possível afirmar que: Resposta Selecionada: precisa ser adequado as condições da natureza da variável. Resposta Correta: precisa ser adequado as condições da natureza da variável. Comentário da resposta: Resposta correta. A aplicação das funções polinomiais de segundo grau na física, como este, o de queda livre requer atenção na determinação do domínio, uma vez que o domínio precisa ser adequado ao contexto da situação e consequentemente as condições da natureza da variável. · Pergunta 7 1 em 1 pontos Toda função polinomial do segundo grau possui como representação gráfica, esta pode ser côncava para cima ou côncava para baixo dependendo do sinal do coeficiente que acompanha o termo a. Sobre a função quadrática: , julgue as seguintes asserções: I. A concavidade da parábola é voltada para baixo. II. A função não possui zero da função. III. O discriminante é um valor menor que zero. IV. A parábola corta o eixo y no ponto (0, -8). É correto o que se afirma em: Resposta Selecionada: IV, apenas. Resposta Correta: IV, apenas. Comentário da resposta: Resposta correta. A concavidade da parábola é voltada para cima, uma vez que o coeficiente de a é um valor positivo, maior que zero; já o discriminante é um valor maior que zero e devido a isso é obtido duas raízes reais distintas; logo a parábola corta o eixo y no ponto (0,-8). · Pergunta 8 1 em 1 pontos Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 32 m/s e considerando a aceleração gravitacional igual a 9,8 m/s² é obtido uma relação para determinar a altura desta bola conforme o tempo, dada por: . Sobre esta função quadrática é possível afirmar que: Resposta Selecionada: a parábola que representa a trajetória da bola é côncava para baixo. Resposta Correta: a parábola que representa a trajetória da bola é côncava para baixo. Comentário da resposta: Resposta correta. A função que corresponde a trajetória da bola é côncava para baixo, uma vez que o coeficiente do termo que contém o expoente dois é negativo. · Pergunta 9 1 em 1 pontos Uma aplicação de funções quadráticas está inserida no contexto econômico, função receita total e lucro total são moldadas de acordo com esse modelo matemático. A função lucro total descreve o ganho obtido por alguma empresa pela venda de seus produtos. Qual característica abaixo apresenta uma afirmação valida desta função? Resposta Selecionada: É obtida pela diferenca entre as funções receita e custo. Resposta Correta: É obtida pela diferenca entre as funções receita e custo. Comentário da resposta: Resposta correta. A função econômica lucro total é calculada pela diferença entre as funções receita e custo, encontra-la permite estimar a quantidade de unidades a serem comercializadas de modo a obter o lucro desejado. · Pergunta 10 1 em 1 pontos A representação gráfica da função quadrática se difere em relação aos pontos que interceptam os eixos das abcissas e das ordenadas, mas são representados por curvas bastante similares. O gráfico de uma função polinomial do segundo grau é sempre representação de uma: Resposta Selecionada: parábola. Resposta Correta: parábola. Comentário da resposta: Resposta correta. A representação gráfica de uma função quadrática é sempre uma parábola, essa curva pode ser côncava para cima ou côncava para baixo.