A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a. Show
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados. Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver? RadiciaçãoNa raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes. A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n. Elementos da radiciaçãoA operação é representada por: radicaln→ índice a→ radicando b→ raiz Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo. Calculando a raiz quadradaO cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a. Tipos de raiz quadradaUma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional. Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando. Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir. Calcule a raiz quadrada de 3600. Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada. Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical. Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100. Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos. Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49. Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40. 6,1² = 37,21 6,2²= 38,44 6,3²=39,69 6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação. Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata. Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver Interpretação geométrica da raiz quadradaAlguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m². Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área. O lado do quadrado é de 13 metros. A raiz quadrada é um tipo específico de radiciação.Exercícios resolvidosQuestão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72? A) 8,1 B) 8,2 C) 8,3 D) 8,4 E) 8,5 Resolução Alternativa D. Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que: 8,1²= 65,61 8,2²= 67,24 8,3²= 68,89 8,4²= 70,56 8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4. Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata? Resolução Alternativa C. a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121. b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69. c) Não possui raiz exata d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½. e) Possui raiz exata igual a 1.
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos. Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125? Por tentativa podemos descobrir que: 5 x 5 x 5 = 125, ou seja, Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando. Símbolo da RadiciaçãoPara indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo, n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. Exemplos de radiciação: (Lê-se raiz quadrada de 400) (Lê-se raiz cúbica de 27) (Lê-se raiz quinta de 32) Propriedades da RadiciaçãoAs propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir. 1ª propriedade:
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência. Exemplo: 2ª propriedade:
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Exemplos:
3ª propriedade: Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical. Exemplos:
4ª propriedade:
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada. Exemplo: Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: . Exemplo: 5ª propriedade:
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices. Exemplo: Radiciação e PotenciaçãoA radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta. Observe: Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplos: , pois sabemos que 92 = 81 , pois sabemos que 104 = 10 000 , pois sabemos que (–2)3 = –8 Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação. Simplificação de RadicaisMuitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical. Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
Exemplo:Calcule 1º passo: transformar o número 243 em fatores primos
2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz 3º passo: simplificar o radical Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro. , note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical. Assim, . Veja também: Simplificação de radicais Racionalização de DenominadoresA racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional. 1º caso – raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante . 2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando. 3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois . Operações com RadicaisSoma e SubtraçãoPara somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais. 1º caso – Radicais semelhantes Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes. Veja como fazer: Exemplos:
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior. Exemplo I: Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . 3º caso – Radicais não são semelhantes Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. Exemplos:
(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais) Multiplicação e Divisão1º caso – Radicais com mesmo índice Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Exemplos:
2º caso – Radicais com índices diferentes Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos. Exemplo I:
Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . Saiba também sobre
Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1Calcule os radicais a seguir. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8. a) b) c) a raiz do número zero é o próprio zero. d) Questão 2Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5. a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades Portanto, b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade Portanto, c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade Portanto, d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade Portanto, Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais Questão 3(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado). Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg1/3
Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3. 1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC. 2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.
3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP). Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3. (Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a)
Resposta correta: d) . A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma: , sendo k a constante de proporcionalidade. A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Através da propriedade reescrevemos a área S. , conforme a alternativa d. |