A raiz cúbica de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao cubo (ou seja, multiplicado três vezes por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que: Show A raiz cúbica é a operação inversa de uma potenciação de exponte 3. Definição:Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$ a = radicando b = raiz $$√$$ = radical n = índice a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz cúbica, o índice é igual a 3). ✅ Curiosidade Como calcular a raiz cúbica?Em caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado três vezes por ele mesmo, resulte no número cuja raíz queremos descobrir: Exemplo 1: $${^3}√{8}=2$$, pois $$2×2×2=8$$. Exemplo 2: $${^3}√{27}=3$$, pois $$3×3×3=27$$. Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos: Exemplo 3: $${^3}√{216}=$$ $$$216÷2=108$$$ $$$108÷2=54$$$ $$$54÷2=27$$$ $$$27÷3=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$ Agora, agrupamos os divisores três a três, da seguinte maneira: $$2³×3³$$. Portanto: $$${^3}√{216}={^3}√{2³×3³}$$$ Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×3=6$$. Ou seja: $$${^3}√{216}=6$$$
Índice
A raiz cúbica é uma operação matemática que, a partir de um número real positivo, retorna outro número real positivo que, elevado a três, resulta no número inicial. Em outras palavras, dado um número real positivo, a raiz cúbica encontra outro número real positivo pelo qual, multiplicado por si mesmo três vezes, resulta no número fornecido. Além da raiz cúbicaA diferença entre uma raiz cúbica, quadrada e de grau superior é o pequeno número que aparece no início da raiz, n, e indica o grau da raiz. Este número é denominado índice. Devido ao grande uso da raiz quadrada, quando usamos uma raiz cúbica devemos indicá-la com o índice da seguinte forma: Isso evita confusão e erros na notação. As raízes e as moedasDa mesma forma que as moedas têm cara e coroa, as raízes também têm dois lados: O caro seria o lado mais conhecido: O Cruz seria o lado menos conhecido: Embora pareçam diferentes à primeira vista, como a cara e a coroa de uma moeda, eles são equivalentes, uma vez que ambos expressam uma raiz, mas um contém um poder (cruz) e o outro um radicando (cabeça). Para entender que ambas as expressões representam o mesmo conteúdo, desenharemos duas maneiras de representar a raiz do cubo. Levando em consideração que as duas equações são equivalentes, suas funções serão sobrepostas e apenas uma das duas será vista. Para evitar essa sobreposição, adicionaremos um sinal negativo à potência para diferenciá-los e ver sua simetria. Você pode tentar representar a expressão que carrega o radical e a expressão que carrega o poder e verá que as funções coincidem. Portanto, podemos expressar uma raiz das duas maneiras. A forma mais comum de expressar uma raiz é com o radicanda, mas também podemos expressar uma raiz usando o poder. Exemplos de raiz de cuboCálculo e resultado de algumas raízes: Como pode ser visto, os resultados são números reais positivos. Estamos acostumados a encontrar raízes naturais, mas também podemos encontrar raízes com decimais.
Você vai ajudar o desenvolvimento do site, compartilhando a página com seus amigosEste artigo não cita fontes confiáveis.Janeiro de 2013) Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número
x
{\displaystyle x}
(expressa como
x
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}
ou
x
1
3
{\displaystyle x^{1 \over 3}}
), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado
x
.
{\displaystyle x.}
Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que
3
×
3
×
3
=
27.
{\displaystyle 3\times 3\times 3=27.}
Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são: 8 3 = { 2 − 1 + i 3 − 1 − i 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}={\begin{cases}\ \ 2\\-1+i{\sqrt {3}}\\-1-i{\sqrt {3}}\end{cases}}} A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração. As raízes cúbicas de um número x {\displaystyle x} são números y {\displaystyle y} que satisfazem a equação y 3 = x {\displaystyle y^{3}=x} Números reaisSe x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por: x 3 = x 1 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{1 \over 3}} Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática. Por exemplo, as raízes do número 1 são: 1 3 = { 1 − 1 2 + 3 2 i − 1 2 − 3 2 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}\ \ 1\\-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}} Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um. Números complexosPara os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como: x 1 3 = exp ( ln x 3 ) {\displaystyle x^{1 \over 3}=\exp \left({\ln {x} \over 3}\right)} Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como x = r exp ( i θ ) {\displaystyle x=r\exp(i\theta )} Onde r é um número real positivo e θ {\displaystyle \theta } cai no intervalo: − π < θ ≤ π , {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,} então a raiz cúbica é x 3 = r 3 exp ( i θ 3 ) . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({i\theta \over 3}\right).} Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo − 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} não será -2, senão 1 + i 3 . {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.} Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual.. Procedente da seguinte identidade: 1 3 = 1 2 2 ( 1 + 1 2 2 ) ( 1 + 1 2 4 ) ( 1 + 1 2 8 ) ( 1 + 1 2 16 ) … , {\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots ,} Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:
O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta. Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte: ————————| 1331 |11 -1 |—————————————— —— |300·1²·3= 900 0331 | 30·1·3²= 270 -331 | 3³= 27 ———— | ———— 000 | 1197 |se passa de 331 | |300·1²·2= 600 | 30·1·2²= 120 | 2³= 8 | ———— | 728 |se passa de 331 | |300·1²·1= 300 | 30·1·1²= 30 | 1³= 1 | ——— | 331 |é igual ou menor |a 331Explicação da operação:
A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul: c 3 = k . ( 29 z 3 + 261 z 2 + 255 z + 22 7 z 3 + 165 z 2 + 324 z + 71 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}=k.\left({29z^{3}+261z^{2}+255z+22 \over 7z^{3}+165z^{2}+324z+71}\right)} Onde: c 3 = k 3 . z 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},} para todo k complexo diferente de "0".Observe que c, k, z são valores conhecidos. c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica; k é a base do cubo perfeito mais próximo de c; Da igualdade, c 3 = k 3 . z 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{k^{3}.z}},} tem-se: c = k 3 . z {\displaystyle {c}={k^{3}.z}}
O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1". k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional. Exemplos: a) 61 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}} c 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}} c = 61 {\displaystyle c=61} 27 < 61 < 64 {\displaystyle {27<61<64}} 3 3 < 61 < 4 3 {\displaystyle {3^{3}<61<4^{3}}} k 3 = 4 3 {\displaystyle {k^{3}}=4^{3}} k = 4 {\displaystyle k=4} Como z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}} então z = 61 64 => z = 0.953125 {\displaystyle {z}={61 \over 64}=>z=0.953125} Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se: 61 3 = 4 ( 0.984124295794616 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}=4(0.984124295794616)} 61 3 = 3.936497183 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{61}}=3.936497183}
x 2 = − x 1 + − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x2={-x1+{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}} x 3 = − x 1 − − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x3={-x1-{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}}
x 1 = 3.936497183 {\displaystyle {x1}=3.936497183} x 2 = − 1.968248591 + 3.409106562 i {\displaystyle {x2}=-1.968248591+3.409106562i} x 3 = − 1.968248591 − 3.409106562 i {\displaystyle {x3}=-1.968248591-3.409106562i}
Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início. Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo. Para cada um dos demais grupos, adotar zero.
Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143" Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".
Seja o complexo a + b i {\displaystyle a+bi} então ... 1) Sobre o valor absoluto de "k": Somar os valores absolutos de a {\displaystyle a} e b , {\displaystyle b,} ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de a {\displaystyle a} e b . {\displaystyle b.} .. A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma. 2) Sobre o sinal de "k": O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo a + b i , {\displaystyle a+bi,} ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".
c 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}} c = 11 + 197 i {\displaystyle c=11+197i} Estimando o valor de k ... Valor: | 11 | + | 197 | = 208 {\displaystyle {|11|+|197|=208}} 125 < 208 < 216 {\displaystyle {125<208<216}} 5 3 < 208 < 6 3 {\displaystyle {5^{3}<208<6^{3}}} k = 6 {\displaystyle k=6} Sinal: Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b". k {\displaystyle k} é positivo.Como z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}} então z = 11 + 197 i 6 3 => z = 0.0509259259259259 + 0.912037037037037 i {\displaystyle {z}={11+197i \over 6^{3}}=>z=0.0509259259259259+0.912037037037037i} Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se: 11 + 197 i 3 = 6. ( 0.845837867090806 + 0.466844946251768 i ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=6.(0.845837867090806+0.466844946251768i)} 11 + 197 i 3 = 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=5.07502720254484+2.80106967751061i} Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula: k = 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i {\displaystyle k=5.07502720254484+2.80106967751061i} z = c k 3 {\displaystyle {z}={c \over k^{3}}} então z = 11 + 197 i ( 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i ) 3 => z = 1.01296791900645 + 0.00206735560872315 i {\displaystyle {z}={11+197i \over (5.07502720254484+2.80106967751061i)^{3}}=>z=1.01296791900645+0.00206735560872315i}Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se: 11 + 197 i 3 = ( 5.07502720254484 + 2.80106967751061 i ) . ( 1.00430455271257 + 0.000683224035207582 i ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=(5.07502720254484+2.80106967751061i).(1.00430455271257+0.000683224035207582i)} 11 + 197 i 3 = 5.094959166527 + 2.816594410153 i {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11+197i}}=5.094959166527+2.816594410153i} Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas: x 2 = − x 1 + − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x2={-x1+{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}} x 3 = − x 1 − − 3. ( x 1 ) 2 2 {\displaystyle x3={-x1-{\sqrt {-3.(x1)^{2}}} \over 2}} Portanto, x 1 = 5.094959166527 + 2.816594410153 i {\displaystyle {x1}=5.094959166527+2.816594410153i} x 2 = − 0.108237271914 − 5.820661274534 i {\displaystyle {x2}=-0.108237271914-5.820661274534i} x 3 = − 4.986721894613 + 3.004066864381 i {\displaystyle {x3}=-4.986721894613+3.004066864381i} |