O triângulo abc possui as coordenadas a (2 2) b (–4 –6) e c (2 –6). qual o perímetro desse triângulo

Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas.

Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y.

Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero?

Resumo sobre baricentro de um triângulo

• O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.

• O baricentro é conhecido também como centro de gravidade do triângulo.

• O baricentro divide qualquer uma das medianas na razão 1 para 2.

• Para calcular a posição do baricentro de um triângulo no plano cartesiano, utilizamos a fórmula:

No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:

• o baricentro

• o incentro

• o circuncentro

• o ortocentro

Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:

Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo:

Propriedades do baricentro

Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.

Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno.

Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.

Passo a passo de como se calcula o baricentro

No estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.

Exemplo:

Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo.

Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três:

Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada:

Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0).

Veja também: Como podemos classificar um triângulo?

Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triângulo

Questão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto:

A) (2/3, 1)

B) (1, 1)

C) (1, 4/3)

D) (2/3, 4/3)

E (1, 2/3)

Resolução

Alternativa B

Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y).

Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que:

Agora, encontraremos o valor de y:

Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1).

Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são:

A) (3, 2)

B) (2, 3)

C) (-2, 3)

D) (6, 4)

E) (-4, -6)

Resolução

Alternativa B

Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4).

Agora, calcularemos o baricentro:

As coordenadas do ponto G são (2, 3).

85/10 = 8,5 gramas 15 90 8,5 x 15x= 8,5*90 15x=765 x=765/15 x=51 kcal

cada biscoito tem 8,5 gramas e tem 51 kcal

Kleber Alves

Há mais de um mês

Essa pergunta já foi respondida!

triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?

• Fernanda
• há 2 anos
• Matemática
• 325

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Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.

Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Questão 1

Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?

Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).

Veja também: Distância entre dois pontos

Questão 3

Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: dDC =

.

Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.

Sendo e

, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.

Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:

A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 4

O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?

Questão 5

Um móvel percorre a trajetória A→B→C.

Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:

Questão 6

Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c).

Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4).

Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:

Questão 7

(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

Questão 8

(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:

a) equilátero. b) retângulo e isósceles. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles.

e) n.d.a.

Questão 9

(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é

a) 1 b) 2 c) 4

d)

Questão 10

(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

a) X = 8 b) X = 6 c) X = 15 d) X = 12

e) X = 7

(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4 b) 4√2 c) 8 d) 8√2

e) 16

Questão 12

(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:

a) 14 b) 13 c) 12 d) 9

e) 8

Questão 13

(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a:

a) 2√2; b) 3√2; c) 2√3;

d) 3√3.

Questão 14

(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são:

a) 6 e - 2 b) 2 + 2i e 2 - 2i c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3 d) 2 e 0

e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6

Veja também: