Observe abaixo o desenho de um triângulo qual dos triângulos abaixo é semelhante a esse desenho

Quando comparamos duas figuras geralmente queremos saber quais as semelhanças existentes entre elas. Algumas vezes elas são iguais, algumas vezes são apenas parecidas e também existem os casos em que as figuras comparadas são completamente diferentes. Na matemática, frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados possíveis são: Figuras congruentes, figuras semelhantes e figuras diferentes. A seguir, discutiremos a semelhança entre polígonos e os casos de semelhança entre triângulos.

Índice Show

Triângulos semelhantes
Teorema fundamental da semelhança de triângulos
Casos de semelhança de triângulos
Exercícios resolvidos

Dois polígonos são semelhantes quando existe proporcionalidade entre seus lados e seus ângulos correspondentes são todos iguais. Existir uma razão de proporcionalidade quer dizer que se dividirmos a medida de um lado da primeira figura pelo valor de um lado da segunda figura e o resultado for, por exemplo, o número 3, então todas as divisões entre medidas de lados da primeira figura por medidas dos lados da segunda figura terão 3 como resultado.

Isso ocorre no caso dos hexágonos da imagem acima. Repare que a divisão de qualquer lado do primeiro hexágono por qualquer lado do segundo tem 3 como resultado.

Para que dois polígonos sejam semelhantes, deve existir proporcionalidade entre seus lados correspondentes, além de ângulos correspondentes congruentes.

Voltando ao exemplo dos hexágonos acima, observe que a razão entre lados correspondentes é sempre 3:

AB = BC = CD = DE = EF = FA = 3
GH HI IJ JK KL LG

Para mostrar que eles são semelhantes, falta apenas mostrar que seus ângulos correspondentes são congruentes. Nesse caso são, por terem sido construídos como polígonos regulares.

Para os triângulos a regra é a mesma. Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos correspondentes sejam congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de proporcionalidade.

Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples. Basta observar se eles se enquadram em um dos casos de semelhança de triângulos a seguir:

1- Caso Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes.

Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados semelhantes, como no exemplo a seguir:

2- Caso Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos.

Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes têm o mesmo resultado:

AB = BC = CA = 1
DE EF FD 2

Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são semelhantes.

3- Caso Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Observe este caso de semelhança no exemplo:

AB = CA = 1
DE FD 2

Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. Configurando assim o caso LAL.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Dois polígonos, com o mesmo número de lados, são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Em outras palavras, polígonos semelhantes possuem o mesmo formato, mas suas dimensões nem sempre apresentam o mesmo tamanho. Observe na imagem a seguir um exemplo contendo dois triângulos semelhantes. Como essas figuras também são polígonos, então essa também é a sua definição de semelhança.

Os triângulos são polígonos que possuem o menor número de lados, portanto, é possível criar estratégias para diminuir o trabalho de verificar a semelhança entre eles. Essas estratégias são conhecidas como casos de semelhança de triângulos e serão discutidas a seguir.

1º Caso de semelhança: Ângulo-Ângulo (AA)

Sempre que dois triângulos possuírem dois ângulos correspondentes congruentes, eles já serão completamente semelhantes. Perceba que, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, eles também apresentam o terceiro ângulo congruente. Isso é garantido pela soma dos ângulos internos dos triângulos que sempre será igual a 180°.

O exemplo seguinte mostra em vermelho dois ângulos congruentes de dois triângulos distintos. O restante das medidas foi colocado em cinza apenas para perceber-se a semelhança entre os triângulos.

Observe que os lados correspondentes desses dois triângulos são proporcionais e que os ângulos que sobraram, destacados na cor cinza, são congruentes.

2º Caso de semelhança: Lado-Lado-Lado (LLL)

Sempre que dois triângulos possuírem três lados correspondentes proporcionais, então eles serão semelhantes. Em outras palavras, triângulos que possuem três lados proporcionais sempre apresentam os ângulos correspondentes congruentes.

O exemplo a seguir mostra dois triângulos semelhantes, pois eles possuem as medidas de seus três lados proporcionais. Em cinza, estão as medidas dos ângulos desses triângulos.

3º Caso de semelhança: Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois triângulos distintos possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre esses lados é congruente, então esses dois triângulos são semelhantes. Na imagem a seguir, veja um exemplo de triângulos com dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente. Colocamos no exemplo o restante das medidas do triângulo em cinza para evidenciar a semelhança entre eles.

Exemplo

Os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine a medida do segmento DF.

Como dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais, para descobrir a medida de x, basta montar a proporção:

5 = 4
x 14

4x = 5·14

4x = 70
x = 70
4

x = 17,5 cm

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.

Leia também: Propriedades do triângulo equilátero

Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:

Ângulos correspondentes congruentes:

A = A'

B = A'

C = A'

Lados correspondentes proporcionais:

A'B' = B'C' = A'C' = k
AB BC AC

O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais.

Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:

A = 65° = B’

B = 45° = A’

C = 70° = C’

Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:

Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:

ABC ~ B’A’C’

Veja também: Condição de existência de um triângulo

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Considere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.

“O teorema fundamental da semelhança de triângulos afirma que toda reta paralela a um dos lados do triângulo que intercepta os outros dois lados determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.”

No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança:

DFE ~ GFH

Exemplo

No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC.

Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então:

Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos:

AC = AE + EC

10 = 2,5 + EC

10 – 2,5 = EC

EC = 7,5 cm

Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm.

Saiba também: Relações no triângulo retângulo

Casos de semelhança de triângulos

Vimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.

Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo.

Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais.

A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.

Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.

Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo.

Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.

Exemplo

Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm.

Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto:

Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que:

a + b + c = 84

7k + 9k + 5k = 84

21k = 84

k =4

Substituindo os valores de k nas igualdades, temos:

a = 7 · (4) → a = 28 cm