Posição relativa entre reta e circunferência exercícios resolvidos 8 ano

1) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (FGV)

a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x2 + y2 – 4x = 0 e o ponto P(3, 3). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência.

b) Dada a circunferência de equação x2 + y2 = 9 e o ponto P(3, 5), obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por P.

2) (UEM) A equação da reta tangente à circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 no ponto (6, 6) é:

a) 3y – 4x + 6 = 0

b) 4y + 3x – 42 = 0

c) 4y + 3x – 6 = 0

d) 4y – 3y – 6 = 0

e) 3y + 4x – 42 = 0

3) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (Esam-RN) A equação da circunferência com centro no ponto (28, 3), tangente externamente à circunferência (x – 4)2 + (y – 2)2 = 64, é:

a) (x – 8)2 + (y – 3)2 = 5

b) (x + 8)2 + (y – 3)2 = 25

c) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 25

d) (x – 8)2 + (y + 3)2 = 25

e) (x + 8)2 + (y + 3)2 = 5

4) (U.F. Pelotas) Determinar a equação geral da circunferência concêntrica à circunferência x2 + y2 + 6x – 8y = 0 e tangente ao eixo das ordenadas.

5) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (UPF 2015) Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x2 – 6x + y2 + 4 = 0, então a equação da reta que passa por A e B é dada por:

a) y = – x + 5

b) y = x + 5

c) y = – x + 3

d) y = x – 3

e) y = –1/2x + 5

Atividades sobre Equações de Circunferência.

6) Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência: (UEG 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é:

a) x2 + y2 + 4x + 4y + 18 = 0

b) x2 + y2 – 4x – 4y – 14 = 0

c) x2 + y2 – 8x – 8y + 14 = 0

d) x2 + y2 + 8x + 8y + 18 = 0

7) (UFOP-MG) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo Ox, cujo centro é a intersecção das retas r: y = x + 5 e t: y = – 2x + 8.

8) (UPE 2016) Uma reta r de equação ax + by + c = 0 tangencia a circunferência β de equação x2 + y2 – 2x – 6y – 8 = 0 no ponto P = (– 2, 0). Qual é o valor de a + b + c?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

9) (UFJF 2016) Considere a circunferência C: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9.

a) Determine se o ponto A = (4, – 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.

b) Encontre o(s) valor(es) de para que a circunferência C e a reta y = ax possuam dois pontos em comum.

10) (UECE 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x + y – 1 = 0 e x + y + 1 = 0 com a circunferência x2 + y2 = 25, calculada com base na unidade de comprimento (u.c.) adotada no referencial cartesiano considerado, é:

a) 16 (u.c.)2.

b) 14 (u.c.)2.

c) 18 (u.c.)2.

d) 20 (u.c.)2.

Gabarito com as respostas do simulado de matemática sobre Posições Relativas entre Ponto, Reta e Circunferência:

1) a) Pertence

b) x – 3 = 0 ou 8x – 15y + 51 = 0

2) b;

3) b;

4) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 9;

5) a;

6) c;

7) (x – 1)2 + (y – 6)2 = 36;

8) c;

9) a) Pertence a C.

Estude também sobre:  Medidas de Arco de Circunferência Questões Resolvidas

b) a < 0 ou a > 3/4

10) b

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Bom estudo!

Seja uma circunferência λ de centro C(xc, yc) e raio r. No mesmo plano existem retas que cortam a circunferência em dois pontos, retas que tocam a circunferência em apenas um, e retas que não interceptam a circunferência. Essas retas são chamadas de secantes, tangentes e externas, respectivamente.

Veja na figura que:

A reta r (azul) é secante à circunferência, pois possuem dois pontos em comum.

A reta s (verde) é tangente à circunferência, pois possuem apenas um ponto em comum.

A reta t (laranja) é externa à circunferência, pois não possuem nenhum ponto em comum.

RETA SECANTE

Como vimos, uma reta é secante a uma circunferência quanto possuem dois pontos em comum. A grosso modo, podemos dizer que a reta passa “por dentro” da circunferência.

Em nosso desenho, temos que a reta r é a reta secante. Nele podemos observar que a distância da reta r ao centro C da circunferência é menor que a medida do raio.

dC,r < raio

RETA TANGENTE

Definimos uma reta tangente a uma circunferência quando possuem apenas um ponto em comum.

Em nosso desenho, temos que a reta s é tangente. Nele podemos observar que a distância da reta s ao centro C da circunferência é igual à medida do raio.

dC,s = raio

RETA EXTERNA

Definimos uma reta externa a uma circunferência quando não possuem nenhum ponto em comum. A grosso modo, dizemos que a reta passa “por fora” da circunferência.

Em nosso desenho, temos que a reta t é a reta externa. Nele observamos que a distância da reta t ao centro C da circunferência é maior que a medida do raio.

dC,s > raio

COMO DETERMINAR A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Apresentaremos agora duas formas práticas para determinarmos a posição relativa entre uma reta e uma circunferência. Para tanto, examinaremos as relações entre a reta r: 2x + y – 1 = 0 e a circunferência λ: (x + 3)² + (y – 4)² = 25.

Temos que:

2x + y – 1 = 0 é a equação geral da reta r, onde a=2, b=1 e c=-1.

(x + 3)² + (y – 4)² = 25 é a equação geral da circunferência, cujo centro é (-3, 4) e o raio é 5.

MÉTODO DA RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Por este método, a resolução dá-se resolvendo o sistema de duas variáveis, x e y, e duas equações, da reta e da circunferência.

Nosso objetivo será resolver o seguinte sistema:

2x + y – 1 = 0

(x + 3)² + (y – 4)² = 25

Isolando a variável y na equação 1:

y = 1 – 2x

Substituindo na equação 2:

(x + 3)² + (y – 4)² = 25

(x + 3)² + (1 – 2x – 4)² = 25

x² + 6x + 9 + (-2x – 3)² – 25 = 0

x² + 6x + 9 + 4x² + 12x + 9 – 25 = 0

5x² + 18x – 7 = 0

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 18² – 4.5.(-7)

Δ = 324 + 140

Δ = 464

Como Δ > 0, a equação do segundo grau 5x² + 18x – 7 = 0 possui duas raízes. Podemos concluir que existem dois pontos em comum e que a reta r é secante a circunferência λ.

MÉTODO DO CÁLCULO DA DISTÂNCIA

Por este método, calculamos a distância da reta ao centro da circunferência e a comparamos com a medida do raio.

Nosso primeiro objetivo será calcular a distância, que pode ser feito através da seguinte fórmula:

Onde:

(x0, y0) é o centro da circunferência.

ax + by + c = 0 é a equação geral da reta.

Como o raio da circunferência é igual a 5, e a distância entre a reta e a circunferência é igual a 1,3, podemos concluir que a reta é secante a circunferência.

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