Bissetriz de um ângulo como fazer

by Roberto M.

O que é bissetriz? Como construir a bissetriz de um ângulo?

Agora vamos aprender a traçar a bissetriz de um ângulo.

Primeiramente vamos entender o que é bissetriz.

Como sabemos, ângulo é a abertura formada por duas semi-retas distintas de mesma origem.

 Se construirmos um ângulo qualquer e depois traçarmos uma semi-reta de mesma origem e interior a esse ângulo, veremos que o tal ângulo ficará dividido em duas partes.

As medidas dos dois ângulos, formados pela semi-reta que construímos no interior do ângulo original com cada lado dele, vão depender da posição em que colocamos a dita semi-reta.

Haverá uma única posição em que as medidas dos dois ângulos serão iguais. É à semi-reta nessa posição que chamamos bissetriz de um ângulo.

DEFINIÇÃO DE BISSETRIZ

Podemos então definir bissetriz como:

Bissetriz é a semi-reta de mesma origem e interior a um determinado ângulo que o divide em dois ângulos congruentes, ou seja, em dois ângulos de medidas iguais.

CONSTRUÇÃO DE UMA BISSETRIZ

Vamos agora, ver como é que se traça uma bissetriz. Necessitaremos de papel, régua, lápis e compasso.

1) Primeiramente, com a régua e o lápis, construímos, no papel, um ângulo qualquer. Partindo de um ponto O, que será o nosso vértice, traçamos uma semi-reta OA e depois uma semi-reta OB formando uma abertura.

2) Pegamos, agora, o compasso. Com a ponta seca no ponto O, e com uma abertura qualquer, traçamos um arco de circunferência que intersecte os dois lados do ângulo, definindo os pontos C e D.

3) Ainda com o compasso, e com uma abertura um pouco maior do que o arco CD, colocamos a ponta seca no ponto C e traçamos um arco no interior do ângulo. Com a mesma abertura, colocamos a ponta seca no ponto D e traçamos outro arco de modo que os dois arcos traçados se intersectem. Definimos, assim, o ponto E.

4) Pegamos, então, o lápis e a régua e traçamos uma semi-reta com início em O e que passe pelo ponto E.

5) A esta semi-reta OE, que divide o ângulo AÔB em duas partes iguais, ou seja, em dois ângulos congruentes (mesma medida), chamamos bissetriz.

Artigos Recomendados:

• Noções Fundamentais da Geometria. Idéias de ponto, reta e plano.
• Retas perpendiculares que se cruzam num ponto dado
• Circunferência. Definição e Construção.
• Por que a circunferência mede 360 graus?
• Dividindo a circunferência em três partes iguais.

Bissetriz é a semirreta interna de um ângulo traçada a partir do vértice deste, dividindo-o em dois ângulos congruentes. As bissetrizes de um triângulo se encontram em um ponto conhecido como incentro, que é o centro da circunferência inscrita nesse polígono.

A partir da bissetriz foram elaborados dois teoremas importantes: o do ângulo interno e o do ângulo externo, desenvolvidos em triângulos que utilizam a proporção para relacionar os lados desse polígono. No plano cartesiano, é possível traçar a bissetriz nos quadrantes ímpares e nos pares.

Leia também: Pontos notáveis de um triângulo

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre bissetriz
• 2 - O que é bissetriz?
• 3 - Como encontrar a bissetriz?
• 4 - Bissetriz de um triângulo
• 5 - Teorema da bissetriz interna
  • Videoaula sobre teorema da bissetriz interna
• 6 - Teorema da bissetriz externa
• 7 - Bissetriz dos quadrantes do plano cartesiano
• 8 - Exercícios resolvidos sobre bissetriz

Resumo sobre bissetriz

• A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

• Podemos traçar as bissetrizes de ângulos internos de triângulos.

• A partir da bissetriz de um ângulo do triângulo foi desenvolvido o teorema do ângulo interno.

• Existem duas bissetrizes no plano cartesiano, a dos quadrantes pares e a dos quadrantes ímpares.

O que é bissetriz?

Dado um ângulo AOB, chamamos de bissetriz a semirreta OC, que parte do ponto O e divide o ângulo AOB em dois ângulos congruentes.

Na imagem, a semirreta OC é a bissetriz do ângulo AOB.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como encontrar a bissetriz?

Para encontrar a bissetriz, são utilizados como instrumentos uma régua e um compasso e são seguidos os passos a seguir:

• 1º passo: Coloca-se a ponta seca do compasso sob o vértice O e é feito um arco sobre as semirretas OA e OB.

• 2º passo: Coloca-se a ponta seca do compasso no ponto de intersecção do arco com a semirreta OA e é feito um arco com o compasso virado para a parte interna do ângulo.

• 3º passo: No ponto de intersecção do arco com a semirreta OB coloca-se a ponta seca do compasso e repete-se o processo anterior.

• 4º passo: Por fim, ao traçar uma semirreta do vértice do ângulo que passa pelos pontos de intersecção entre os arcos, a bissetriz do ângulo é encontrada.

Leia também: Baricentro — um dos pontos notáveis de um triângulo

Bissetriz de um triângulo

Quando são traçadas as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo, podemos encontrar seu ponto notável, conhecido como incentro, que é o ponto de encontro das bissetrizes e também o centro da circunferência inscrita no polígono.

Teorema da bissetriz interna

São formados segmentos proporcionais aos lados adjacentes de um triângulo quando traçamos a bissetriz de um de seus ângulos internos.

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, encontre o comprimento do lado AC.

Resolução:

Aplicando o teorema da bissetriz interna, calcula-se:

• Videoaula sobre teorema da bissetriz interna

Teorema da bissetriz externa

Quando a bissetriz de um dos ângulos externos de um triângulo é traçada, o prolongamento do lado oposto ao ângulo externo forma segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Exemplo:

Encontre o valor de x.

Aplicando o teorema da bissetriz externa, temos que:

Bissetriz dos quadrantes do plano cartesiano

É possível traçar a bissetriz no plano cartesiano. Existem duas possibilidades: a bissetriz que passa pelos quadrantes pares e a que passa pelos quadrantes ímpares.

A bissetriz dos quadrantes ímpares passa pelos 1º e 3º quadrantes. Quando a bissetriz corta os quadrantes ímpares, a sua equação é y = x. Logo, os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abcissa e ordenada iguais.

O segundo caso se refere a quando a bissetriz passa pelos quadrantes pares, ou seja, pelos 2º e 4º quadrantes. Quando isso ocorre, a equação da reta será y = – x. Logo, os pontos possuem abcissa e ordenada como números simétricos.

Leia também: Teorema fundamental da semelhança — a relação entre uma reta paralela e o lado de um triângulo

Exercícios resolvidos sobre bissetriz

Questão 1

Na imagem a seguir, sabendo que OC é a bissetriz do ângulo AOB, podemos afirmar que a medida do ângulo AOB é igual a

A) 15°

B) 30°

C) 35°

D) 60°

E) 70º

Resolução:

Alternativa E

Como OC é bissetriz, temos o seguinte:

3x – 10 = 2x + 5

3x – 2x = 10 + 5

x = 15°

Sabe-se que x = 15 e que o valor da metade do ângulo AOB é igual a 2x + 5. Substituindo x por 15, obtém-se:

2 · 15 + 5

30 + 5

35°

A metade do ângulo AOB é de 35°. Logo, o ângulo AOB é igual ao dobro de 35°, ou seja,

AOC = 35 · 2 = 70°.

Questão 2

Em um triângulo foram traçadas as suas três bissetrizes internas. Após traçá-las, foi possível perceber que elas se encontram em um ponto. O ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é conhecido como

A) baricentro.

B) incentro.

C) circuncentro.

D) ortocentro.

Resolução:

Alternativa B

Quando as bissetrizes internas de um triângulo são traçadas, o ponto de encontro delas é conhecido como incentro.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Como se faz a bissetriz de um ângulo?

Como calcular a bissetriz de um ângulo exercícios?

Como calcular a bissetriz de um ângulo interno?