Esta lista ajudará a testar seus conhecimentos sobre progressão aritmética, com questões sobre termo geral, soma dos termos de uma progressão finita, entre outros.Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática Show
Questão 1 Analise as sequências a seguir: A – (1, 4, 7, 10, 13) B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) C – (9, 3, -3, -9, -15...) D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) Sobre as sequências, podemos afirmar que: A) Todas são progressões aritméticas. B) Somente A e C são progressões aritméticas. C) Somente D não é uma progressão aritmética. D) Somente B e D são progressões aritméticas. E) Nenhuma das sequências representa uma progressão aritmética. Questão 2 Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R$800.000 no primeiro mês, e, a cada mês, houve um aumento de R$15.000 em relação ao mês anterior. Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, o lucro mensal dessa empresa, em dezembro, será de: A) R$165.000 B) R$180.000 C) R$816.500 D) R$965.000 E) R$980.000 Questão 3 A altura de uma planta, em centímetros, ao decorrer dos dias, foi anotada e organizada conforme a tabela seguinte:
Se esse comportamento de crescimento for mantido, essa planta terá a altura de 65,5 cm após: A) 20 dias B) 22 dias C) 23 dias D) 25 dias E) 26 dias Questão 4 Cris decidiu ser uma influenciadora digital, e, para isso, ela criou uma conta nas redes sociais. Realizando a divulgação para os seus amigos mais próximos, logo no primeiro dia, ela conseguiu o marco de 40 seguidores. Após esse marco, no segundo dia, ela conseguiu mais 14 seguidores, no terceiro dia também, e assim sucessivamente durante toda a primeira semana. Se esse comportamento for mantido, ou seja, se ela conseguir 14 seguidores por dia, qual será a quantidade de seguidores ao final de 30 dias? A) 446 B) 406 C) 400 D) 396 E) 380 Questão 5 Um atleta de alta performance tem se preparado para a disputa da Maratona do Rio, que possui atualmente um percurso de 42 km. Para isso, ele começou percorrendo 14 km no primeiro dia, e, a cada dia, ele acrescentou 5 km em relação ao dia anterior. A distância total percorrida por esse atleta durante uma semana de treino é de: A) 44 km B) 244 km C) 193 km D) 198 km E) 203 km Questão 6 No ano de 2020, infelizmente, as Olimpíadas foram adiadas devido à pandemia de COVID-19. Sabendo que as Olimpíadas ocorrem de 4 em 4 anos e supondo que, em 2021, tenhamos esse evento, e que, até 2100, ele não passe por um novo adiamento, a quantidade de Olimpíadas que terão acontecido nesse intervalo será de: A)18 B)19 C) 20 D) 21 E) 22 Questão 7 Sobre progressões aritméticas, julgue como verdadeiro ou falso as afirmativas a seguir: I – Uma progressão aritmética é crescente quando sua razão é positiva. II – Uma progressão aritmética é constante quando sua razão é zero. III – Uma progressão aritmética é decrescente quando sua razão é negativa. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente a afirmativa III é verdadeira. D) Todas as afirmativas são verdadeiras. E) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. Questão 8 Uma empresa faturou R$150.000 no primeiro ano, R$ 148.000 no segundo ano, R$146.000 no terceiro ano, e assim sucessivamente. Durante a primeira década de existência dessa empresa, ela faturou um total de: A) 1.500.000 B) 3.500.000 C) 3.780.000 D) 1.410.000 E) 1.280.000 Questão 9 (Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento manteve-se para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? A) 38.000 B) 40.500 C) 41.000 D) 42.000 E) 48.000 Questão 10 (Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é: A) R$512.000 B) R$520.000 C) R$528.000 D) R$552.000 E) R$584.000 Questão 11 (Enem) As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021, será de: A) 497,25 Questão 12 (Ita) O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo a) [-2, -1]. Respostas Resposta Questão 1 Alternativa C Para que uma sequência seja uma progressão a aritmética, a diferença de um termo com o seu antecessor tem que ser constante, essa diferença é o que chamamos de razão r. Analisando cada uma delas, temos que: A – (1, 4, 7, 10, 13) é uma progressão aritmética: 4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 13 – 10 = 3 É fácil ver que, de um termo para o seu anterior, a diferença é sempre 3, o que faz com que essa seja uma PA de razão 3. B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) é uma progressão aritmética: 1 – 1= 0 Note que a diferença entre um termo e o outro é sempre igual a 0, logo, essa é uma progressão arimética de razão 0. C – (9, 3, -3, -9, -15...) é uma progressão aritmética: 3 – 9 = -6 -3 – 3 = -6 -9 – (-3) = -9 + 3 = -6 -15 – (-9) = -15 + 9 = -6 Note que a diferença entre um termo e o outro é sempre igual a -6, logo, essa é uma progressão arimética de razão -6. D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) não é uma progressão aritmética: 0 – 1 = -1 -1 – 0 = -1 2 – (-1) = 2 + 1 = 3 Já é possível perceber que essa sequência não é uma progressão aritmética, pois a diferença entre os termos não é constante. Resposta Questão 2 Alternativa D Analisando a situação, é possível percebermos que o primeiro termo a1 = 800.000 e que a razão dessa progressão r = 15.000. Utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A., queremos encontrar os lucros no 12º mês (dezembro), ou seja, o termo a12. Sabemos que: an = a1 + (n – 1) r Substituindo os valores conhecidos, temos que: a12 = 800.000 + (12 – 1) 15.000 a12 = 800.000 + 11 · 15.000 a12 = 800.00 + 165.000 a12 = 965.000 Resposta Questão 3 Alternativa E Analisando o comportamento, podemos notar que a sequência que representa a altura, ao decorrer do tempo, é uma PA, pois, a cada dia, há um crescimento de 2,5 cm, ou seja, a razão da PA é 2,5 cm. Queremos encontrar um tempo n tal que an = 65,5 cm. Sendo assim, vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA. an = a1 + ( n – 1) r Temos que an = 65,5; r = 2,5; e a1 = 3, então: 65,5 = 3+ (n – 1) · 2,5 65,5 – 3 = (n – 1) · 2,5 62,5 = (n – 1) · 2,5 62,5 = 2,5n – 2,5 62,5 + 2,5 = 2,5n 65 = 2,5n 65 : 2,5 = n n = 26 Resposta Questão 4 Alternativa A A sequência formada pela quantidade de seguidores é uma P.A., cujo primeiro termo é 40 e cuja razão é 14. Queremos encontrar o termo a30. De modo geral, sabemos que: an = a1 + (n – 1) r Substituindo pelos valores conhecidos, temos que: a30 = 40+ (30 – 1) 14 a30 = 40+ 29 · 14 a30 = 40+ 406 a30 = 446 Resposta Questão 5 Alternativa E Queremos calcular a soma dos termos de uma P.A. que é dada pela fórmula a seguir: Queremos, nesse caso, a soma dos sete primeiros termos da sequência, ou seja n = 7. Conhecido o valor de n, o valor inicial a1 = 14 e a razão r = 5,encontraremos o valor de a7. an = a1 + (n – 1) r a7 = 14 + (7 – 1) · 5 a7 = 14 + 6 · 5 a7 = 14 + 30 = 44 Agora é possível calcular S7: Na primeira semana, o atleta percorreu, ao todo, 203 km. Resposta Questão 6 Alternativa C Queremos o valor de n, tal que an seja igual a 2100 ou o valor que chegue mais próximo a ele. Sabendo que: an = 2100 a1 = 2021 r = 4 Sendo assim, faremos: an = a1 + (n – 1) r 2100 = 2021 + (n – 1) · 4 2100 – 2021 = (n – 1) · 4 79 = (n – 1) · 4 79 = 4n – 4 79 + 4 = 4n 83 = 4n n = 83/4 n = 20,75 Note que a parte inteira é o número de Olimpíadas que já ocorreram, logo, o número de Olimpíadas, nesse intervalo de tempo, é igual a 20. Resposta Questão 7 Alternativa D O comportamento de uma progressão arimética é dado de acordo com a sua razão, então temos três casos: Se r positivo → a P.A. é crescente. Se r igual a zero → a P.A. é constante. Se r negativo → a P.A. é decrescente. Sendo assim, todas as afirmativas são verdadeiras. I – Verdadeira II – Verdadeira III – Verdadeira Resposta Questão 8 Alternativa D É possível perceber que a sequência de faturamento comporta-se como uma P.A. de razão r igual a -2.000 e que o primeiro termo a1 = 150.000. Para realizar a soma dos dez primeiros termos dessa sequência, utilizaremos a fórmula da soma de uma P.A. finita, que é: Para aplicar a fórmula, primeiro é necessário encontrarmos o termo a10. an = a1 + (n – 1) r a10 = 150.000 + (10 – 1) (-2.000) a10 = 150.000 + 9 (-2.000) a10 = 150.000 – 18.000 a10 = 132.000 Substituindo os valores conhecidos na fórmula da soma dos termos de uma P.A.: Resposta Questão 9 Alternativa D. Analisando o comportamento da venda de passagens, percebe-se que, de janeiro para fevereiro, houve um aumento de 1.500, e o mesmo aconteceu de fevereiro para março. Dessa forma, se esse padrão for mantido, temos uma P.A. de razão 1.500 e primeiro termo 33.000. Queremos encontrar a quantidade de passagens vendidas em julho, que é o sétimo mês do ano, ou seja, vamos calcular o a7. an = a1 + (n – 1) r a7 = 33.000 + (7 – 1) · 1.500 a7 = 33.000 + 6 · 1.500 a7 = 33.000 + 9.000 a7 = 42.000 Resposta Questão 10 Alternativa C Primeiro é necessário encontrarmos a quantidade de postes que serão colocados. Note que a sequência que mede a distância do poste em relação à praça é uma P.A., pois, para cada poste em relação ao anterior, há um aumento de 20 metros nessa distância, logo, r = 20. Para saber a quantidade de postes necessários, vamos calcular o valor de n para an = 1380, que é a distância do último poste. Note que o primeiro termo da sequência é 80, então temos que: an = a1 + (n – 1) r 1380 = 80 + (n – 1) · 20 1380 = 80 + 20n – 20 1380 – 80 + 20 = + 20n 1320 = 20n 1320 : 20 = n n = 66 Como o valor máximo de um poste é R$ 8000, então 66 · 8000 = 528.000. Resposta Questão 11 Alternativa D Analisando a sequência formada pelo projeto de produção, é possível perceber que, de um mês para o outro, o aumento é sempre o mesmo — 1,25 toneladas. O que faz com que essa sequência seja uma P.A. Sendo 2012 o primeiro termo, o ano de 2021 será o décimo termo dessa sequência, logo, queremos a soma dos dez primeiros termos dessa progressão. Para isso, primeiro vamos calcular o termo a10. Conhecendo a razão r = 1,25 e o primeiro termo a1 = 50,25, temos que: an = a1 + (n – 1) r a10 = 50,25 + (10 – 1) · 1,25 a10 = 50,25 + 9 · 1,25 a10 = 50,25 + 11,25 a10 = 61,50 Agora, conhecendo o décimo termo, realizaremos a soma dos dez primeiros termos da P.A. Resposta Questão 12 Alternativa B Para que essa sequência seja uma progressão arimética, sabemos que a2 – a1 = a3 – a2, pois a diferença de um termo com o seu antecessor é sempre constante. Sendo assim, temos que: O valor encontrado para n está entre -1 e 0. Assista às nossas videoaulas Como saber o número de termos de uma progressão aritmética?Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo é a soma do anterior por uma constante, chamada de razão. Existem expressões matemáticas para determinar o termo de uma PA e para calcular a soma de seus n primeiros termos. *n é o número de termos da PA; a1 é o primeiro termo, e an é o último.
Quais são as formas de uma progressão aritmética?Existem três possibilidades para uma PA. Ela pode ser crescente, decrescente ou constante.
O que é progressão aritmética exercícios?A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante. Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo inclusive aparecer associado a outros conteúdos de Matemática.
Qual é a razão da progressão aritmética?Progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que possui a seguinte definição: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a uma constante, geralmente chamada de razão da PA.
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